意料之外 情理之中

【摘? 要】? 2023年全國新高考Ⅰ卷導數解答題敘述簡潔，層次分明，內涵豐富，注重基礎知識和基本思想方法的考查，具有很好的區分度．對該題的解法探究和答題情況進行分析，提出在高三復習教學中務必要從基礎入手、注重通性通法、重視數學思想方法，切實提高復習效果．

【關鍵詞】? 導數；教學；通性通法

2023年全國高考已悄然落下帷幕，社會各界對全國卷試題的評價眾說紛紜．往年基本以壓軸形式出現的導數題，卻在全國Ⅰ卷中第19題的位置閃亮登場，并且難度適中．筆者的總體感受是：雖在意料之外，但在情理之中．“雙減”背景下，高考試題更加注重教考銜接，依據新課程標準命題，更加注重基礎的夯實和優化．因此，導數題的難度降低是在情理之中的．

筆者有幸參加了2023年浙江省高考閱卷工作，下面就全國Ⅰ卷第19題的閱卷體會和引發的教學思考，談一些想法．

題目? （2023年全國數學新高考Ⅰ卷第19題）已知函數f（x）=a（ex+a）－x．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）證明：當a>0時，f（x）>2lna+32．

1? 試題剖析

導數是高中數學的重要內容，它與眾多知識模塊都有知識交匯點，一直以來備受命題者的青睞．縱觀近五年的全國高考卷以及各地的模擬卷，導數大題一般出現在最后一題或者倒數第二題，常會被當做有區分度的壓軸大題．因此，高考前師生普遍都認為2023年導數仍會是以壓軸題的形式出現．結果，讓所有師生感到意料之外的是導數大題竟然出現在了第19題，難度中等，這說明全國卷高考穩中有變的理念，啟示我們平時要掌握到位每個知識點，而不是去猜測高考要考什么，更不能讓應試教育成為高中數學教學的唯一目標導向．1.1? 命題意圖

本題緊扣新課程標準，敘述簡潔，層次分明，內涵豐富，對函數與導數的本質作了充分的考查．其中，第（1）小題5分，考查函數的單調性，需要先求導再進行分類討論；第（2）小題7分，考查雙變量的不等式證明，需要在第（1）問的基礎之上先求出函數的最值，再轉化為單變量不等式的證明．此題很好地考查了學生靈活運用相關知識的能力以及數學抽象、邏輯推理、數學建模等數學核心素養．

1.2? 解法賞析

（1）解：由題意知，f′（x）=aex－1.

當a≤0時，f′（x）≤0，則f（x）在x∈（－∞，+∞）上單調遞減；

當a>0時，令f′（x）=0，則x=－lna．

若x∈（－∞，－lna），f′（x）<0，則f（x）單調遞減；

若x∈（－lna，+∞），f′（x）>0，則f（x）單調遞增．

（2）證明：（法1）由（1）可知，f（x）min=f（－lna）=ae－lna+a+lna=a2+lna+1．

令g（a）=f（－lna）－2lna+32，即g（a）=a2－lna－12，則g′（a）=2a－1a．

當a∈0，22時，g′（a）<0，g（a）單調遞減；

當a∈22，+∞時，g′（a）>0，g（a）單調遞增．

于是，g（a）min=g22=222－ln22－12=－ln22>0，即f（x）>2lna+32．

（法2）由（1）可知，f（x）min=f（－lna）=a（e－lna+a）+lna=a2+lna+1．

令g（a）=f（－lna）－2lna+32，即g（a）=a2－lna－12=a2－12lna2－12．

又因為lnx≤x－1，所以lna2≤a2－1<2a2－1，所以g（a）>0，即f（x）>2lna+32．

（法3）f（x）－2lna+32=aex+a－x－2lna－32=ex+lna+a2－x－2lna－32

≥1+x+lna+a2－x－2lna－32=a2－lna－12≥a2－a－1－12=a2－a+12>0，即f（x）>2lna+32．

1.3? 試題源流通過這次的閱卷交流，筆者更深刻地理解了該題的“源”與“流”．

凸函數的性質（切線不等式）? 若f是區間I上的可微凸函數，則經過點（x0，f（x0））（x0∈I）的切線一定在曲線y=f（x）的下方，即成立不等式f（x）≥f（x0）+f′（x0）（x－x0），x∈I．

本題第（2）小題就是以此性質為背景命制而成．當a>0時，函數g（x）=aex+a2－2lna，其在點ln1a，gln1a處的切線方程為y=x+1+a2－lna．同時，g″（x）=aex>0，由凸函數的“切線不等式”可知g（x）=aex+a2－2lna≥x+1+a2－lna>x+32，即aex+a2－2lna>x+32，稍作變形，使得問題更加隱蔽，得到a（ex+a）－x>2lna+32，即為2023年全國新高考Ⅰ卷第19題第（2）問．

1.4? 評分策略

本題的評分體現出高考改卷的2個維度：注重方法，解題思想一定要到位；強調計算，關鍵結論一定要算對．

第（1）小題中，求導和極值點正確分別占2分，單調性正確占1分．第（2）小題中，對于不等式證明的評分，解法1和解法2只要體現作差的意識就有2分，就算考生在求函數的最值時出現錯誤，也不會影響本步驟的得分；解法3兩次切線放縮正確各得2分．

2? 錯誤解析2.1? 本題得分情況

本題是解答題的第3題，絕大部分學生有足夠的時間和精力解決本題，但本題的平均得分只有5.2，去除0分后平均得分為7.08．從閱卷情況來看，第一，得滿分與得兩分及以下的百分比大致一樣，兩極分化比較嚴重；第二，本題的得分普遍在6分左右，且錯誤較為集中．2.2? 考生常見錯誤點第（1）小題：

①求導錯誤：導數求錯基本為兩種類型，f′（x）=a（ex－1）和f′（x）=（a+1）ex－1.

