含裂紋圓拱的模態參數分析

熊峻巍, 盧文波, 王高輝, 劉義佳, 王 洋

(1.武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室,武漢 430072;2.武漢大學 水工巖石力學教育部重點實驗室,武漢 430072)

拱結構是水利、土木工程領域常見的基礎結構,在其服役過程中不可避免產生各類裂紋,進而結構降低強度和剛度,影響受力特性,降低安全性。分析損傷拱的模態參數演變規律可為結構損傷識別與定位提供依據,對結構的安全運行有重要意義。

國內外專家學者針對拱結構的動力響應、屈曲穩定等問題,采用解析法開展了大量研究,并取得了豐碩的成果。由于工程中拱結構截面的對稱性,研究過程中常對其面內彎曲振動和面外扭轉振動進行解耦分析[1]。Henrych[2]建立了極坐標下等截面圓拱的彎曲振動物理模型,推導了忽略剪力、轉動慣量和切向慣量條件下的拱面內自振頻率的解析解。基于此模型,張曉敏等[3]、李萬春等[4]分別研究了初應力拱、變曲率拱的自由振動特性;趙章泳等[5]、楊洋等[6]對拱結構彈性支承條件的影響進行了探索,分別研究了支承條件對拱結構自振頻率和屈曲特性的影響。另外,基于能量法建立微分方程研究拱結構的自振與失穩特性近年來也得到了廣泛研究[7-8]。

中小企業普遍存在著利潤偏低的問題，原因之一是成本過高，原材料價格上漲，用工成本居高不下，這些都給中小企業帶來了很大的成本壓力。成本的大幅度上升極大地壓縮了利潤的空間。二是稅負過重。中小企業涉稅種類繁多，其中個別稅種的設置不夠合理，好多的中小企業甚至出現了應繳稅金總額比企業的凈利潤高的現象； 三是融資難融資貴，好多企業因為貸款而產生的利息遠遠高于了企業的利潤。

而對于拱中裂紋的模擬,常借鑒梁、柱的裂紋模型,包括等效降截面法、局部柔度法等線性模型和開閉裂紋模型、呼吸裂紋模型等非線性模型[9-13],其中離散扭轉彈簧模型被廣泛運用于結構的動、靜力學特性及裂紋損傷識別研究。基于線彈簧模型,賀遠松等[14]討論了荷載幅值、裂紋深度等因素對裂紋圓拱動力屈曲性能的影響;Eroglu等[15]將線彈簧斷裂力學模型引入到拋物線拱中,研究了在不同荷載和邊界條件下,含裂紋拱的靜力力學特性;Cerri等[16]通過降低損傷部位的彎曲剛度,研究了裂紋對圓拱模態參數變化的影響,并進行了含裂紋鋼拱模態試驗,同時建立了含裂紋雙鉸拱的結構力學模型,研究了裂紋沿拱軸相對位置對結構模態參數的影響[17]。此外,廣義分布函數也在裂紋拱的模擬中得到了運用, Cannizzaro等[18]推導了多裂紋歐拉圓拱在任意靜分布荷載下的位移、變形等力學特性,并得到了解析解。

在拱結構的損傷識別方面,大量研究基于模態試驗并結合有限元分析展開:韓西等[19]對不同損傷程度的素混凝土拱進行了模態試驗,結合數值模擬結果證明了拱結構的損傷對其振動特性的影響是明顯的;聶振華[20]推導了拱結構的應變模態理論,并采用ANSYS計算分析了損傷對應變模態動力特性的影響規律,同時進行了圓拱損傷試驗,結果表明應變模態較位移模態對損傷更敏感但試驗中誤差較大;趙俊等[21]利用基于徑向位移的曲率模態差進行拱結構的損傷識別與定位,并用數值方法進行了驗證。

