雙側亥姆霍茲聲學超材料帶隙特性

孫維鵬, 沈名釗, 鐘可欣, 劉園園, 趙道利

(西安理工大學 省部共建西北旱區生態水利國家重點實驗室,西安 710048)

噪聲普遍存在于工業生活中[1],長期置身于噪聲環境中將對工人和工業設備造成嚴重危害[2],如何降低噪聲所帶來的危害是工業中的一大問題。聲子晶體因具有聲子帶隙(band gap,BG)被廣泛運用于減振降噪[3]。聲子晶體根據BG產生機理分為:布拉格散射型聲子晶體與局域共振型聲子晶體[4]。布拉格散射型聲子晶體因布拉格散射產生的BG所能控制的聲波波長與其晶格常數為同一數量級,一般用來控制高頻噪聲。局域共振型聲子晶體基于單胞的局域共振,可以跨越幾個晶格常數的數量級來實現以小尺寸控制大波長,從而實現低頻噪聲控制。隨著聲子晶體的發展,聲學超材料一詞被引入噪聲控制領域。聲學超材料(acoustic metamaterials,AMMs)是局域共振型聲子晶體的延伸。AMMs和局域共振型聲子晶體都基于局域共振機理形成BG[5],但聲子晶體要求具有周期性[6],而AMMs可以是周期性或非周期性的[7-8]。AMMs通過各結構特殊的排布,誘導BG接近結構共振頻率[9]。AMMs為噪聲的控制提供了一種新思路[10-11]。由于生活中的低頻噪聲遍布更廣,且低頻噪聲更容易跨越障礙物。AMMs對比一般的聲子晶體擁有更低頻的BG[12-13],可用來解決軍用飛機艙室內[14],汽車板件[15]和船艦管路[16]等地方的低頻噪音問題,當引入缺陷態后,在缺陷態處添加壓電片可為微電子元件供電[17]。受Fano效應的影響,一般的AMMs難以獲取較寬的低頻BG,從而導致AMMs所能控制的低頻噪聲范圍較窄[18]。AMMs從結構上可以分為亥姆霍茲型、迷宮型、平板型、超原子型、孔型AMMs等[19]。其中板型AMMs對環境的要求較低,是目前研究熱點,對比打孔型超材料,將散射體直接放置在基板上對結構的強度就顯得較為友好,并方便集成[20]。AMMs的散射體作為影響AMMs BG的主要因素之一[21],可以通過拓展散射體類型來降低法諾效應的影響從而拓寬聲學超材料帶隙。

以亥姆霍茲諧振腔(Helmholtz resonator cavity,HRC)為基礎的聲學容器已廣泛應用于噪聲控制[22]。研究者們通過將聲學超材料與亥姆霍茲諧振器相結合做了許多研究,Yamamoto[23]研究了具有HRC的板型超材料,諧振頻率在1 000 Hz以上,板的聲傳輸損耗顯著增加。鐘可欣等[24]將硅橡膠HRC放置在鋁板上組成聲子晶體單胞,研究了HRC腔體參數變化對其能帶特性的影響。Chen等[25]提出了一種將聲子晶體與四邊形HRC耦合的結構,在高能量密度的腔體中同時實現聲增強和定向傳感。Li等[26]研究了聲波在嵌入流體基體的HRC組成的二維或三維聲子晶體中的傳播。Wang等[27]在沒有任何尺寸限制的情況下,對含HRC的聲子晶體中的聲波傳播進行了全面的理論計算。陳鑫等[28]設計了一種薄膜底面HRC AMMs,發現附加偏心質量單元可以抑制反對稱共振模態出現,同時增加了超材料的隔聲峰數量。Han等[29]提出了一種新型Helmholtz聲學超材料,擁有12 Hz的超低頻起始帶隙,但帶寬僅為14.6 Hz。Liu等[30]和Ma等[31]將HRC與AMMs相結合用來采集聲能量。研究者們通過將HRC與AMMs結合,實現了更低的BG起始頻率,同時也使得AMMs的隔聲性能得以提升,但如何提高帶隙寬度仍是當前研究的難題。

