三角的問題 方程的視角

【摘? 要】? 高中三角函數，由于三角公式的大量削減，現在學生學起來反而倍感吃力.為了改變這一現狀，可以跳出三角的苑囿，用方程的視角來重新審視三角問題，則會發現三角問題會變得簡單而有趣.

【關鍵詞】? 三角問題；方程視角；妙解

高中三角函數兼具知識性與工具性，是非常重要的基礎章節.由于課改的需要，有些繁瑣的三角公式已被逐出課本.現在學生記憶負擔減輕了，但解題時知識點之間的邏輯鏈接也變得緩慢了.如果我們改變思維視角，用方程的觀點來看待三角函數，則會豁然開朗，問題也隨之獲解.

1? 萬能置換視角

萬能置換最大的優點，就是能將正弦函數、余弦函數、正切函數用含同一個字母的不同代數式表達.這樣就為構造方程提供了先機.例1? 已知5sinx+1=5cosx，求cosx的值.

解析? 設tanx2=t，則sinx=2t1+t2，cosx=1-t21+t2，故原方程即為：5·2t1+t2+1=5·1-t21+t2，化簡得6t2+10t-4=0，解得t=13或t=-2，故cosx=1-t21+t2=45或cosx=-35.

2? 韋達定理視角

根據韋達定理逆向構造一元二次方程，是學生的拿手好戲.而正弦余弦函數的平方關系起到了關鍵性的橋梁作用.

例2? 已知sinθ+cosθ=15，θ∈（0，π），則tanθ的值是.

解析? 將sinθ+cosθ=15兩邊同時平方得：1+2sinθcosθ=125，即sinθcosθ=-1225<0.由韋達定理知sinθ，cosθ是一元二次方程x2-15x-1225=0的兩根，又因為θ∈（0，π），故cosθ<0<sinθ，則cosθ=-35，sinθ=45，故tanθ=sinθcosθ=-43.例3? 是否存在銳角α，β，使等式α+2β=2π3，tanα2tanβ=2-3同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由.

解析? 由已知α+2β=2π3，得α2+β=π3，則tanα2+β=tanα2+tanβ1-tanα2tanβ=3.? ①

將tanα2tanβ=2-3，? ②

代入①式，得tanα2+tanβ=3-3.? ③

由②③知tanα2，tanβ是方程x2-（3-3）x+2-3=0的兩個根，解之得x1=1，x2=2-3.因為α，β均為銳角，故tanα2≠1，即tanα2=2-3，tanβ=1.故β=π4，代入α+2β=2π3，得α=π6.故α=π6，β=π4.3? 對偶配對視角

正弦、余弦函數對偶互配，可以衍生出方程組，再通過解方程組或恒等變形，就可以使問題得到圓滿解決.

例4? 求值：cos20°cos40°cos80°.

解析? 由誘導公式得

cos20°cos40°cos80°=sin70°sin50°sin10°=sin10°sin50°sin70°.

設x=sin10°sin50°sin70°，y=cos10°cos50°cos70°，

則xy=18sin20°sin100°sin140°=18cos70°cos10°cos50°=18y，即xy=18y，故x=18.

例5? 已知sinx+2cosy=2，求cosx+2siny的取值范圍.

解析? 設cosx+2siny=t.? ①

又sinx+2cosy=2.? ②

由①2+②2，得（cosx+2siny）2+（sinx+2cosy）2=4+t2.

即5+4sin（x+y）=t2+4，則t2=1+4sin（x+y）≤5，

故cosx+2siny的取值范圍為［-5，5］.

4? 十字相乘視角

十字相乘法是解一元二次方程的靈丹妙藥.在三角函數恒等式里，能用十字相乘法分解因式的代數式俯拾皆是.

例6? 已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈0，π2，求sinα，tanα.

解析? 因為cos2α=2cos2α-1，故原方程可化為sin22α+sin2αcosα-2cos2α=0，由十字相乘法得（sin2α-cosα）（sin2α+2cosα）=0.

