汽車主動懸架次優控制策略等效性研究

魯紅偉, 張志飛, 徐中明, 譚侃倫, 鄭曉勇

(1. 重慶大學 機械與運載工程學院, 重慶 400044; 2. 重慶長安汽車股份有限公司, 重慶 400023)

汽車主動懸架可根據懸架系統的運動狀態靈活調節控制力的輸出,具有改善汽車乘坐舒適性和行駛安全性的顯著作用。最優控制(LQR(linear quadratic regulator)控制和H∞控制)作為一種可以平衡多個目標的控制策略,常用于主動懸架的控制系統[1-4],并展示出來良好的減振效果。然而,最優控制策略通常需要較多的輸入變量,并且其中有些變量是不容易獲得的。多數懸架最優控制的狀態變量是懸架動撓度、簧上質量絕對速度、輪胎動撓度和簧下質量絕對速度[5-6],其中輪胎動撓度最不容易獲得。為了解決最優控制輸入變量過多的問題,輸出反饋控制也得到了深入研究。靜態輸出反饋控制可直接建立了輸出力與可測量變量之間的關系,形式簡單,但是其求解過程較為復雜,同時還存在收斂性的問題[7-9]。動態輸出反饋控制通過使用較少的可觀察量來估計系統的狀態變量,即狀態觀測器[10-11],例如將卡爾曼觀測器與LQR控制算法相結合,可以獲得LQG (linear quadratic Gaussian)控制算法[12]。然而,基于狀態觀測器的動態輸出反饋控制仍然需要估計一些額外的變量,使得控制系統設計仍較復雜。

次優控制可更簡單地解決輸入變量過多的問題。Levine等[13]最早提出了次優控制問題,并給出了一組求解次優控制增益的非線性矩陣方程,需通過優化算法求解。Kosut[14]提出了最小誤差激勵法和最小范數法,可直接獲得次優控制的近似解,并指出最小范數法更適合于控制向量為一組可測狀態變量的時不變線性組合(單結構約束)的情況。張玉春等[15]和李金輝等[16]在某一權值參數下驗證了基于最小范數法的次優控制在汽車懸架控制中以速度相關量為輸入變量時可產生與最優控制相似的效果。魯紅偉[17]以二自由度四分之一車輛模型為對象,將LQR控制的控制律與懸架動力學方程結合,同時忽略數量級較小的輪胎變形量及其導數,并移除控制力中不期望的高頻成分,得到一種稱為雙阻尼控制的次優控制策略。仿真結果表明,該控制方法與LQR控制在合理的權值參數范圍內均具有高度的等效效果。以上兩種次優控制方法的等效效果對比尚未得到研究,且對于頻域最優控制,即H∞控制的簡化等效情況,兩種次優控制方法的等效性也值得探討。

分析懸架被動控制、天棚阻尼控制、天棚被動混合控制[18-19]、天棚地棚混合控制[20-21]、No-Jerk天棚阻尼控制[22]和天棚-ADD(acceleration driven damping)混合控制[23]可知,懸架相對速度和簧上質量絕對速度往往是不可或缺的。此外,張玉春等在基于最小范數法的次優控制和魯紅偉關于雙阻尼控制的研究也表明速度反饋對于控制效果影響顯著。因此所研究的次優控制的輸入變量設定為懸架相對速度和簧上質量的絕對速度。

以二自由度的1/4懸架模型為研究對象,將LQR控制和H∞控制等最優控制策略作為參考,對雙阻尼次優控制、最小范數次優控制與最優控制的等效程度進行對比分析。綜合考慮舒適性,懸架動撓度和輪胎動載荷,討論了最優控制的合理參數范圍,并在該范圍內進行等效性研究。最后在隨機道路激勵下進行數值仿真驗證。

1 懸架動力學模型

二自由度的1/4懸架模型,如圖1所示。圖1中:簧上質量ms相對于平衡狀態的位移為zs;簧下質量mu相對于平衡狀態的位移為zu;路面的位移激勵為q;懸架剛度為ks;主動懸架的執行器對簧上質量的作用力為u;車輪的剛度和阻尼為ku和cu。懸架模型參數如表1所示。懸架最大動撓度為zmax,執行器最大輸出力值為umax。

表1 懸架模型參數

圖1 汽車懸架模型

根據牛頓定律,懸架系統遵循以下動力學方程

(1)

u=0

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

寫成矩陣的形式為

(7)

y1=C1x+D1u

(8)

y2=C2x+D2u

(9)

2 懸架最優控制與次優策略

2.1 最優控制

2.1.1 LQR控制

(1) I型LQR控制

根據典型懸架最優控制的目標函數形式[24-26],這里定義I型LQR控制的目標函數為

(10)

