單級直齒輪副的共存吸引子特性研究

金 花, 張子豪, 呂小紅

(蘭州交通大學 機電工程學院,蘭州 730070)

齒輪傳動是應用廣泛的動力傳動裝置之一,其工作性能對機械系統有著重要的影響。因此,考慮齒側間隙、質量偏心和時變嚙合剛度等因素影響的齒輪系統動力學是機械工程界廣泛關注的研究領域。由于單自由度系統的振動研究既有實踐意義又有理論意義,因此單級直齒輪副的動力學研究引起了許多學者的關注。齒輪系統動力學的研究方法主要有增量諧波平衡法[1]、A-算符法[2]和分段多尺度法[3]等。Wei等[4]應用諧波平衡法和改進的區間諧波平衡法分別分析了具有確定參數和不確定參數單自由度齒輪系統的動力學。茍向鋒等[5]應用數值計算的方法辨識了齒輪系統的周期行為模式及其在兩參數空間的存在區域。Yang等[6]重構了單自由度齒輪系統動力學的時變嚙合剛度和靜態傳遞誤差模型。郜志英等[7]應用偽不動點追蹤法分析了齒輪系統周期解的穩定性與分岔。

擦邊分岔是非光滑系統特有的一種分岔。高建設等[8]發現齒面擦邊接觸會使齒輪傳動系統的運動周期、嚙合力以及沖擊狀態發生變化。尹樁等[9]研究了齒輪嚙合運動的擦邊行為,發現擦邊分岔不改變相軌跡的拓撲結構。

共存吸引子[10]和混沌激變[11]是非光滑系統中常見的兩種全局現象。唐進元等[12]應用圖胞映射法計算了齒輪系統共存吸引子的全局特性。Shi等[13]計算了單自由度齒輪副在兩參數平面的多穩態行為。已有關于齒輪系統全局動力學的研究報道主要集中在穩定周期解和混沌等終態吸引子的動力學,很少考慮不穩定吸引子的存在性,因此,一些隱藏的穩定周期吸引子不能被發現,系統的全局動力學不能被完全揭示。為了能夠為齒輪副參數設計與優化提供理論依據,很有必要對齒輪系統共存吸引子(包括穩定和不穩定)的動力學進行研究。

打靶法是一種求解非線性系統周期解及穩定性的常用方法[14]。近年來,研究者應用延續算法在非光滑系統動力學領域取得了許多重要的成果[15-17]。本文結合初值胞映射法和打靶法求解單級直齒輪副的共存吸引子及其穩定性,用延續算法和數值仿真方法追蹤吸引子的分岔,應用胞映射法分析吸引子的吸引域演化,研究系統的共存吸引子特性以及鞍結型擦邊分岔和混沌激變等不連續分岔行為,充分揭示系統的全局動力學,為直齒輪副動力學行為的評價以及參數設計與優化提供指導,為直齒輪副乃至整個機械系統的安全運行和故障預警等提供參考。

1 齒輪副動力學模型

單級直齒輪副的力學模型如圖1所示。Ii、rbi和θi(i=1,2)分別為主、從動齒輪的轉動慣量、基圓半徑和扭轉角位移。Cg為嚙合阻尼。非線性因素考慮時變嚙合剛度和綜合傳遞誤差,分別為K(t)和e(t)。非光滑因素考慮齒側間隙為2D。系統的無量綱運動微分方程可表示為

圖1 直齒輪副的力學模型

(1)

式中:ξ為阻尼比;k為時變嚙合剛度幅值;ε為誤差波動幅值;F為無量綱扭矩;ω為無量綱嚙合頻率;g(x,d)為間隙函數。無量綱處理時,一般將D作為標稱尺度,此時d=1,則間隙函數為

(2)

2 共存吸引子的求解與追蹤方法

若周期軌線由點u0∈G1出發經過時間T=2nπ/ω后返回u0點,其運動軌跡為G1→G2→G3→G2→G1,則Poincaré映射及其Jacobi矩陣分別為

(3)

(4)

式中:PDi為矩陣微分方程式(5)中?u(t)/?ui0在t=t1時的解,其中t1為系統在子空間Gi運動的時間。

(5)

