例談三角函數最值問題的求解方法

【摘? 要】? 與三角函數有關的最值問題或取值范圍問題是三角函數中常考的一類基本題型，有些同學對此類問題常常會覺得無從下手.文章舉例說明求解此類問題的幾種行之有效的方法——配方法、換元法、導數法、數形結合法、反解法、判別式法、利用輔助角公式法、利用基本不等式法等解決問題.

【關鍵詞】? 三角函數；最值問題；求解

三角函數是高中數學學習中的重要內容之一，也是歷年高考必考的內容.在三角函數的學習過程中，我們經常會遇到求解最值問題或取值范圍問題，其類型多，解法靈活，技巧性強，是高中數學知識中的一個難點.筆者通過對高中階段常見的與三角函數有關的最值問題或取值范圍問題的求解方法的分析，并對解法中蘊含的基礎知識和基本方法進行解析，以期對提高同學們的解題技能和解題技巧有所助力，進而重點在邏輯推理、直觀想象、數學運算和數學建模等素養上得到提升.

1? 配方法例1? 已知函數f（x）=2sinx+cos2x，求f（x）的最大值.

解析? 因為f（x）=2sinx+cos2x=－2sin2x+2sinx+1

=－2sinx－122+32.

又因為－1≤sinx≤1，所以當sinx=12時，f（x）取最大值32.

點評? 根據cos2x與sinx（或cosx）的平方關系，把問題轉化為“二次函數在閉區間上的最值問題”，利用配方法，使問題獲解.在利用二次函數求最值時要注意正弦函數、余弦函數自身的取值范圍.

2? 換元法例2? 已知函數f（x）=sinxcosx+sinx+cosx，求f（x）的值域.

解析? 設t=sinx+cosx=2sinx+π4，則－2≤t≤2，且sinxcosx=t2－12.

所以f（x）=t2－12+t=12（t+1）2－1，所以當t=－1時，f（x）取最小值-1，

當t=2時，f（x）取最大值2+12.

所以f（x）的值域為－1，2+12.

點評? 通過換元，使題設中“隱藏”的平方關系得以凸顯，進而把“復雜”的函數轉化為熟悉的函數，進一步利用配方法使問題快速、簡捷獲解.這種“曲徑通幽”的方法充分彰顯了“化繁為簡”的優點.

3? 導數法例3? 已知函數f（x）=2sinx+sin2x，求f（x）的最小值.

解析? 因為f（x）的最小正周期為2π，所以只需考慮f（x）在［0，2π）上的最小值即可.

f′（x）=2cosx+2cos2x=2（2cos2x+cosx－1）=2（2cosx－1）（cosx+1）.

令f′（x）=0，得cosx=12，或cosx=－1，

即x=π3，或x=5π3，或x=π.

因為f（0）=0，fπ3=332，f（π）=0，f5π3=－332，

所以f（x）的最小值為－332.

點評? 本題在求解時，借助導數等工具判斷函數性質，并通過比較函數的極值得出函數的最小值.需要指出的是，例3與例1“形同質異”，求解時要注意辨析.

4? 數形結合法

例4? 求函數f（x）=3－sinx2+cosx的值域.

解析? 因為f（x）=3－sinx2+cosx=3－sinx2－（－cosx）.在平面直角坐標系xOy中，設A（2，3），P（－cosx，sinx），則點P是單位圓O：x2+y2=1上的動點，且f（x）=kPA.由圖1可知，

圖1

當直線PA與圓O相切時，kPA取最值.設直線PA的方程為y－3=k（x－2），即kx－y+3－2k=0.

由3－2kk2+1=1，解得k=2±233.所以f（x）的值域為2－233，2+233.點評? 本題通過圖形的形式直觀地呈現問題的條件與目標，并借助幾何直觀呈現問題的本質與內在聯系，使解題過程“跨越思維障礙”，化抽象為具體，利用代數方法最終實現解題目標，從中我們可以進一步感受數形結合思想的奇妙. 5? 反解法

所謂“正難則反”，就是指在某些函數的最值（或值域）直接不好求的情形下，可以通過求其反函數的定義域的方法進行求解.利用反解法求函數的最值（或值域）的解題步驟如下：

1.求已知函數的反函數；2.求反函數的定義域；3.根據反函數的定義域就是原函數的值域這一關系即可求出原函數的最值（或值域）.例5? 函數f（x）=3－2sinx2+cosx的值域.

解析? 設y=3－2sinx2+cosx，

則2sinx+ycosx=3－2y，

即y2+4sin（x+φ）=3－2y，其中tanφ=y2.

所以sin（x+φ）=3－2yy2+4.

因為sin（x+φ）≤1，所以3－2yy2+4≤1，

解得2－213≤y≤2+213.