為了拓寬HRC的帶隙寬度,提高噪聲吸收范圍,通過結合板形AMMs和HRC的優點,設計了一種將HRC對稱放置在內嵌圓形硅橡膠鋁板中的低頻寬帶AMMs。采用有限元方法、能帶計算理論和HRC共振機理對其能帶結構和傳輸譜進行計算,并通過局域共振模態來分析帶隙形成機理,使用彈簧質量模型作為等效模型,計算帶隙等效頻率并與有限元法所得頻率相對比。通過改變AMMs的幾何結構來探究各個參數對帶隙的影響,得到較優結構參數。

1 有限元模型與計算方法

1.1 有限元模型建立

本文所述的新型AMMs結構,如圖1所示。圖1(a)為該單元組成的10×10有限單元超胞結構,單胞的幾何模型以及幾何參數分別為圖1(b)和圖1(c)所示,圖1(d)為結構的布里淵區。單胞的晶格參數為a=10 mm,模型的基板由厚度為H1的正方形鋁板內嵌等高圓形包覆層構成,圓形包覆層的直徑為D3,在基板上下兩側對稱布置由鎢組成的HRC,基板上下側HRC的高度相同,頸部內腔直徑為D1,底部腔體直徑為D2,腔體厚度為S,腔體上下部分高度相同,總高為H2,頸部腔體內壁比底部腔體高2b。

(a) 超胞模型

1.2 計算方法

1.2.1 能帶計算

為了研究所提出的AMMs結構中的能帶特性和諧振模態,利用有限元軟件進行計算分析,以基板長寬方向分別為x軸和y軸,以基板高方向作為z軸方向建立坐標系。考慮到結構的周期性,在計算能帶結構時,使用應力邊界條件作用于自由表面,使用周期性邊界條件作用于單元周期方向的邊界。彈性波在聲子晶體中的傳播滿足[32]

(i,j,k,l=x,y,z)

(1)

式中:下標x,y,z代表x軸、y軸和z軸方向;uk為在k方向上的位移矢量;ρ為質量密度;cijkl為彈性常數;t為時間。計算單胞的能帶結構時,聲波在周期性晶格介質中傳播,在單元邊界處使用Bloch周期邊界來計算頻帶結構

u(r+Ra)=u(r)ei(k·Ra)

(2)

式中:r為(x,y)的位置矢量;Ra是晶格常數向量;k為波矢;u(r)表示與彈性系統位移相關的矢量函數。由式(2)可得,單胞的離散特征值滿足

(K-ω2-M)U=0

(3)

式中:K為剛度矩陣;M為質量矩陣,ω為角頻率;U為單元的位移矩陣。使用有限元軟件中的特征頻率求解模塊沿著第一不可約Brillouin區點M-Γ-X-M掃描波矢k,依據式(2)得出特征頻率與相應特征值的離散關系。

1.2.2 HRC共振理論

HRC可以沿腔體軸線方向對特定頻率的入射聲波產生聲聚焦作用。所提出的HRC模型尺寸比聲波波長小很多,將頸部的空氣柱看作在聲壓激勵下均勻振動的活塞,其質量為空氣柱質量和聲輻射額外質量的和

M1=ρ0(H2/2+b+0.8D1)S1

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:v=dξ/dt為空氣柱頸部的速度;Paejwt為入射聲波的聲壓;Rt表示振動系統空氣與管壁摩擦引起的阻抗與輻射聲波所引起的阻抗。根據阻抗類比,當聲電阻抗為0時,最終可得HRC諧振頻率為

(8)