設分岔參數為v,其余參數值固定,共存吸引子的求解與追蹤方法描述如下。

(1) 結合初值胞映射法和基于Poincaré映射的打靶法求解v=v0時的共存吸引子。在Poincaré截面上選取一個待考察的狀態空間,然后網格化。以網格線的交點作為初始不動點,應用打靶法求解v=v0時Poincaré截面上的不動點,即系統的周期吸引子。通過式(4)和式(5)計算Jacobi矩陣PD的特征值,根據Floquet理論確定周期吸引子的穩定性。待循環計算完所有網格線的交點,便可得到系統共存的周期解及其穩定性。

(2) 以v=v0時的周期吸引子為初始不動點,應用延續算法遞減遞增分岔參數v追蹤該吸引子在v∈[v1,v0]及v∈[v0,v2]內的分岔演化。待所有共存的周期吸引子追蹤完畢,便可得到系統在v∈[v1,v2]內的全局動力學。

(3) 應用4階變步長Runge-Kutta法數值仿真系統在v∈[v1,v2]內的穩定周期運動及其分岔,驗證數值延拓結果的正確性并得到混沌響應。

3 共存吸引子的穩定性與分岔

取系統參數(1):k=0.1,ε=0.2,ξ=0.04和F=0.05,應用初值胞映射法和延拓打靶法求解系統在ω∈[0.20,1.20]的共存周期吸引子及其穩定性與分岔,應用數值仿真驗證數值延拓結果的正確性并得到混沌響應。興存吸引子的分岔圖,如圖2所示。兩種計算結果的合成分岔圖見圖2(a)。圖2(c)～圖2(i)為圖2(a)的細節描述。圖2中,實線為穩定的周期吸引子,虛線為不穩定的周期吸引子;圓點為分岔點;GR、PDi和SNi分別為擦邊、周期倍化和鞍結分岔,下標i為同一類型分岔的發生次序;用P1、Q1、R1、S1和T1區分處于不同分支的穩定周期1吸引子,不穩定周期吸引子用下標‘U’區別。圖2(b)為ω遞增和遞減變化時數值仿真得到的分岔圖。對比圖2(a)和圖2(b)可知,單級直齒輪副存在大量的多吸引子共存行為。但是,目前被廣泛采用的數值仿真方法和單參數延拓方法隱藏了許多重要的吸引子信息。因此,結合多種方法研究直齒輪副的共存吸引子及其穩定性與分岔對全面揭示系統的全局動力學至關重要。

(a) 合成分岔圖

由圖2可知,鞍結分岔(SNi)使周期吸引子成對出現或消失,而周期倍化分岔(PDi)使周期吸引子失去或獲得穩定。穩定的周期1吸引子P1、Q1、R1和S1存在的ω區間分別為(0.20,0.472 476 76)、(0.275 010 55,0.931 868 68)、(0.312 704 37,0.472 921 97)和(0.323 548 48,0.502 913 07),見圖2(a)。當ω=0.395 0時,9個周期吸引子共存,分別是4個穩定的周期1、3個不穩定的周期1、1個穩定的周期4和1個不穩定的周期4,其相軌跡和Poincaré映射,如圖3所示。圖3中:相軌跡與對應圖2吸引子相同;實線和虛線分別為穩定和不穩定周期運動的相軌跡;圓點為Poincaré映射不動點。P1運動表現為完全齒面嚙合運動,為簡諧響應。其余周期運動由于出現脫嚙以及齒背嚙合狀態,響應受到間隙的影響成為非簡諧響應。在嚙合過程中,周期1運動Q1和S1U以及周期4運動P4和P4U既有齒面嚙合又有齒背嚙合。

(a)

圖2(a)中矩形區域①內的P1、Q1和R1吸引子分支非常貼近,不能明顯區分,因此,圖2(c)描述了P1與Q1吸引子的分岔,圖2(d)為R1和R1U吸引子的分岔。由圖2(c)知,增大ω,P1吸引子在ω≈0.470 0時發生了跳躍分岔。減小步長延拓追蹤P1吸引子在跳躍點附近的詳細動力學,結果見圖2(e)。隨著ω的遞增,P1吸引子發生鞍結型擦邊分岔(GR-SN1),使系統的穩定周期1響應產生跳躍。GR點與SN1點之間的距離Δω=0.000 545 16。當ω=0.471 931 60(GR)時,P1運動的相軌線與邊界∑1相切,系統發生擦邊分岔使周期1完全嚙合運動變為周期1嚙合-脫嚙運動。隨后在ω=0.472 476 76(SN1)處,P1吸引子經鞍結分岔失去穩定性,產生向ω減小方向延續的不穩定周期1吸引子P1U。此后,減小ω。當ω=0.457 232 32(SN2)時,系統再次發生鞍結分岔,P1U吸引子變為穩定,用T1表示。同時,參數ω恢復遞增的變化方向。

