基于FxRLS自適應逆補償的振動控制策略研究

王 敏, 廖松泉, 鐘雨軒,3

(1.上海大學 機電工程與自動化學院,上海 200444; 2.上海大學 海洋智能無人系統裝備教育部工程技術研究中心,上海 200444; 3.上海大學 計算機工程與科學學院,上海 200444)

隨著空間探索的不斷發展,航天器運行時的微振動環境成為影響其搭載的高精度設備性能的重要因素。空間微振動具有振幅小、頻帶寬等特點,傳統的被動隔振無法滿足對中低頻振動的有效控制。目前的隔振手段,通常采用在被動結構中引入主動控制的方式實現高性能隔振[1-2]。

振動主動控制是一種有源隔振,其通過次級通道引入主動控制力來抑制或削弱傳遞到負載端的振動,具有適應性強和隔振效果好等優點[3]。振動主動控制的核心和關鍵,是控制策略的設計與研究,其直接關系到最終的控制效果。振動控制目前存在多種方法,如積分力反饋控制[4],相位補償控制[5],反饋與前饋復合控制[6],自適應控制[7-8]和前饋逆補償控制[9]等。其中基于自適應濾波的主動逆補償控制方法,采用自適應響應跟蹤,進行主動逆補償振動消除,具有較好的振動響應的跟蹤和消除能力,其控制結構簡單且對模型參數的變化不敏感,因此應用廣泛[10-12]。

在自適應濾波控制中,最小均方(least mean square, LMS)算法和最小遞歸二乘(recursive least squares, RLS)算法是振動和噪聲主動控制領域最受歡迎的算法[13]。在實際隔振系統中,由于次級通道的存在,LMS和RLS算法中對權向量的調整異常敏感,影響控制算法的計算效率。為消除次級通道的不良影響,通常采用改進的帶次級通道的FxLMS算法[14-15]和FxRLS算法[16-18]進行振動和噪聲的主動控制。

目前對LMS和RLS等自適應濾波算法的研究,多側重于算法特性和結構改進方面的理論研究[19-20],而很少涉及與隔振裝置結合后算法的響應跟蹤和振動消除效果的討論。相較于FxLMS算法,FxRLS算法在跟蹤速度和跟蹤精度兩方面的綜合性能更優,但存在運算數據量大的不足。隨著計算能力的不斷提升,計算量大將不再是制約其應用的重要因素。因此,將基于FxRLS的自適應逆補償振動控制策略應用于隔振系統中的研究變得更有價值。

本文將基于FxRLS自適應逆補償的振動主動控制策略應用于一個單自由度隔振系統,從隔振系統動力學模型和自適應逆補償算法兩方面分析了系統的振動消除機理。通過自適應控制算法對系統響應進行精確跟蹤,利用逆補償控制對系統振動進行主動消除。為了進一步校驗控制策略的有效性,本文在Simulink和試驗環境中,搭建了驗證系統,并對結果進行了分析。

1 隔振系統模型

在振動控制中,隔振需求可分為單自由度隔振和多自由度隔振。多自由度隔振系統通常由一個負載平臺、一個基礎平臺和若干單自由度隔振單元以特定構型組成,其振動控制問題經過結構和算法的解耦可以轉換成多個獨立自由度振動控制問題,簡化了自適應逆補償控制策略的分析。

因此,非一般性本文以單自由度隔振為研究對象,搭建的隔振系統,如圖1所示。它由一個力傳感器、一個壓電致動器、一個彎曲片彈簧和兩個用于連接兩個平臺的柔性鉸鏈組成。壓電致動器具有定位精度高、剛度大的特點,為了降低系統的整體等效剛度,本文將其與具有相對較低剛度的彎曲片彈簧串聯使用。該隔振系統結構簡單緊湊,可根據不同應用場合需要,利用柔性鉸鏈連接為多自由度隔振系統。

圖1 隔振系統結構和等效模型圖

根據圖1中的等效模型,本文隔振系統的動力學方程為

(1)

將式(1)中兩式拉氏變換后聯立,消去中間連接點xm處的相關變量,得到隔振系統代數方程的動力學模型為

(2)

將式(2)與彈簧-阻尼系統的模型進行等效可得:c=kaddcini/(cinis+kadd+kini)為系統的等效阻尼,kd=kaddkini/(cinis+kadd+kini)為系統的等效剛度,兩者都隨外部激勵變化。考慮本文中的隔振裝置為小阻尼系統,其初始阻尼cini在數值上遠小于初始剛度kini,系統的等效阻尼與等效剛度可以合理的簡化為c=kaddcini/(kadd+kini)與kd=kaddkini/(kadd+kini)。