由α∈0，π2知：sin2α>0，cosα>0，故sin2α+2cosα>0，

故sin2α-cosα=0，則sinα=12，又α∈0，π2，則α=π6，所以tanα=33.

5? 加減消元視角

加減消元法是解決方程組問題的基礎方法.如果將這種思維遷移到三角函數里，就可以“柳暗花明，枯木逢春”.

例7? 已知α，β滿足tanαtanβ=713，若sin（α+β）=23，則sin（α-β）的值為.

解析? 設sin（α-β）=x，即sinαcosβ-cosαsinβ=x.? ①

由sin（α+β）=23，得：sinαcosβ+cosαsinβ=23.? ②

解方程組①②，得sinαcosβ=13+x2.? ③

cosαsinβ=13-x2.? ④

由③÷④得tanαtanβ=13+x213-x2=713，解得x=-15，故sin（α-β）=-15.6? 數形結合視角

數形結合是高中數學非常重要的思想方法.先以數論形，再因形構數，就可以“比翼雙飛，相得益彰”.

例8? 在△ABC中，已知AC=6，BC=8，

cos（A-B）=34，求sin（B-C）的值［1］.解析? 如圖1，在BC邊上取點D，使BD=AD，則∠BAD=∠B.

cos∠DAC=cos（A-B）=34，設BD=AD=x，則DC=8-x.

在△ADC中，由余弦定理得（8-x）2=x2+62-2·6·x·34，

解得x=4.故BD=AD=DC=4.所以點A在以BC為直徑的圓上，故∠BAC=90°，又cos（A-B）=34，

即cosC=34，所以sinB=34，則sin（B-C）=sin2B-π2=-cos2B=2sin2B-1=18.圖1

7? 求根公式視角

求根公式是解一元二次方程的萬能公式.如果我們能適時構造一元二次方程，就可以水到渠成地利用求根公式求解.

例9? 求值：cos36°.

解析? 設α=18°，則2α=36°，3α=54°.因為2α+3α=90°，故2α=90°-3α.

sin2α=cos3α，sin2α=cos（2α+α），2sinαcosα=4cos3α-3cosα，即2sinα=4cos2α-3.

化簡得4sin2α+2sinα-1=0，由求根公式得sinα=5-14（負根舍去）.

由二倍角公式得cos36°=cos2α=1-2sin2α=1-25-142=5+14.8? 判別式法視角

判別式是判斷一元二次方程根的試金石.而判別式法又是一種通用而有效的解題辦法，對于三角函數問題也大有用武之地.

例10? 在△ABC中，求證：sinA2sinB2sinC2≤18 ［2］.

解析? sinA2sinB2=-12cosA+B2-cosA-B2=-12sinC2-cosA-B2，

故sinA2sinB2sinC2=-12sinC2-cosA-B2·sinC2.

設sinA2sinB2sinC2=-12sinC2-cosA-B2·sinC2=t.

則sinC22-cosA-B2sinC2+2t=0.

將上述方程視為以sinC2為未知數的一元二次方程，

則Δ=cos2A-B2-8t≥0，即t≤18cos2A-B2≤18·1=18.

故sinA2sinB2sinC2≤18.

由以上八個用方程的視角解三角題的例子可以看出，方程的積極參與，使三角問題的解決途徑千姿百態.方程的“觸角”已深入到三角的各個“毛孔”.關鍵在于我們是否能融會貫通，打通其“任督二脈”.在平時的教學中，教師要有意識地引導學生從不同的側面看待數學問題，培養學生的發散性和創新性思維能力.

參考文獻

［1］? 林明成.沖刺雙一流? 高中數學培優講義［M］.成都：四川民族出版社，2023：37-38.

［2］? 琚興廣.高中數學一題多解［M］.武漢：湖北教育出版社，1995：37-39.

作者簡介? 魯和平（1964—），男，湖北省天門市人，特級教師；主要從事高中數學解題方法與技巧研究；發表論文80余篇.