目前,對于含裂紋拱的模態參數演變規律與內在力學機制的相關研究較少,已有研究大多通過有限元計算建立模態參數與裂紋位置、裂紋深度等參數的關系,通常忽略了結構模態變化規律背后的力學機制,缺乏理論支撐;另外在討論裂紋參數時未結合結構自身力學特性,往往更多關注裂紋沿拱軸的位置變化而忽略了裂紋在截面相對位置的影響。針對上述問題,本文以圓拱為研究對象,基于面內振動微分方程,引入基于斷裂力學的線彈簧模型,建立含裂紋拱力學模型,得到含裂紋拱模態參數的閉合解,研究裂紋沿拱軸相對位置、裂紋深度等參數對結構模態的影響,利用攝動理論分析裂紋對結構模態變化的影響機制,通過數值方法研究裂紋在截面的相對位置對各階模態頻率的影響。相關成果可為拱結構損傷定位提供依據。

1 含裂紋圓拱自由振動模型

1.1 完整圓拱振動微分方程

根據表3工況計算圓拱固有頻率變化率和模態保證率,繪制結構損傷后前4階模態參數變化,如圖6所示。

半徑為R的等截面圓拱截面面積為A、慣性矩為I,如圖1所示。取拱一微段的受力情況如圖2所示。

聯合物理方程與幾何變形關系,引入達朗貝爾慣性力,可以得到拱平面運動的彈性平衡方程,如式(1)

(1)

根據線性系統振動的簡諧特征,基于式(2)可對平衡方程采用變量分離求解

2.2.2 腎臟病患病率 初次問卷調查發現，腎臟疾病患者7例(11.9%)；再次問卷發現腎臟疾病患者9例(15.3%)，其中新增糖尿病腎病1例、高血壓腎病1例，均為手冊組患者。兩次腎臟疾病患病率差異無統計學意義。

(2)

式中,ω為結構自由振動角頻率。

對于圓拱,半徑R為常數,則有ds=Rdθ。計算過程中,假設振動時拱軸不收縮,得到v=u′且′=d/dθ,將式(2)代入式(1),并消除EA和v項,可以得到關于u的6階微分方程

u(6)+(1+η2)u(4)+(η2-Ω)u(2)+Ωu=0

(3)

根據式(17),頻率變化是由損傷前損傷部位彎矩的平方與損傷后該截面彎曲模量的比值決定的。這一結論與第2章計算規律一致:不同階模態對于不同部位損傷的敏感性不同,當損傷位于某一振型模態峰值點或者固定端附近時,對應階的固有模態頻率下降最顯著,而當其靠近某階振型節點時,對應固有頻率變化較小;這是因為各階模態振型中,振型峰值點處彎曲變形大,微拱段的曲率改變量大,而彎矩大小與單位長度拱段的轉角增量呈正比,故振型峰值段和固定端附近承擔了較大的彎矩。式(9)損傷部位彎曲模量計算公式表明損傷彎曲剛度隨裂紋深度的增加而減小,而頻率變化與呈反比,故對于同一部位的損傷,頻率變化隨裂紋深度的增加而增加。

2) 烘絲機筒壁Ⅰ區、Ⅱ區升溫速率優化：即當烘絲機筒壁Ⅰ區、Ⅱ區溫度控制器啟動后，通過新增配方參數對烘絲機不同加工模式下的筒壁Ⅰ區、Ⅱ區額定升溫速率進行限制(表1)。

u(6)+(1+η2)u(4)+(η2-Ω)u(2)=0

(4)

(5a)

C5cosαx+C6sinαx

(5b)

C5αsinαx+C6αcosαx

(5c)

C4(1+β2)shβx+C5(1-α2)cosαx+

(5d)

C4(β+β3)chβx+C5(-α+α3)sinαx+

(5e)

C4(β2+β4)shβx+C5(-α2+α4)cosαx+

C6(-α2+α4)sinαx]

(5f)