(11)

式中,L為退化的黎卡提方程的解

(12)

最終的控制律可寫為

(13)

(2) II型LQR控制

根據另一種典型懸架最優控制的目標函數形式[27-28],定義II型LQR控制的目標函數為

(14)

(15)

式中,L為退化的黎卡提方程的解

(16)

最終的控制律可寫為

(17)

2.1.2H∞控制

(18)

(19)

通過求解γ最小時上述不等式的可行解,即可得到狀態反饋控制器增益K2,因此最終的控制律為

(20)

2.2 次優控制

由上述可知,最優控制的控制律可以統一寫為

u=Kx=k1x1+k2x2+k3x3+k4x4

(21)

(22)

從式(22)可知,次優控制可以看作是天棚地棚混合控制或者天棚被動混合控制。如果這種次優控制可以直接由懸架參數和LQR控制或H∞控制的增益計算得到,同時可以實現等效的控制效果,那么將可以建立天棚地棚(或被動)混合控制與LQR控制或H∞控制的等效關系。

2.2.1 最小范數次優控制

基于最小范數法的次優控制輸出力u′可表示為

y=Cx

(23)

u′=K′y

(24)

將式(23)代入式(24),得到次優控制力為

(25)

(26)

可求解得到

(27)

(28)

因此,基于最小范數法的次優控制力為

u′=K′y=k2x2+k4x4

(29)

2.2.2 雙阻尼次優控制

將式(21)與式(4)和式(6)結合,消去x1,得到:

(30)

(31)

將式(30)、式(31)與式(21)的導數式(32)結合,得到式(33)

(32)

(33)

由于車輛輪胎的剛度遠大于懸架的剛度,因此在合理的情況下,輪胎變形及其導數的數值非常小。此外,考慮到執行器的真實響應速度和車輛的平順性,執行器輸出力的高頻分量應盡可能小。因此,可以忽略式(33)的后三項,得到如下次優控制律

(34)

2.2.3 最佳次優控制

通過參數優化可計算得到形如式(22)所示的次優控制與最優控制最逼近的效果,可用于衡量上述兩種次優控制與數值上的最佳次優控制的差距。

在式(17)控制下,路面激勵速度到懸架簧上質量加速度的幅頻特性可表示為

(35)

假設最佳次優控制的控制律及其幅頻特性如下

(36)

(37)

3 數值仿真驗證

為對比基于最小范數法和基于雙阻尼控制法的兩種次優控制與最優控制的等效效果,選擇路面不平度為C級、車速為20 m/s的較差路面激勵進行仿真分析。

次優控制與最優控制的等效程度使用控制力的相對差異E表示,即:

(38)

根據式(34),基于最小范數法的次優控制的力值相對差異記為Em,基于雙阻尼控制法的次優控制的力值相對差異記為Ec,最佳次優控制與最優控制的力值相對差異記為Eopt。

3.1 LQR控制

3.1.1 I型LQR控制

為了盡可能覆蓋常見的權值系數取值范圍,在研究權重對I型LQR控制的影響時,取q1∈[10 1012],q2∈[10 3.16e11],q3∈[10 1012]。改變權重系數,數值計算得到了I型LQR控制作用下控制力、懸架動撓度、輪胎動撓度和簧上質量加速度的均方根值,如圖2所示。

(a) RMS(u)/N

為保證舒適性、懸架動撓度、輪胎抓地力和控制力的均衡,三個權重系數應在圖2中四幅圖重疊的區域選取。因此可通過將控制力、懸架動撓度、輪胎動撓度和簧上質量加速度的均方根進行歸一化并相加,即式(39),得到一種合理參數范圍(reasonable parameter range, RPR)指數,如圖3(a)所示。按照式(38)計算了I型LQR控制與相應的雙阻尼控制的力值相對差異Em、Ec和Eopt,如圖3(b)、圖3(c)、圖3(d)所示。

(a) RPR

(39)

從圖3可知,基于雙阻尼控制的次優控制與I型LQR控制的力值相對差異Ec較小。此外,雙阻尼控制的Ec較小的區域包含了圖3(a)中的合理權值參數范圍,且與最佳次優控制的力值相對差異Eopt較小,說明在合理權值參數范圍內,基于雙阻尼控制的次優控制可以很好地對I型LQR控制進行等效簡化。

為進一步驗證以上結論,在圖3中的合理參數范圍內選取對應的權重系數進行仿真分析,即q1=3.16×1010,q2=1×1010,q3=1×108,結果如圖4和圖5所示。從圖中可知,在該組權值參數下,基于雙阻尼控制的次優控制具有與I型LQR控制高度的等效效果,且明顯優于基于最小范數法的次優控制的等效性。