錯誤原因主要在于考生求導法則知識點沒有掌握到位，對變量的關系比較混亂，搞不清是對a求導還是對x求導；

②分類討論思想欠缺：忽略a≤0，只考慮a>0的情況；也有部分考生雖然考慮了a≤0的情況，但錯誤地認為此時函數f（x）的單調性不存在，原因在于定義域和單調性的概念不清．第（2）小題：

①方法不當：部分考生根據第（1）小題求出了函數f（x）的最小值，然后就不知道如何處理a2+lna+1>2lna+32這個式子；也有部分考生用分析法體現了作差思想，即證f（x）－2lna－32>0，但又不知道如何將一個多變量問題轉變為單變量問題去解決;

②運算錯誤：第（1）小題極值點求錯導致第（2）小題的最值求錯；認為g′（a）=2a－1a關于a單調遞增，從而得到g（a）>g（0）>0;

③放縮不當：不等式中出現ex和lnx，有些考生是知道要用切線放縮去證明，但是又不知道從哪里開始放縮，怎么放縮，只是把不等式ex≥x+1和lnx≤x－1寫在答題紙上，或者是胡亂放縮;

④數形結合使用不當：證明不等式a2－lna－12>0時，部分考生直接由圖像觀察得到關系式a2>lna+12，這就相當于要證的不等式仍然沒有證明．

總之，考生答題中出現千奇百怪的錯誤，一方面是基本知識掌握不到位，例如求導錯誤主要原因在于既有a又有x時考生不知道對哪個量求導．另一方面是沒有理解方法的本質，既不知道方法使用的前提條件，也不知道方法的作用，例如要證明一個多變量不等式不知道要轉化為單變量去解決，而部分考生只知道需要構造函數去證明，如何構造，為什么要構造卻不清楚．這種機械式學習的方法是數學學習最忌諱的．2.3? 得分技巧

①第（1）小題導數f′（x）不能求錯，否則后面的所有運算都是錯，只能得0分．

②體現解題思想的關鍵步驟一定要寫，比如求f（－lna）是為了將雙變量化為單變量，式子f（－lna）－2lna+32或者f（x）－2lna+32體現了作差思想，從中可以看出考生證明不等式的一般思路，那么這位考生第（2）小題的得分至少會有4分．

③優先采用通性通法，其得分點比較清晰，比如第（2）小問，用切線放縮的方法證明，如果放縮錯誤，很有可能就是0分．

3? 教學啟示

隨著全國新課程改革的推進，越來越多的省份開始回歸全國卷，而全國卷的一大特點就是各題的考查順序不固定．通過仔細分析可以發現，導數出現在第19題雖然是意料之外，但從其考查的基本思想方法看，卻又在情理之中．因此，高考命題組向一線數學教師傳遞了這樣個信息：教師一定要在鉆研教學內容上下功夫，最重要的是對數學思想的理解，對數學本質的認識．優質的教學不是去猜高考考什么，更不是盲目地搞題海戰術，而在于使學生領悟數學問題的本質．針對本題所反應的問題與考查意圖，建議在教學中注意以下幾個方面.3.1? 從易入手，夯實基礎

高三第一輪復習中要控制難度，從易入手，重視基礎．基礎知識的考查是高考數學的一個重要目標．雖然導數題是高考考查的熱點，但導數題并非都是高難度，并非都是學生難以解決的問題，也有一些問題極易入手．在復習中，需要牢固掌握求導法則并能正確計算函數的導數；掌握利用導數判斷函數的單調性、求曲線的切線方程、求函數的極值最值；理解證明不等式的常用方法等等．在教學中，教師應搜集基礎性的問題，讓學生在對簡單問題的完成中夯實基礎，把握導數知識的本質，也可以讓學生們在對簡單導數問題的解決過程中提升自身解決導數問題的決心，改變談“導”色變的數學學習現狀［1］.

3.2? 注重通性通法，淡化解題技巧

高考命題的原則是重視對通性通法的考查，淡化特殊解題技巧．指導學生復習中，不搞偏題怪題，不要刻意追求特殊解法，要注重思考題目的本質是什么，屬于哪種類型．因此，教師要精編作業，精選例題，所選題目要體現通性通法，在此基礎上適當延伸，從而使復習達到做一題會一類的效果，提高復習的效率．同時，閱卷過程中還發現很多學生會做不會寫，在平時的教學中要幫助學生規范答題，明確題目的通性通法的得分點和解題步驟，要求學生按得分點、分步書寫，嚴格訓練［2］.

3.3? 重視思想方法，落實核心素養

數學思想方法是對數學知識內容及其所使用方法的本質認識，而數學核心素養是對數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度、價值觀的綜合體現．因此，在導數知識的教學中，需重視常見的數學思想方法，如分類討論思想、轉化與化歸思想、數形結合思想等．在解決具體數學問題時借助數學知識和思想方法，可以將未知問題已知化、抽象問題具體化、復雜問題簡單化，從而培養學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力，發展數學抽象、邏輯推理、數學建模等數學核心素養．

參考文獻

［1］? 印桃紅．如何提升高中生的導數得分率［J］．數理化解題研究，2021（03）：10-11．

［2］? 徐茂炳．2015年江蘇省高考數學卷第19題閱卷感悟［J］．中學數學研究，2017（01）：11-13．

作者簡介? 趙凱菲（1989—），女，浙江麗水人，中學一級教師；榮獲麗水市優質課一等獎、麗水市高中數學競賽優秀指導師、麗水市市直優秀班主任等稱號;研究方向為高中數學教育．