意料之外 情理之中

【摘? 要】? 2023年全國新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)解答題敘述簡潔，層次分明，內(nèi)涵豐富，注重基礎(chǔ)知識和基本思想方法的考查，具有很好的區(qū)分度．對該題的解法探究和答題情況進行分析，提出在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中務(wù)必要從基礎(chǔ)入手、注重通性通法、重視數(shù)學(xué)思想方法，切實提高復(fù)習(xí)效果．

【關(guān)鍵詞】? 導(dǎo)數(shù)；教學(xué)；通性通法

2023年全國高考已悄然落下帷幕，社會各界對全國卷試題的評價眾說紛紜．往年基本以壓軸形式出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)題，卻在全國Ⅰ卷中第19題的位置閃亮登場，并且難度適中．筆者的總體感受是：雖在意料之外，但在情理之中．“雙減”背景下，高考試題更加注重教考銜接，依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)命題，更加注重基礎(chǔ)的夯實和優(yōu)化．因此，導(dǎo)數(shù)題的難度降低是在情理之中的．

筆者有幸參加了2023年浙江省高考閱卷工作，下面就全國Ⅰ卷第19題的閱卷體會和引發(fā)的教學(xué)思考，談一些想法．

題目? （2023年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第19題）已知函數(shù)f（x）=a（ex+a）－x．

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)a>0時，f（x）>2lna+32．

1? 試題剖析

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它與眾多知識模塊都有知識交匯點，一直以來備受命題者的青睞．縱觀近五年的全國高考卷以及各地的模擬卷，導(dǎo)數(shù)大題一般出現(xiàn)在最后一題或者倒數(shù)第二題，常會被當(dāng)做有區(qū)分度的壓軸大題．因此，高考前師生普遍都認(rèn)為2023年導(dǎo)數(shù)仍會是以壓軸題的形式出現(xiàn)．結(jié)果，讓所有師生感到意料之外的是導(dǎo)數(shù)大題竟然出現(xiàn)在了第19題，難度中等，這說明全國卷高考穩(wěn)中有變的理念，啟示我們平時要掌握到位每個知識點，而不是去猜測高考要考什么，更不能讓應(yīng)試教育成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的唯一目標(biāo)導(dǎo)向．1.1? 命題意圖

本題緊扣新課程標(biāo)準(zhǔn)，敘述簡潔，層次分明，內(nèi)涵豐富，對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)作了充分的考查．其中，第（1）小題5分，考查函數(shù)的單調(diào)性，需要先求導(dǎo)再進行分類討論；第（2）小題7分，考查雙變量的不等式證明，需要在第（1）問的基礎(chǔ)之上先求出函數(shù)的最值，再轉(zhuǎn)化為單變量不等式的證明．此題很好地考查了學(xué)生靈活運用相關(guān)知識的能力以及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

1.2? 解法賞析

（1）解：由題意知，f′（x）=aex－1.

當(dāng)a≤0時，f′（x）≤0，則f（x）在x∈（－∞，+∞）上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，令f′（x）=0，則x=－lna．