通過HRC的結構設計,可以控制空腔的諧振頻率,從而改變帶隙特性,并實現增強共振的效果。

2 帶隙形成機理分析

所述模型采用有限元軟件進行仿真計算,該結構的材料參數如表1所示。采用如下結構參數進行初始的帶隙和能量損失模型計算分析:模型的正方形基板和內嵌圓形狀橡膠包覆層的厚度為H1=1 mm,圓環包覆層的直徑為D3=9 mm,頸部內腔直徑為D1=5.6 mm,底部腔體直徑為D2=7 mm,腔體厚度為S=0.8 mm,腔體上下部分高度相同,總高為H2=4.5 mm,頸部腔體內壁比底部腔體高2b=0.9 mm。利用上述幾何參數結構模型,通過有限元軟件中的固體力學模塊對結構的振動位移傳輸特性進行研究,計算了由10個單元組成在x方向上排列的有限周期結構的振動位移傳輸譜,如圖2所示。

表1 結構材料參數

在y方向上使用Bloch PBCs邊界條件,在x方向的兩端添加兩個完美匹配層(perfect matched layers, PMLs)來消除聲能反射,以保證計算的準確性。在周期結構的左端施加垂直向下的大小為5×10-6m的位移激勵,在右端得到一個位移響應。依據上述數據,結合式(9)對AMMs進行能量譜傳輸計算

(9)

式中:Xout為輸出的位移激勵;Xint為輸入的位移響應。

通過計算分析,模型在0～1 100 Hz范圍內包含兩個完整帶隙,如圖3中陰影部分所示,完整帶隙的總覆蓋率達73.18%。第一個完整帶隙頻率從258.1～919.8 Hz,帶寬為661.7 Hz。第二個完整帶隙從938.9～1 081 Hz,帶寬為142.1 Hz。易看出第一個完整帶隙比第二個完整帶隙覆蓋范圍更大且振動衰減幅值也相對較大。因此,在之后的研究過程中只研究第一個完全帶隙。完整帶隙是通過縱向帶隙和橫向帶隙(即方向帶隙)耦合形成的,使得在此區間內縱波和橫波都被俘獲。方向帶隙的頻率為180.4～258.1 Hz、919.8～938.9 Hz和1 081～1 368.6 Hz,在圖中以淡藍色表示出來,方向帶隙對相應方向的振動具有衰減作用,在傳輸譜中也會出現振動衰減。將完全帶隙與方向帶隙和傳輸譜相對照,其大小基本吻合,可以看出,在方向帶隙范圍內,輸出位移響應小于輸入的位移激勵,彈性波在此區域受到抑制。

圖3 能帶結構及傳輸譜

為了更好地闡釋帶隙的形成機理,進一步計算如圖4所示的各個特征點(A～F)的振動模態圖,因為變化為微小尺寸,在結果顯示時,放大70 000倍來顯示。A點對應方向帶隙的下邊界,表現形式為抑制基板在z方向上的振動。當橫波(z方向)的激勵頻率接近振子固有頻率時,振子發生共振,振子通過給基體一個作用力來抑制基體的面外振動,從而形成面外禁帶。B點對應第一完全帶隙的起始頻率,表現形式為HRC的橫向扭轉。當縱波(xy方向)的激勵頻率接近振子固有頻率時,振子通過給基體一個作用力來抑制面內振動,從而形成面內禁帶。C、D點為各平直帶中任意選取的三個平直帶上的點,表現為振子旋轉振動。C點鎢散射體與包覆層同時做扭轉運動,D點鎢散射體幾乎不運動,包覆層做扭轉運動。E點對應第一完全帶隙的截止頻率,基板略有z方向振動,包覆層受xy面內的扭轉力。F點對應方向帶隙的上邊界,此時橫波激勵基板,表現為基板沿z軸方向向上振動,此時無法形成面外帶隙。方向帶隙的上下邊界與傳輸譜的能量衰減的范圍基本符合,驗證了聲子帶隙對彈性波的俘獲效應。