Jiang等分析了碰撞系統擦邊誘導的鞍結分岔和周期倍化分岔。目前,關于齒輪系統擦邊誘導的分岔研究還未見報道。有研究發現擦邊分岔使圖2中系統的響應發生跳躍。由圖2(e)可知,跳躍是由于系統發生了擦邊誘導的鞍結分岔SN1,引起P1與T1吸引子轉遷過程中的遲滯。擦邊分岔GR是連續的。這個特征與分段線性系統的鞍結型擦邊分岔特征相同。

當ω=0.481 737 37(PD1)時,T1吸引子經周期倍化分岔產生共存的不穩定周期1吸引子T1U和穩定周期2吸引子T2。延拓追蹤T1U吸引子,在ω=0.506 465 46(PD2)和ω=0.508 750 000(SN3)時,Floquet特征乘子分別為λ1=0.767 44,λ2=1.000 09和λ1=-1.000 52,λ2=-0.779 87,T1U吸引子經周期倍化分岔PD2恢復穩定,隨后在SN3點與不穩定周期1吸引子Q1U碰撞并消失。通過數值仿真發現,T2吸引子經周期倍化序列通向短暫的混沌,然后該吸引子的分岔突然終止。

由圖2(d)可知,R1和R1U吸引子的分岔行為非常簡單。兩個吸引子在ω=0.312 704 37(SN4)和ω=0.472 921 97(SN5)時經鞍結分岔同時出現或消失。

圖2(f)描述了圖2(c)所示小區域⑤的細節。可見,在ω=0.275 010 55(SN6)時,系統經鞍結分岔產生一對新的周期1吸引子V1和Q1U。Q1U吸引子分支終止于SN3點。V1吸引子存在的ω區間非常窄。當ω=0.275 350 50(PD3)時,系統發生周期倍化分岔使V1吸引子變為不穩定吸引子V1U,然后在ω=0.308 476 67(PD4)時經周期倍化分岔變為穩定的Q1吸引子,見圖2(c)。

由圖2(a)可知,在ω=0.323 548 48(SN8)時,系統出現與P1、Q1、Q1U、R1和R1U吸引子共存的S1和S1U吸引子。用延續算法分別追蹤S1和S1U吸引子,S1U吸引子在ω=0.931 868 68(SN7)時與Q1吸引子碰撞并消失;S1吸引子在ω=0.502 913 07(PD5)時經周期倍化分岔失穩。

圖2(g)為圖2(a)所示矩形區域②的局部放大。可見,系統在區域②內出現周期4吸引子的分岔分支。為了詳細描述周期4吸引子的分岔演化,圖2(h)描述了圖2(g)中區域⑥的細節。由圖2(g)和(h)可知,增大ω,當ω=0.361 546 18(SN9)時,系統發生鞍結分岔產生1個穩定的和1個不穩定的周期4吸引子,分別為P4和P4U。增大ω,P4吸引子在ω=0.361 551 81(PD6)處發生周期倍化分岔。數值仿真結果顯示,P4及其周期倍化序列演化的吸引子存在的ω區間非常窄。用延續算法追蹤P4U吸引子,在ω=0.403 454 55(SN10)時,P4U吸引子經鞍結分岔獲得穩定。此后,ω的變化方向由增大變為減小。當ω=0.400 587 00(PD7)時,穩定的周期4吸引子經周期倍化分岔失穩,然后在ω=0.393 438 30(PD8)時又恢復穩定。

圖2(i)為圖2(a)所示小區域③的放大。由圖2(a)和(i)可知,在ω=0.607 492 09(SN11)時,系統經鞍結分岔出現1個穩定的和1個不穩定的周期2吸引子,分別為P2和Q2U。增大ω當ω=0.607 512 82(PD9)時,P2吸引子經周期倍化分岔失穩變為P2U吸引子。然后,P2U與Q2U吸引子共存,一直持續到ω=1.20。

