四次累積發放神經元同宿環及周期解的存在性和穩定性分析

吳建梅, 徐潔瓊, 王俊杰, 徐啟祥

(廣西大學 數學與信息科學學院,南寧 500064)

神經元是神經系統的基本結構和功能單元,神經系統的放電活動主要表現為神經元產生和傳輸電脈沖的過程,神經信息主要通過神經元放電活動的節律模式來進行編碼。最早的神經元模型由Hodgkin和Huxley在1952年提出,稱為Hodgkin-Huxley(H-H)模型[1]。為便于數學理論分析、高效計算以及大規模神經網絡的模擬,許多學者對該模型進行了改進。其中,累積發放神經元模型(IF模型)是一類比較常用的簡化模型,這類模型能夠模擬真實神經元豐富和復雜的放電行為且維數較低。其中平方自適應IF模型(Izhikevich模型)、自適應指數IF(integrate-and-fire)神經元模型、四次IF神經元模型等模型是其中的代表。Breete等[2]用自適應指數IF神經元模型成功擬合了椎體神經元真實的放電記錄。Izhikevich等[3]用Izhikevich神經元模型對哺乳動物的丘腦皮層系統進行了模擬。四次IF神經元模型不僅能產生自適應指數IF神經元模型和Izhikevich神經元都能產生的放電模式,還能產生Phasic相應、放電頻率自適應、閾下振蕩等放電模式[4]。本文選擇四次累積發放神經元模型為代表來研究非光滑神經元的動力學行為,將理論分析四次IF模型的周期解的存在性和穩定性。

IF神經元模型具有重置過程,因此,該類模型具有非光滑特性,屬于非光滑動力系統的范疇。四次IF神經元模型屬于第一類非光滑系統,即,脈沖動力系統。脈沖動力系統廣泛存在于自然、社會與實際工程背景中,涉及到眾多領域。例如,機械系統中典型的碰撞振動系統[5]、電路中的開關切換[6]、閾值限定[7]等,以及生物力學領域中的害蟲治理[8]、種群動力學模型[9-10]、微生物生長模型[11]等。對脈沖動力系統周期解的研究,往往會選擇不連續面或時間面為龐加萊截面,通過重置映射和光滑流的復合得到一個龐加萊映射,把脈沖動力系統周期解的存在性轉化為龐加萊映射的不動點的存在性[12]。Yang等[13]提出HR混合模型,應用龐加萊映射不動點理論給出了周期解的存在性和穩定性分析,并討論了其周期增加的分岔和混沌現象;He等[14]研究了具有狀態依賴脈沖效應的FHN模型的動力學行為,利用幾何分析構造了不同條件下的龐加萊映射,通過龐加萊映射不動點理論和幾何分析技術,得到了脈沖神經元模型周期解的存在性和穩定性的條件;Yi等[15]研究了具有狀態依賴脈沖效應的Izhikevich模型,通過脈沖動力系統的理論、龐加萊截面和常微分方程幾何理論等給出周期解的存在性和穩定性充分條件,并用數值仿真驗證了主要結果。在此基礎上,本文將利用非光滑動力學理論和不動點理論,通過證明四次累積發放神經元模型1-階同宿環的存在性,從而證明同宿分岔后,1-階周期解(1-階簇放電)的存在性。

1 模型、相關定義及方法

考慮四次累積發放神經元模型

(1)

當v到達某一給定閾值時,系統具有如下重置過程,即,

(2)

方便起見,接下來用M表示閾值線v=vth,則M為脈沖集,用L表示重置線v=vr,故L為M對應的相集。用Ψ表示脈沖函數,即存在A(vA,wA)∈M,有Ψ(vA)=vr,Ψ(wA)=wA+d,用φ表示系統(1)、(2)相應的流。

定義1:若O(v,w)為系統(1)、(2)的軌線,(v(t+),w(t+))∈L為O上的點(v(t),w(t))∈M對應的重置點,并且存在非負正數n、正整數k,使得(vn(t+),wn(t+))=(vn+k(t+),wn+k(t+)),則稱O(v,w)為k-階周期解。k=1時,為1-階周期解。