圖4 各點振動模態

3 等效彈簧質量模型

局域共振單元因彈性波導致的振動與彈簧質量模型相似,將其等效為彈簧質量模型如圖5所示,k1～M1系統表示振子面外振動即在z軸方向上,ki～Mi系統代表振子在面內振動即xy方向上。振子面內和面外的振動對基板的抑制范圍重疊使得各個方向的振動被完全抑制。

圖5 等效彈簧質量模型

可通過彈簧質量系統求解系統某一條件下的頻率來近似計算AMMs帶隙在某點處的頻率

(10)

式中:k為等效彈性剛度系數;M為有效質量,M=λMi,λ為質量系數,Mi為振動部分質量。當彈性波進入AMMs時,會使得整個結構發生應變,從而使得彈性波的能量儲存在單胞結構中即應變能W,變形后的各組件間因彈性相互作用,使得整個單胞結構具有勢能U,當振動位移達到最大值,可以近似認為應變能W全部轉化為勢能U。故U=W。在彈性波通過AMMs通帶時,小部分能量因結構的阻尼而轉化為熱能損耗在AMMs內部。在通過禁帶時,通過勢能和應變能的不斷轉化,最后所有能量均轉化為熱能損耗。可通過等效彈性系數k求得勢能U

(11)

式中,Δxmax代表振動位移的最大變化量。通過仿真軟件有限元軟件獲得Δxmax和W通過式(11)求出等效彈性系數k,代入式(10)即可求得數學模型的頻率。選擇B點和F點來計算等效彈簧質量模型的頻率,并與其特征頻率相對比,驗證彈簧質量模型的可行性,如表2所示。在B點時,主要振動部分為散射體,Mi=3.306×10-3kg,F點時主要振動部分為基體,Mi=0.098×10-3kg。

表2 能帶與等效模型頻率計算對比

等效模型計算所得頻率與實際能帶頻率的誤差分別為4.678%與1.432%,所運用的等效模型是切實有效的。

4 結構參數對帶隙的影響

通過HRC共振理論可知,HRC的壁厚S、HRC的高度H2將改變HRC空腔諧振頻率。通過彈簧質量模型分析,包覆層直徑D3、散射體材料屬性、基板厚度H1將改變等效彈性系數和等效質量,基板兩側散射體的不對稱度將影響耦合效應。故改變這些參數來探究其對帶隙的影響。

以0.2 mm為步長研究0.2～1.0 mm的壁厚變化對帶隙的影響。如圖6所示,隨著壁厚的增加,完全帶隙起始頻率逐漸降低,截止頻率先減小后增大。在S較小時,HRC的等效阻尼發生改變,使得HRC的振動被抑制,出現帶隙分支截斷現象,如圖7所示。xy方向的平面波和z方向的面外波對AMMs的影響因子減弱,導致橫向帶隙出現不完全性,從而分化為兩個完整帶隙。帶寬隨著S的增加而增加,在壁厚為0.4～0.6 mm時增量最大。散射體的質量增加,導致包覆層與基板的受力增加,故只計算到S為1 mm時的帶隙,在此后的優化中選用S=1 mm作為初始條件進行計算。

圖6 厚度S對帶隙的影響

圖7 帶隙超車(截斷)現象

以1 mm為步長研究散射體在3～8 mm的高度變化對帶隙的影響。如圖8所示,隨著H2的增加,起始頻率逐漸降低,H2的范圍在5 mm,6 mm時,HRC的等效阻尼減小,導致振動加強,對基板的作用力增強,出現分支超車現象,導致完全帶隙寬度極大程度拓寬。也即xy方向的平面波和z方向的面外波對AMMs的影響因子增強,使得橫向帶隙拓寬,從而形成更大的完整帶隙。截止頻率在H2=5 mm時最大,帶寬在H2=6 mm時取得最大,取H2=6 mm。