所以f（x）的值域是2－213，2+213.點評? 本題的求解過程并沒有直接求出原函數的反函數，而是利用“反解法”的思想，根據已知條件反解得出sin（x+φ）=g（y），結合三角函數的有界性建立關于y的不等式，然后通過解不等式得出y的取值范圍，從而快速解決問題. 6? 判別式法例6? 已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若b=3，且a=3cosC+33csinB.

（1）求B；（2）求2a+c的最大值.

解析? （1）由已知，得a=bcosC+33csinB，

由正弦定理，得sinA=sinBcosC+33sinCsinB.

因為sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，所以cosBsinC=33sinBsinC，因為C∈（0，π），所以sinC≠0，所以cosB=33sinB，即tanB=3.由于B∈（0，π），所以B=π3.

（2）由（1）及余弦定理，得（3）2=a2+c2－2accosπ3，

即a2+c2－ac=3.? （*）

設2a+c=t>0，則c=t－2a，代入（*）式，得

a2+（t－2a）2－a（t－2a）=3，所以7a2－5ta+t2－3=0.

所以Δ=（－5t）2－4×7（t2－3）≥0，

解得0<t≤27.

當t=27時，a=577，c=477，符合題意.

所以2a+c的最大值為27.

點評? 求解第（2）問的關鍵在于通過換元，構造出一元二次方程，根據方程有解的條件求解不等式，使問題簡捷獲解.本題在求解過程中展示的化歸思想值得我們學習. 7? 利用輔助角公式

例7? 已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若b=3，且B=π3.

（1）求△ABC的周長的最大值；

（2）求△ABC的面積的最大值.

解析? 由正弦定理，得asinA=csinC=bsinB=332=2，

所以a=2sinA，c=2sinC，且A+C=2π3.

（1）因為a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin2π3－A

=2sinA+232cosA+12sinA=3sinA+3cosA=23sin（A+π6）.

當A+π6=π2，即A=π3時，a+c取最大值23.

所以△ABC的周長的最大值為33.

（2）因為S△ABC=12acsinB=12·2sinA·2sinCsinπ3

=3sinAsin2π3－A=32sin2A－π6+34.

當2A－π6=π2，即A=π3時，S△ABC取最大值334.

點評? 輔助角公式的主要作用就是利用和（差）角公式，將函數y=asinx+bcosx（其中a，b是常數，且ab≠0）轉化為y=Asin（x+φ）或y=Acos（x+φ）的形式，俗稱“化合為一”，進而可以求解有關函數的單調性、奇偶性、最值等問題.

8? 利用基本不等式

例8? 已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若ab=sinB+3cosBsinA+3cosA，且A≠B.

（1）求C；

（2）若角C的平分線交AB于點D，且CD=23，求a+2b的最小值.

解? （1）C=π3（過程略）；

（2）若角C的平分線交AB于點D，則∠ACD=∠BCD=π6.

因為S△ABC=S△ACD+S△BCD，

所以12AC·BC·sin∠ACB=12AC·CD·sin∠ACD+12BC·CD·sin∠BCD，

即12ab·32=12b·23×12+12a·23×12，

整理得2a+2b=1，

則a+2b=a+2b2a+2b=4ba+2ab+6≥24ba×2ab+6=42+6，

當且僅當4ba=2ab，即a=2b=2（2+1）時，等號成立，故a+2b的最小值為42+6.

點評? 求解第（2）問時，根據三角形的面積關系，得出a，b滿足的等量關系，再利用常值換元，為進一步利用基本不等式解題創造了條件，對問題的順利解答起到事半功倍的作用.

9? 小結與三角函數有關的最值問題或取值范圍問題，形式多種多樣，因此也就可以用多種不同的、行之有效的方法求解.上述幾例均可用其他方法求解，請大家不妨試一試，以開闊解題思路，培養思維品質［1］.新高考數學特別強調基礎性考查，注重方法的普適性［2］，因此，同學們在學習的過程中，既要注重對于基本知識、概念、原理等的深入理解、掌握與運用，不斷完善認知結構，形成整體性知識體系，也要注意總結各種不同類型問題的求解策略和方法，不斷提升分析問題和解決問題的能力，發展數學思維，方能在答題中游刃有余.

參考文獻

［1］? 華騰飛.例談軌跡方程的求解方法［J］.中學數學雜志，2022（03）：18-22.

［2］? 趙軒，任子朝，翟嘉祺.落實雙減要求? 深化基礎性考查——2022年新高考函數試題分析［J］.數學通報，2022（09）：7-10.

作者簡介? 林運來（1975—），男，貴州貴陽人，正高級教師，中國數學會奧林匹克高級教練，福建省數學學科帶頭人;研究方向為中學數學教學.