C4(-Ωβ+β3+β5)chβx+C5(Ωα+α3-α5)sinαx+

C6(-Ωα-α3+α5)cosαx]

(5g)

將式(5b)～式(5g)代入拱的邊界條件即可求解結構模態參數。其中兩端固結拱在工程中常見,其邊界條件滿足法向速度、切向速度及轉角為0,如式(6)

u(0)=0,u′(0)=0,u″(0)=0

u(θ)=0,u′(θ)=0,u″(θ)=0

(6)

1.2 線彈簧裂紋模型

完整結構產生裂紋后,裂紋處的彎曲剛度隨之發生變化,大量學者通過斷裂力學法研究和發展了梁、柱等結構的局部柔度理論,其中描述裂紋引起局部柔度變化的Rice-Levy線彈簧裂紋模型表達簡潔,運用廣泛[22-23]。該模型通過引入轉動剛度為KC的彈簧鉸模擬裂紋,采用斷裂力學中常用的評價裂紋應力強度因子的方法來模擬裂紋處的剛度,裂紋兩側兩拱按照拱的基本方程處理,裂紋處滿足位移和力連續條件,如圖3(a)和圖3(b)所示。零長度的線彈簧模型中軸力、剪力與彎矩不會產生交互作用,故力與變形的關系可以采用胡克定律表示,如圖3(c)所示。考慮到在面內振動中,懸臂梁、圓拱主要表現為彎曲振動。為簡化計算在裂紋處僅考慮彎矩引起的彎曲作用,忽略剪力和軸力作用,則裂紋處轉角變形與彎矩滿足式(7)

(a) 含裂紋拱幾何模型

(7)

式中,K為剛度系數。同時在裂紋處滿足彎矩、軸力、剪力、法向及切向位移連續條件。綜上,拱裂紋處的連續條件滿足式(8),下標+,-分別為裂紋左、右兩側。

u+(nθ)=u-(nθ)

u?+(nθ)=u?-(nθ)

(8)

矩形截面梁在裂紋處的剛度為

(9)

式中:a為損傷裂紋深度;B、W為拱截面寬度、沿徑向的高度;F(a/W)是一自變量為a/W的無量綱函數,隨應力強度因子公式選擇的變化而變化,形式多樣。Okamura局部柔度模型[24]提出較早,精度高且得到了廣泛的運用[25-26],即:

1.3 含裂紋圓拱模態評價指標

根據前述,將圓拱視為一維彎曲拱建立拱運動微分方程,在裂紋處采用降低截面抗彎模量的方法模擬裂紋對整體結構柔度變化的影響,結合裂紋處連續條件和邊界條件,可以對結構頻率、振型等模態參數進行求解,并討論不同損傷參數對結構模態的影響。

圓拱結構對應圓心角θ=120°,半徑R=1.0 m,拱截面寬B=0.10 m,高W=0.05 m;鋼材密度ρ=7 800 kg/m3,彈性模型E=206 GPa,泊松比μ=0.3;圓拱兩端固結,如圖4所示。

在幼兒園區域活動開展過程中，教師應該給予幼兒更多合理的指導，但是不能在活動進行過程中將自己的想法強加給幼兒，應該給予幼兒更多的自主權，讓幼兒自己來進行活動區域以及玩伴的選擇。

農業，為民生之本。當各種各樣的農田作物成為人們的盤中餐時，被棄用的農用地膜的去向卻成了一大難題。因為不可降解且回收成本逐年增加，年復一年，農民們只能任由廢棄的農膜堆在田間地頭，隨風漫天飛舞，白色垃圾貽害萬年。

圖4 含裂紋圓拱計算模型

損傷參數如表1所示。其中裂紋比例距離按n=Ld/L=θd/θ計算。

表1 裂紋參數

含裂紋前后,圓拱在振動方向上的前4階模態如圖5所示。模態固有頻率與模態振型是常用的損傷識別指標,圓拱損傷后的頻率變化率η與模態置信度IMAC,如表2所示。頻率變化率和模態保證準則計算公式[27]分別按式(10)、式(11)計算