將等效阻尼與等效剛度代入式(2)移項整理

(Mps2+cs+kd)-1[(cs+kd)Xi+Fz]=

Xo(e→0)

(3)

由式(3)可知,引入自適應逆補償振動主動控制的目的是產生與傳遞的基礎擾動相位相反的補償力Fz,使得負載端響應(即殘余振動e)趨近于零。

2 面向振動消除的自適應逆補償控制

2.1 自適應逆補償控制結構

圖2 自適應逆補償控制框圖

控制策略中的橫向濾波器的抽頭權向量W(n)能夠根據殘余振動e(n)和濾波后的參考信號x′(n)隨時間進行迭代更新,從而達到對振動響應實時自適應逆補償的效果。

在第n時刻,濾波器的輸出信號是過去輸入信號的加權組合,即

(4)

式中,N為濾波器的階數

(5)

估計誤差定義為濾波器輸出與實際傳遞直接擾動的差值,由于次級通道S(z-1)的存在,負載的實際殘余振動誤差為

e(n)=y(n)-S(z-1)Fz(n)

(6)

2.2 FxLMS算法逆補償控制律

FxLMS算法基于均方誤差最小準則,其抽頭權向量的代價函數定義為

ζ(n)=E{e2(n)}

(7)

該算法采用最速下降法對取得代價函數極小值點的抽頭權向量進行迭代搜索。由于代價函數的最速下降方向是函數曲面的負梯度方向,最速下降法可表示為

(8)

式中,u為步長因子。為了適應于實時控制,采用瞬時誤差平方值代替代價函數,最終得到抽頭權向量的遞推公式為

W(n+1)=W(n)+μe(n)x′(n)

(9)

從式(9)可知,抽頭權向量新息的更新主要依靠步長因子u,參考信號x′(n)和誤差信號e(n)三項。

2.3 FxRLS算法逆補償控制律

FxRLS算法基于最小二乘準則將抽頭權向量的代價函數定義為

(10)

基于逆補償的自適應濾波算法的目標是找到一組最優權值,使代價函數取得最小值,即代價函數的梯度為零。代價函數的梯度可寫為

(11)

根據以上分析,令式(11)等于零,整理得

W(n)=R-1p

(12)

式中:R為x′(n)的平均自相關矩陣;p為y(n)和x′(n)的平均互相關矩陣。

自適應控制系統中的數據是實時更新的,每次更新,W(n)都需重新計算,計算量很大,為了進行實時控制,根據RLS相關理論可推出W(n)更新的遞推公式

W(n)=W(n-1)+g(n)e(n)

(13)

其中,

(14)

式中:g(n)為增益矢量;λ為遺忘因子;C(n)為逆平均自相關矩陣。FxRLS算法的初始化設定為W(0)=0,C(0)=δ-1I,δ是一個極小正常數。

比較FxLMS算法和FxRLS算法控制律公式可知,FxLMS算法計算簡單,便于進行實時逆補償控制,但由于FxLMS算法采用瞬時誤差代替均方誤差,利用隨機梯度下降法搜索最優值,控制器的抽頭權向量在最優值鄰域內游走,因此在振動消除過程中存在收斂速度緩慢和穩態誤差較大的不足。

FxRLS算法采用加權誤差平方和代替均方誤差,使用觀測區間內信號的時間平均代替集平均,當隨機振動信號具有各態遍歷性時,控制器的抽頭權向量隨著迭代次數的增加能夠精確且快速的收斂于最優值。因此,FxRLS算法能有效解決FxLMS算法的以上問題。

3 仿真算例

3.1 仿真參數設置

為了校驗基于自適應逆補償主動控制策略的隔振系統的有效性,本文綜合上文推導的隔振系統動力學模型和自適應逆補償算法公式,在Simulink環境中對隔振系統在不同激勵下的跟蹤性能及振動消除效果進行了分析。隔振系統仿真參數設置如表1所示。

表1 仿真參數設置

3.2 響應跟蹤與誤差

頻率取0.1 Hz、1 Hz、10 Hz、20 Hz、50 Hz和100 Hz的正弦激勵下的響應跟蹤效果曲線,如圖3所示。依次為幅值相同,從跟蹤速度和跟蹤精度兩方面對隔振系統的響應跟蹤能力進行評估,跟蹤效果曲線各關鍵參數如表2所示。其中穩定時間和誤差幅值可綜合反映響應的跟蹤速度,而穩定誤差和跟蹤率則用于反映響應的跟蹤精度。