圖4 I型LQR控制與次優控制的時域等效效果

3.1.2 II型LQR控制

在研究權重對II型LQR控制的影響時,取q1∈[10 1012],q2∈[10 1012],q3∈[10 1012]。改變權重系數取值,數值計算得到了II型LQR控制作用下的控制力、懸架動撓度、輪胎動撓度和簧上質量加速度的均方根值,如圖6所示。

(a) RMS(u)/N

為指示出可以均衡舒適性、懸架動撓度、輪胎抓地力和控制力的合理權值范圍,根據式(39),計算得到了合理參數范圍指數RPR,如圖7(a)所示。按照式(38)計算了II型LQR控制與相應的雙阻尼控制的力值相對差異Em、Ec和Eopt,如圖7(b)、圖7(c)、圖7(d)所示。

(a) RPR

從圖7可知,基于雙阻尼控制的次優控制與II型LQR控制的力值相對差異Ec較小的藍色區域面積稍大于基于最小范數法的次優控制的力值相對差異Em較小,表明基于雙阻尼控制的次優控制對II型LQR控制的等效效果略優于基于最小范數法的次優控制。此外,雙阻尼控制的Ec較小的區域包含了圖7(a)中大部分的合理權值參數范圍,且與最佳次優控制的力值相對差異Eopt較小的區域相差不大,說明在大部分合理權值參數范圍內,雙阻尼控制可很好地對II型LQR控制等效簡化。

為進一步驗證以上結論,在圖7中的合理參數范圍內選取對應的權重系數進行仿真分析,即q1=1×1011,q2=1×107,q3=1×108,結果如圖8和圖9所示。從圖8和9可知,在該組權值參數下基于雙阻尼控制的次優控制具有與II型LQR控制較好的等效效果,且優于基于最小范數法的次優控制的等效性。

圖8 II型LQR控制與次優控制的時域等效效果

3.2 H∞控制

H∞控制的主要參數有最大動撓度zmax、最大輸出力umax和路面擾動能量相關參數ρ。考慮到實際情況,僅考慮zmax∈[0.05 0.15] m,umax∈[1 000 3 000] N,ρ∈[0.2 4]對控制效果的影響。仿真得到了不同參數下H∞控制作用下的控制力、懸架動撓度、輪胎變形、簧上質量加速度的均方根,如圖10所示。由于不同參數下的控制力,懸架動撓度和簧上質量加速度的均值普遍都比較小,因此合理參數范圍可定為簧上質量加速度較小的區域。

(a) RMS(u)/N

H∞控制和相應的雙阻尼控制的控制力相對差異Em、Ec和Eopt,如圖11所示。從圖11可知,基于最小范數法的次優控制與H∞控制的力值相對差異Em較小區域面積明顯大于基于雙阻尼控制的次優控制的力值相對差異Ec較小的區域,表明基于最小范數法的次優控制與H∞控制的等效效果明顯優于基于雙阻尼控制的次優控制。此外,基于最小范數法的次優控制的Em較小的區域包含了圖10(d)中大部分的合理權值參數范圍,且與最佳次優控制的力值相對差異Eopt較小的區域相差不大,說明在大部分合理權值參數范圍內,基于最小范數法的次優控制可以很好地對H∞控制等效簡化。為進一步驗證以上結論,在圖11中的合理參數范圍內選取對應的權重系數進行仿真分析,即zmax=0.11,umax=1 800,ρ=0.8,結果如圖12和圖13所示。從圖可知,在該組權值參數下,基于最小范數法的次優控制具有與H∞控制較好的等效效果,且優于基于雙阻尼控制的次優控制的等效性。

(a) Em/%

圖12 H∞控制與次優控制的時域等效效果

4 結 論

(1) 在主動懸架控制中,對比了在合理參數范圍內基于最小范數法的雙阻尼控制和基于雙阻尼控制的雙阻尼控制對三種最優控制(I型LQR控制,II型LQR控制和H∞控制)的等效效果,給出了這兩種次優控制在實際應用中適應的情況。

(2) 通過綜合考慮舒適性,懸架動撓度和輪胎動載荷,給出了三種最優控制的合理參數范圍,并通過控制力相對差異衡量次優控制對最優控制的等效程度。

(3) 數值仿真結果表明,基于雙阻尼控制的次優控制對LQR控制的等效效果優于基于最小范數法的次優控制,而基于最小范數法的次優控制對H∞控制的等效效果優于基于雙阻尼控制的次優控制。

在實際懸架控制策略設計中可以選擇合適的次優控制方法對基于經典最優控制得到的狀態反饋進行等效降階,在減少輸入變量的同時實現與最優控制更相似的控制效果。