2.繼續推進產業結構的優化升級，使之成為我國工業低碳發展的不竭動力。堅持可持續發展的原則，注意協調好各類碳排放工業行業的發展規模和速度，優先發展高新技術、清潔型工業，限制污染密集型工業過快發展。政府可在政策和監管方面給予低碳清潔企業更多的支持，從而激勵其開展低碳生產工藝的研發等技術創新活動，以助于提升我國工業整體的低碳全要素生產率。

表2 含裂紋前后頻率及振型變化對比表

(a) 1階振型

(10)

(11)

探索建立檢察公益訴訟與生態環境損害賠償制度改革相銜接機制。檢察機關對發現的生態環境公益損害案件，擬提起公益訴訟的，應當依法公告，有關組織及省、設區市政府如不提起訴訟，檢察機關依法提起訴訟。對省、設區市政府啟動的生態環境損害賠償磋商，同級檢察院可派員列席磋商活動；對磋商不成的省、設區市政府提起的生態環境損害賠償訴訟案件，檢察院可通過提供法律咨詢、協助調查取證、出具書面意見等方式支持起訴。

從圖5可知,該工況下圓拱振型表現為反對稱模態、對稱模態交替出現,其中1階模態為反對稱,與文獻[1]結論一致:對于矢跨比較大的單拱(f/L>1/12),1階振型為反對稱,這是因為振動引起的附加軸力為0,阻力較小,固有頻率最低。

那日，媽媽又提及此事，嘆息道：“男人都要面子，當年，你爸爸也是，那時候你還小，我的身體也不好，他寧可挺著也不接受你姥爺的資助。”

觀察圖5及表2的計算結果,裂紋圓拱對不同階模態參數的變化幅度不一致,其中1階、2階模態參數變化較大,頻率下降約5%～7%,振型模態保證率為0.983～0.984,而4階模態參數變化較小,固有頻率僅下降0.15%,模態保證率變化同樣較小。作為表征圓拱模態變化的模態參數,產生裂紋后模態振型與固有頻率的變化規律基本一致,但后者變化幅度較小且準確性依賴測點布置。因此,選擇損傷后多階頻率變化率作為評價指標,能夠有效進行損傷定位和損傷程度評估。

2 含裂紋圓弧拱模態特征分析

以往研究表明,裂紋沿軸相對位置和裂紋深度對拱結構力學特性有重要影響。而從結構形狀特性出發,直梁通常沿軸線表現出對稱性,對于結構的自由模態,裂紋無論位于上側還是下側,對直梁模態的影響相同;但拱軸線彎曲不能視為對稱結構,因此裂紋在拱截面的相對位置(即拱內、外側)對結構模態的影響不容忽視。

2.1 裂紋沿軸相對位置

采用前文所述裂紋拱模型研究裂紋沿軸位置對結構模態參數的影響。拱結構幾何與力學參數同1.3節所述,裂紋參數如表3所示。裂紋相對高度為0.4,考慮到結構的對稱性,取1/2模型進行研究,即裂紋比例距離為n∈[0,0.5]。

在拱圈的振動過程中,總是有更大比例的拱段與振型峰值相對大處的運動方向一致,例如振型峰值相對大處向外運動,則有拱結構受軸向拉力,反之則受軸向壓力。結合上文分析可知:拱結構各階振型峰值相對大處,外側裂紋對模態影響更大;而振型峰值相對小的部分,結構模態變化對拱內側裂紋更敏感。

表3 裂紋參數計算

對于圓拱的自由振動特性求解,眾多學者已經給出了完整的敘述,一般通過結構的平衡方程、幾何方程、物理方程和達朗貝爾原理構建結構的自由振動微分方程,結合邊界條件計算得到結構的頻率、振型方程等模態特征。

(a) 1階