表2 不同激勵信號下跟蹤效果

圖3 正弦激勵跟蹤效果曲線

定義跟蹤率為負載端的逆補償輸出穩態幅值與振動響應穩態幅值的百分比,即

從圖3(a)和圖3(b)可知,在低于隔振系統固有頻率的低頻激勵范圍,LMS和RLS均能較快的達到穩定跟蹤狀態,但此時RLS的誤差幅值明顯小于LMS,表明RLS具有更快的跟蹤速度。例如在0.1 Hz正弦激勵下,兩者的穩定時間均為約0.4 s,LMS的誤差幅值為0.056 μm,而RLS的誤差幅值僅為0.005 μm。從穩定誤差對比兩種算法,RLS在穩定后能夠近乎無誤差的跟蹤激勵信號,穩定誤差小于0.31×10-3μm,而LMS由于采用隨機梯度的原因,存在失調的現象,跟蹤穩態誤差出現周期性波動,幅值達到了7.68×10-3μm,且隨著激勵頻率的增加而加劇。

從圖3(c)～圖3(f)可知,在正弦激勵頻率大于等于隔振系統固有頻率的中高頻段,以10 Hz正弦激勵為例對比發現,兩者的穩定時間均為約0.6 s,LMS的誤差幅值為5.16 μm,RLS的誤差幅值為5.02 μm,RLS相較LMS仍然具有更快的收斂速度,能迅速的將跟蹤誤差衰減到穩定值,但兩種算法穩定后的穩態誤差相同,均為約0.207 μm,即跟蹤精度相同。與低頻激勵比較可以發現,中高頻正弦激勵下兩種算法的跟蹤穩態誤差均沒有收斂于零值,而是存在周期性波動。從跟蹤率可知,隨著激勵頻率的增加,該周期性波動的占比也增加,跟蹤精度下降。例如100 Hz正弦激勵下,LMS和RLS的穩態誤差為0.008 μm,跟蹤率為60.98 %。

正弦混合信號(混合頻率為1 Hz、10 Hz、50 Hz和100 Hz)和1 Hz三角波信號激勵下的響應跟蹤效果曲線,如圖4所示。從圖4(a)和表2可知,LMS的穩定時間、誤差幅值和穩態誤差分別為1.3 s、5.45 μm和0.35 μm,而RLS則分別為0.5 s、5.00 μm和0.21 μm,RLS相比于LMS在跟蹤速度和跟蹤精度方面均具有明顯優勢,反映了多頻周期混合信號會影響LMS的跟蹤性能,而RLS則能在一定程度上克服該問題。同理,從圖4(b)和表2可知,三角波激勵下RLS在收斂速度和收斂精度上同樣均優于LMS。

圖4 混合信號和三角波信號激勵跟蹤效果曲線

因此,RLS算法在基于自適應逆補償的振動響應跟蹤中表現出更優的性能。

3.3 時域與頻域振動消除響應

為直觀反映應用RLS自適應逆補償主動控制策略的隔振系統的隔振效果,對隔振系統控制前后的負載端時域響應以及頻域響應進行分析,如圖5所示。

(a) 時域響應

從圖5(a)可知,主動控制施加前,隔振系統負載在隨機激勵下的響應最大值為0.8 μm,均值為0.25 μm,主動控制施加后最大值變為0.225 μm,均值變為0.034 μm,振動衰減0.575 μm和0.216 μm,隔振率分別達到71.9 %和86.4 %。

從圖5(b)中的系統幅頻特性曲線對比可知,綠色區域為隔振性能改善區,應用自適應逆補償控制后隔振系統在中低頻段的振動幅值得到顯著抑制,反映出系統在中低頻段具有更好的逆補償效果,例如振動在0.1 Hz處衰減了24.9 dB,在共振峰(10 Hz)處衰減了17.3 dB。因此,應用基于RLS自適應逆補償的振動主動控制策略,可以有效拓寬系統的低頻隔振帶寬,克服被動隔振系統中低頻隔振性能不足的劣勢。