定義2:如果存在A∈L,當t>0,有φ(A,t)=B∈M,且脈沖效應后B重置到A點,則軌跡φ(A,t)+脈沖線BA稱為1-階環。

若1-階環有一個奇點,則稱為1-階奇異環。此外,若1-階奇異環的奇點為鞍點,則稱為1-階鞍點同宿環。1-階鞍點同宿環由鞍點、鞍點不穩定流形、鞍點穩定流形和脈沖線四部分組成。

定義3: 假設φ(A,t)是系統(1)、(2)的一個1-階周期解。任意ε>0,存在δ>0,若對任意A1∈U(A,δ)∩L,存在t0>0,當t>t0,有ρ(φ(A,t),φ(A1,t))<ε,則稱1-階周期解φ(A,t)是軌道漸近穩定的。其中U表示鄰域,ρ表示距離。

構造龐加萊映射：

可以構造兩種龐加萊映射來討論系統(1)、(2)的動力學行為。

(i) 以重置面為龐加萊截面S={(v,w)|v=vr}。

(ii) 以閾值面為龐加萊截面S1={(v,w)|v=vth}。

方法:四階龍格庫塔法,時間步長為0.000 1,軟件為XPPAUT和MTALAB。

2 系統的動力學行為分析

2.1 v1

(A1) 鞍點E2(v2,w2)的不穩定流形MU與脈沖集M相交,交點用A(vA,wA)表示。鞍點E2(v2,w2)的穩流形MS與重置線L的交點為B(vB,wB),如圖1所示。圖中字母Lv為v-零值線,Lw為w-零值線,虛線表示脈沖線。后面的示意圖中,不同字母所表示相同的含義。

圖1 情形(A1)時系統(1)、(2)的1-階同宿環

(A2) 平衡點E1為穩定點,平衡點E2為鞍點。鞍點E2的不穩定流形MU與脈沖集M相交,其交點用A(vA,wA)表示;鞍點E2的穩定流形MS與集合L的交點用B(vB,wB)表示,如圖2所示。

圖2 情形(A2)時系統(1)、(2)的1-階同宿環

(A3) 平衡點E1為不穩定點,E2為鞍點。鞍點E2的不穩流形MU與脈沖集M相交,交點用A(vA,wA)表示;集合L與MS的交點為B(vB,wB),如圖3所示。

圖3 情形(A3)時系統(1)、(2)的1-階同宿環

2.2 v1

(B1) 鞍點E2的不穩定流形MU與脈沖集M相交于點A(vA,wA),且wA

圖4 情形(B1)時系統(1)、(2)的1-階同宿環

(B2)E1為穩定平衡點,E2為鞍點。E2的不穩定流形MU與脈沖集M相交于點A(vA,wA),且wA>wE2;E2的穩定流形MS與L相交于點B(vB,wB),且wB>wE2,如圖5所示。

圖5 情形(B2)時系統(1)、(2)的1-階同宿環

(B3)E1為不穩定平衡點,E2為鞍點。鞍點E2的不穩流形MU與脈沖集M相交,交點用A(vA,wA)表示;鞍點E2的穩定流形MS與重置線L的交點為B(vB,wB),且wA≤wB

圖6 情形(B3)時系統(1)、(2)的1-階同宿環

對于以上六種情形,存在d*使得脈沖效應后點A映射到點B,即Ψ(wA,d*)=wA+d*=wB,則BE2、E2A和脈沖線AB構成一個通過鞍點E2的環,因此系統(1)、(2)存在一個同宿環。如若選取合適的參數,則存在d*≥0使得wB=wA+d*,即系統(1)、(2)存在1-階同宿環。我們有如下定理。