圖8 HRC高度H2對帶隙的影響

以0.2 mm為步長研究8.6～10 mm的包覆層直徑對帶隙的影響,在D3約為10 mm時,有限元軟件無法進行極小尺寸的網格劃分,以D3=9.9 mm來近似表示D3=10 mm。如圖9所示,起始頻率隨著D3的上升逐漸降低。截止頻率隨D3上升,先上升后下降,在D3=9 mm取得最大值。帶寬先增大后減小,在D3=9.2 mm時取得最大值。以低起始帶隙和寬帶隙作為最優標準,選擇D3=9.2 mm為后續初始條件。

圖9 包覆層直徑D3對帶隙的影響

散射體的材料參數對帶隙有調控作用,采用如表3所示材料進行帶隙對比分析。分析結果如圖10所示,一般情況下,散射體密度與基板密度比值越大,起始帶隙越小,帶隙越寬。在此理論研究中,后續選取鎢繼續作為研究初始條件,但雙側HRC AMMs在1 000 Hz以內,以鎢和鋼作為散射體的完全帶隙覆蓋率分別為75.81%和 69.7%,同等結構參數情況下,鎢散射體為鋼散射體重量的2.46倍且價格昂貴。在實際應用中,考慮經濟性和基板承載能力問題,推薦使用鋼作為散射體。

表3 材料參數

圖10 散射體材料參數對帶隙的影響

上下散射體的不對稱排布將導致散射體與基板的耦合效應發生改變,導致帶隙發生變化。如圖11所示,將上側散射體橫向移動0.1 mm和將上下兩個散射體沿相反方向同時移動0.1 mm兩種不對稱情況。其帶隙如表4所示,在y軸方向上移動0.2 mm,帶寬可增加6.8 Hz。散射體排布的不對稱度與帶寬成正比。

(a) 上端移動0.1 mm

基板和橡膠包覆層的厚度會影響等效彈性系數k和等效質量m,從而影響起始頻率和截止頻率。以0.2 mm為步長研究了0.8～1.8 mm的板厚H1對帶隙的影響。如圖12所示,隨著基板厚度增加,等效彈性系數k增大,起始頻率增大,截止頻率因等效質量m變化導致截止頻率減小。在基板大于1.2 mm后,中間出現不完全帶隙,考慮到承重因素,基板厚度選擇在1.0 mm。

圖12 基板厚度H1對帶隙的影響

有限元計算結果證明了改變幾何參數對帶隙調控的可行性。在選取材料為鎢,幾何參數為S=1 mm,H2=6 mm,D3=9.2 mm,H1=1 mm。得到模型的相對最優帶隙,其起始頻率降低24.1%,為195.8 Hz。截止頻率上升3.7%,為953.9 Hz,帶寬為758.1 Hz的帶隙。在1 000 Hz內覆蓋率高達75.81%。

5 結 論

本文提出了一種新型的雙側HRC AMMs,該結構采用HRC對稱放置在內嵌圓形橡膠包覆層鋁基板上。通過有限元法得到模型的能帶結構,結合HRC共振理論確定帶隙的影響因素,分析了模型的帶隙形成機理,結合傳輸譜證明聲學超材料的減噪性能,通過振動模態圖闡釋各點振動情況,最后通過HRC共振理論確定的影響因素研究了其對帶隙的影響。得到以下結論:

(1) 所設計模型的能帶結構與傳輸譜的能量損失范圍基本一致,表明聲子帶隙對聲波和彈性波的抑制作用。可通過彈簧質量模型來計算等效帶隙頻率。通過選取較優參數,雙側HRC AMMs在1 000 Hz以內第一完全帶隙覆蓋率高達75.81%。

(2) 單元結構的第一完整帶隙的起始頻率的大小與HRC的厚度、包覆層半徑、HRC高度、與散射體密度和基板密度比值成負相關,與基板厚度成正相關。

(3) 在考慮材料阻尼的情況下,通過改變AMMs的幾何結構,可以改變色散曲線形狀,導致分支超車現象,顯著影響了AMMs第一完全帶隙的寬度。