4 振動衰減試驗

4.1 試驗平臺搭建

搭建隔振性能試驗平臺如圖6所示。該試驗平臺包括單自由度隔振系統樣機、實時控制系統與頻譜分析系統。為模擬航天器中微重力下的微振動環境,隔振系統樣機采用水平懸掛的方式安裝。隔振系統中采用壓電致動器(PSt150)與壓電驅動器(E00.A6)實現主動補償力的輸出。實時控制系統的核心是NI控制器(NI PXI-1042Q),其實時收集經過調制的力傳感器(PCB 208C02)的殘余振動信號和加速度傳感器(PCB 356A14)的基礎振動信號,并將經過算法計算產生的控制信號輸出給壓電驅動器。頻譜分析系統由兩個外部加速度傳感器(PCB 356A17)與LMS頻譜分析儀(LMS SC-XS06-E)組成。激振器(JZ-2)通過LMS生成信號和功率放大器(GF-50) 放大信號輸出隨機噪聲激勵,模擬環境微振動。外部加速度傳感器采集基礎和負載的振動信號給LMS處理,完成振動的采集與分析。

圖6 隔振性能試驗平臺

4.2 振動衰減效果

隔振系統在不同控制條件下負載時域響應曲線的對比圖,如圖7所示。

(a) 正弦信號激勵

由圖7(a)可知,正弦信號激勵下,負載加速度響應控制前的幅值為±0.41g,應用基于固定模型的逆補償控制后變為±0.30g,幅值衰減0.11g,隔振率27 %;應用本文基于FxRLS自適應的逆補償控制后變為±0.24g,幅值衰減0.17g,隔振率42%。由圖7(b)可知,隨機信號激勵下,負載加速度響應控制前幅值的均方根為0.03g,最大幅值為0.08g,應用基于固定模型的逆補償控制后分別變為0.02g和0.064g,均方根值衰減0.01g,最大幅值衰減0.016g,平均隔振率33.3%;應用基于FxRLS自適應的逆補償控制后分別變為0.01g和0.04g,均方根值衰減0.02g,最大幅值衰減0.04g,平均隔振率66.7%。

對比可知,根據前文建立的隔振系統模型,采用本文基于FxRLS自適應的逆補償控制策略取得的振動衰減效果優于基于模型固定的逆補償控制策略。

5 結 論

為有效消除航天器中微振動對高精密設備的不利影響,本文將FxRLS自適應控制算法與逆補償控制方法結合的振動主動控制策略應用于單自由度隔振系統中。從隔振系統動力學模型和自適應逆補償算法兩方面分析了系統的振動消除機理,并在Simulink和試驗中構建了控制模塊與機械模塊一體的驗證系統,根據結果可得:

(1) 在低于隔振系統固有頻率的低頻段,RLS和LMS在正弦激勵下的穩定時間相同,RLS的誤差幅值小于LMS,證明RLS具有更快的跟蹤速度。同時,RLS的穩定誤差小于LMS,跟蹤率大于LMS,而LMS存在周期性波動,且隨著激勵頻率的增加而加劇,則證明RLS具有更好的跟蹤精度。同理,在正弦激勵頻率大于等于固有頻率的中高頻段,RLS具有更快的跟蹤速度,跟蹤精度與LMS相同。與低頻不同,中高頻正弦激勵下兩種算法的跟蹤穩態誤差均存在周期性波動。隨著激勵頻率的增加,LMS和RLS的跟蹤率從0.1 Hz處的99.97%變為100 Hz處的60.98%,即跟蹤精度下降。

(2) 在正弦混合信號激勵下,LMS的穩定時間、誤差幅值和穩態誤差分別為1.3 s、5.45 μm和0.35 μm,RLS則分別為0.5 s、5.00 μm和0.21 μm,RLS相比于LMS在跟蹤速度和跟蹤精度方面均具有明顯優勢,反映了多頻周期混合信號對RLS跟蹤性能的影響小于LMS。同理可證明RLS對三角波信號的跟蹤效果優于LMS。

(3) 在本文控制策略應用前后,隔振系統頻域響應在0.1 Hz處振動衰減24.9 dB,在共振峰處衰減17.3 dB,有效消除了負載振動且中低頻段效果更好。在隨機激勵下的負載時域響應中,仿真結果顯示響應均方根值從0.25 μm變成0.034 μm,振動衰減0.216 μm,隔振率86.4%。試驗結果則顯示響應均方根值從0.03g變成0.01g,振動衰減0.02g,隔振率66.7%。試驗與仿真均證明了自適應逆補償控制策略的有效性。