定理1:對于情形(A1)、(A2)、(A3)、(B1)、(B2)、(B3),選取適當的參數,則存在d*≥0使得系統(1)、(2)存在一個1-階同宿環。

接下來,選取d為分岔參數討論同宿分岔問題。當d改變,1-階同宿環消失,一個1-階周期解出現。不失一般性,我們考慮d*>0。

定理2:對于情形(A1),當0≤dΨ(wC1,d)時,則系統(1)、(2)的同宿環消失,分岔出一個軌道漸近穩定的1-階周期解,而且這個1-階周期解是唯一的。

證明:作圖如圖7所示。對于定理中給出的條件,則可得到以下序列:

圖7 情形(A1)時系統(1)、(2)的1-階周期解的存在性

定理3:對于情形(A2)、(A3)、(B2)、(B3),當d>d*≥0,且wB

證明:以情形(B2)為例,根據定理所給的條件作圖如圖8所示,則可得到如下序列

圖8 情形(B2),系統(1)、(2)的1-階周期解的存在性

w1

當k→∞時,存在w∈(w1,wA)使得w2k+1=w,w2k=w,故系統(1)、(2)存在唯一一個軌道漸近穩定的1-階周期解。證明完畢。對于情形(A2)、(A3)、(B3),證明類似,在此不重復證明。

對于(B1)情形,當d改變時,1-階同宿環消失,當0≤d

定理4:對于(B1)情形,當0≤d

證明:作圖如圖9所示,點C為w-零值線與閾值線M:v=vth的交點。以v=vth為龐加萊截面,取初始點位于v=vth,且w0∈[wC,wA],則有w1=α(w0)∈M。由于d≥0,故φ(wC+d)≥wC。

圖9 情形(B1),系統(1)、(2)的1-階周期解的存在性

(i)w0=w1,則有唯一一點w0∈[wC,wA]使得α(w0)=w0,故系統(1)、(2)存在唯一1-階周期解,且是軌道漸近穩定的。

(ii)w0

(iii)w0>w1,則有wC<…

接下來我們將給出1-階周期解軌道漸近穩定的一般性判定定理。

定理5:當d≥0時,設O(v(t),w(t))為系統(1)、(2)的周期為T的1-階周期解,其初始點為Z+(vr,w*),且與閾值線v=vth相交于點Z(vth,w*-d)。若μ<1,則O(v(t),w(t))是軌道漸近穩定的,其中

證明:根據參考文獻[16],由系統(1)、(2)可取

P=v4+2av-w+i,Q=a(bv-w),

f=Δv=vr-vth,h=Δw=d,φ=v-vth,

(v(T),w(T))=(vth,w*-d),

(v(T+),w(T+))=(vr,w*)。

則有

則可得到:

Δ1=

且有

則可得Floquent乘子:

3 數值仿真

在此章中,運用數值仿真的手段去驗證理論的結果,以情形(A1)和情形(B2)為例。當選取參數i=4,a=4,b=2時,則系統(1)、(2)平衡點分別為E1(-1.491 5,-2.983 1),E2(-0.708 71,-1.417 40),取vr=-0.5,vth=0.5,則有v1

(a)

對于情形(B2),當選取參數i=0.3,a=1,b=1.24時,則系統(1)、(2)的兩個平衡點分別為E1(-0.685 81,-0.850 40),E2(-0.447 51,-0.554 91),重置值和閾值分別取vr=-0.5,vth=-0.3,則有v1d*時,由定理3可知系統(1)、(2)的同宿環消失,一個軌道漸近穩定的1-階周期解出現,如圖11(b)所示。其中1-階周期解由字母O表示。

(a)

4 結 論

(1) 討論了系統(1)、(2)存在兩個平衡點(一個為鞍點,一個非鞍點)時的同宿分岔。考慮E1(v1,w1)為非鞍點的平衡點,E2(v2,w2)為鞍點,且有v1

(2) 僅針對系統具有兩個平衡點的情形進行了討論,當系統具有其它動力學特性情形下,周期解的存在性和穩定性的分析,以及多周期峰放電和簇放電存在性的研究將在后續工作中開展。

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