4 混沌激變

由圖2可知,隨著分岔參數的變化,穩定的周期吸引子或經鞍結分岔消失,或經一系列分岔演化為混沌。混沌邊界激變是對應周期吸引子的分岔突然終止的一個重要因素。當ω∈(0.640 330 00,0.931 868 68)時,混沌吸引子與穩定的周期1吸引子Q1共存,而在ω∈(1.169 210 00,1.20)時,混沌吸引子與穩定的周期2吸引子Q2共存。減小ω,當ω=1.169 210 00和ω=0.640 330 00時,系統發生邊界激變導致混沌吸引子突然消失。為分析邊界激變的分岔結構,應用胞映射法計算了共存吸引子的吸引域,如圖4所示。

(a) ω=0.80

當ω=0.70時,5個周期吸引子(1個穩定)和1個混沌吸引子共存。穩定周期1吸引子Q1與混沌的吸引域見圖4(b)。圖4中:各吸引子與對應圖2吸引子相同;圓點為穩定的周期吸引子;“▲”為不穩定的周期吸引子;Q1為吸引子的吸引域,Q1吸引子在全局范圍內是穩定的,系統響應對初始條件的擾動不具有敏感性。增大ω,混沌吸引子的吸引域逐漸擴張壓縮Q1吸引子的吸引域,見圖4(a)和(b)。當ω=0.931 868 68(SN7)時,Q1吸引子與S1U吸引子碰撞導致Q1吸引子及其吸引域消失。相反,當ω減小時,混沌吸引子向中心收縮,導致位于吸引域邊界上的S1U吸引子向混沌吸引子逐漸靠近,見圖4(c)和(d)。其中,圖4(c1)為圖4(c)的局部放大。當ω=0.640 330 00時,混沌吸引子與S1U吸引子碰撞,系統發生邊界激變導致混沌吸引子及其吸引域突然消失,系統的終態響應只表現為Q1運動。

當ω∈(1.169 210 00,1.20)時,4個周期吸引子(1個穩定)與1個混沌吸引子共存。終態吸引子的吸引域演化見圖4(e)～圖4(g)。圖4(e)為ω=1.20時的吸引域。不穩定周期2吸引子Q2U位于吸引域邊界。2個吸引域互相環繞且有散點,邊界具有分形特征,說明吸引子對初始條件具有較高的敏感性,Q2吸引子只在局部區域內穩定。減小ω,Q2吸引子的吸引域緩慢地向中心收縮導致位于吸引域邊界上的Q2U吸引子向混沌吸引子逐漸靠近,見圖4(f)和(g)。當ω=1.169 210 00時,混沌吸引子與Q2U吸引子碰撞,系統發生邊界激變導致混沌吸引子及其吸引域突然消失。

取系統參數(2):ω=0.50,ε=0.2,ξ=0.05和F=0.1,應用初值胞映射法、延拓打靶法以及數值仿真計算系統隨時變嚙合剛度幅值k變化的合成分岔圖如圖5所示。圖5中,BC和IC分別為邊界激變和內部激變。

圖5 參數(2)條件下的分岔圖

增大k,當k=0.214 967 68(SN1)時,鞍結分岔使系統出現2個新的周期2吸引子(1個穩定,1個不穩定)。此后,3個周期2吸引子與1個不穩定周期1吸引子共存。當k=0.429 255 51(SN2)時,系統再次發生鞍結分岔,產生于SN1點的不穩定周期2吸引子與產生于PD1(k=0.049 567 51)點的穩定周期2吸引子碰撞并消失,系統表現為1個穩定的周期2吸引子與1個不穩定的周期1吸引子共存。繼續增大k,穩定的周期2吸引子經開始于k=0.474 697 47(PD2)的周期倍化序列通向混沌。在PD1和PD2點失穩的不穩定周期吸引子一直持續到k=1.80。

當k=0.859 977 29(SN3)時,鞍結分岔再次使系統出現2個新的周期2吸引子。其中,穩定周期2吸引子的出現破壞了混沌吸引子的完整吸引域,使系統在極小部分初值下的終態跳躍為周期2運動。此后,4個周期吸引子(1個穩定)與1個混沌吸引子共存,吸引域如圖6所示。取k=0.87,共存吸引子及終態吸引子的吸引域見圖6(a)。圖6(a)中:圓點為穩定的周期2吸引子;“▲”為不穩定的周期吸引子。產生于SN3點的不穩定周期2吸引子位于吸引域邊界,而產生于周期倍化分岔點PD1和PD2的2個不穩定周期吸引子位于混沌吸引子的吸引域內。增大k,周期2吸引子的吸引域逐漸擴大,混沌吸引子逐漸長大向吸引域邊界靠近,見圖6(a)～圖6(c)。在BC處,混沌吸引子與位于吸引域邊界上的不穩定周期2吸引子碰撞,系統發生邊界激變導致混沌吸引子及其吸引域突然消失,系統的終態只表現為周期2運動,見圖6(d)。

(a) k=0.87

繼續增大k,穩定周期2吸引子經開始于k=1.141 818 21(PD3)處的周期倍化序列通向混沌。混沌吸引子及其吸引域見圖6(e)。圖6(e)中,“▲”為產生于SN3點的不穩定周期2吸引子。混沌吸引子包含兩個窄帶部分。進一步增大k,混沌吸引子突然變大,見圖6(f),這是混沌內部激變(IC)的結果。該激變過程中,混沌吸引子沒有與其吸引域內部的不穩定周期行為發生碰撞,這個特性不同于光滑動力系統的內部激變特性。

鞍結分岔產生的不穩定周期吸引子可能位于吸引域邊界,而經周期倍化分岔失穩的不穩定周期吸引子肯定位于吸引域內部。周期倍化分岔不會造成吸引子吸引域的拓撲結構和形狀發生變化,不影響吸引子的全局穩定性。鞍結分岔產生新的穩定周期吸引子,改變了舊吸引子的吸引域結構,使系統在極小部分初值下的終態發生跳躍。當分岔參數變化時,混沌吸引子與鞍結分岔產生的位于吸引域邊界的不穩定周期軌道發生碰撞,系統發生邊界激變導致混沌吸引子及其吸引域突然消失。

5 結 論

以單級直齒輪副為研究對象,考慮時變嚙合剛度、綜合傳遞誤差和齒側間隙等非線性或非光滑因素,研究了系統豐富而復雜的全局動力學。選擇Poincaré截面,應用初值胞映射法、延拓打靶法以及數值仿真求解并追蹤系統的共存吸引子及其演化,揭示系統在極小參數區間存在的容易隱藏的吸引子信息;構建Poincaré映射,求解其Jacobi矩陣的特征值,根據Floquet理論確定周期吸引子的穩定性與分岔類型,研究了共存吸引子的周期倍化、鞍結和鞍結型擦邊等分岔行為。應用胞映射法計算周期吸引子與混沌吸引子共存時的吸引域,揭示了齒輪系統的兩種激變現象:邊界激變和內部激變。

(1) 在一定參數條件下,單級直齒輪副存在大量的多吸引子共存現象。鞍結分岔使周期吸引子成對出現或消失,而周期倍化分岔使周期吸引子失去或獲得穩定。邊界激變導致混沌吸引子及其吸引域突然消失,對應周期吸引子的分岔突然終止。

(2) 直齒輪副屬于分段非線性系統。由于非光滑因素的影響,系統會發生鞍結型擦邊分岔。擦邊分岔是連續的,但擦邊誘導的鞍結分岔使系統終態發生跳躍,并引起遲滯現象。這個特征與分段線性系統的鞍結型擦邊分岔特征相同。

(3) 位于吸引域邊界上的不穩定周期吸引子只能由鞍結分岔產生。當分岔參數變化時,混沌吸引子與位于吸引域邊界的不穩定周期軌道發生碰撞使系統發生邊界激變。然而,在內部激變過程中,混沌吸引子沒有與其吸引域內部的不穩定周期軌道發生碰撞,這個特性不同于光滑動力系統的激變特性。

本研究為全面揭示單級直齒輪副的動力學提供一個新的視角,研究結果為齒輪副參數設計與優化提供理論依據,為直齒輪副乃至整個機械系統的安全運行和故障預警等提供參考。