若x∈（－∞，－lna），f′（x）<0，則f（x）單調(diào)遞減；

若x∈（－lna，+∞），f′（x）>0，則f（x）單調(diào)遞增．

（2）證明：（法1）由（1）可知，f（x）min=f（－lna）=ae－lna+a+lna=a2+lna+1．

令g（a）=f（－lna）－2lna+32，即g（a）=a2－lna－12，則g′（a）=2a－1a．

當(dāng)a∈0，22時，g′（a）<0，g（a）單調(diào)遞減；

當(dāng)a∈22，+∞時，g′（a）>0，g（a）單調(diào)遞增．

于是，g（a）min=g22=222－ln22－12=－ln22>0，即f（x）>2lna+32．

（法2）由（1）可知，f（x）min=f（－lna）=a（e－lna+a）+lna=a2+lna+1．

令g（a）=f（－lna）－2lna+32，即g（a）=a2－lna－12=a2－12lna2－12．

又因為lnx≤x－1，所以lna2≤a2－1<2a2－1，所以g（a）>0，即f（x）>2lna+32．

（法3）f（x）－2lna+32=aex+a－x－2lna－32=ex+lna+a2－x－2lna－32

≥1+x+lna+a2－x－2lna－32=a2－lna－12≥a2－a－1－12=a2－a+12>0，即f（x）>2lna+32．

1.3? 試題源流通過這次的閱卷交流，筆者更深刻地理解了該題的“源”與“流”．

凸函數(shù)的性質(zhì)（切線不等式）? 若f是區(qū)間I上的可微凸函數(shù)，則經(jīng)過點（x0，f（x0））（x0∈I）的切線一定在曲線y=f（x）的下方，即成立不等式f（x）≥f（x0）+f′（x0）（x－x0），x∈I．

本題第（2）小題就是以此性質(zhì)為背景命制而成．當(dāng)a>0時，函數(shù)g（x）=aex+a2－2lna，其在點ln1a，gln1a處的切線方程為y=x+1+a2－lna．同時，g″（x）=aex>0，由凸函數(shù)的“切線不等式”可知g（x）=aex+a2－2lna≥x+1+a2－lna>x+32，即aex+a2－2lna>x+32，稍作變形，使得問題更加隱蔽，得到a（ex+a）－x>2lna+32，即為2023年全國新高考Ⅰ卷第19題第（2）問．

1.4? 評分策略

本題的評分體現(xiàn)出高考改卷的2個維度：注重方法，解題思想一定要到位；強調(diào)計算，關(guān)鍵結(jié)論一定要算對．

第（1）小題中，求導(dǎo)和極值點正確分別占2分，單調(diào)性正確占1分．第（2）小題中，對于不等式證明的評分，解法1和解法2只要體現(xiàn)作差的意識就有2分，就算考生在求函數(shù)的最值時出現(xiàn)錯誤，也不會影響本步驟的得分；解法3兩次切線放縮正確各得2分．

2? 錯誤解析2.1? 本題得分情況

本題是解答題的第3題，絕大部分學(xué)生有足夠的時間和精力解決本題，但本題的平均得分只有5.2，去除0分后平均得分為7.08．從閱卷情況來看，第一，得滿分與得兩分及以下的百分比大致一樣，兩極分化比較嚴(yán)重；第二，本題的得分普遍在6分左右，且錯誤較為集中．2.2? 考生常見錯誤點第（1）小題：

①求導(dǎo)錯誤：導(dǎo)數(shù)求錯基本為兩種類型，f′（x）=a（ex－1）和f′（x）=（a+1）ex－1.

錯誤原因主要在于考生求導(dǎo)法則知識點沒有掌握到位，對變量的關(guān)系比較混亂，搞不清是對a求導(dǎo)還是對x求導(dǎo)；

②分類討論思想欠缺：忽略a≤0，只考慮a>0的情況；也有部分考生雖然考慮了a≤0的情況，但錯誤地認(rèn)為此時函數(shù)f（x）的單調(diào)性不存在，原因在于定義域和單調(diào)性的概念不清．第（2）小題：

①方法不當(dāng)：部分考生根據(jù)第（1）小題求出了函數(shù)f（x）的最小值，然后就不知道如何處理a2+lna+1>2lna+32這個式子；也有部分考生用分析法體現(xiàn)了作差思想，即證f（x）－2lna－32>0，但又不知道如何將一個多變量問題轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞繂栴}去解決;

②運算錯誤：第（1）小題極值點求錯導(dǎo)致第（2）小題的最值求錯；認(rèn)為g′（a）=2a－1a關(guān)于a單調(diào)遞增，從而得到g（a）>g（0）>0;

③放縮不當(dāng)：不等式中出現(xiàn)ex和lnx，有些考生是知道要用切線放縮去證明，但是又不知道從哪里開始放縮，怎么放縮，只是把不等式ex≥x+1和lnx≤x－1寫在答題紙上，或者是胡亂放縮;

④數(shù)形結(jié)合使用不當(dāng)：證明不等式a2－lna－12>0時，部分考生直接由圖像觀察得到關(guān)系式a2>lna+12，這就相當(dāng)于要證的不等式仍然沒有證明．

總之，考生答題中出現(xiàn)千奇百怪的錯誤，一方面是基本知識掌握不到位，例如求導(dǎo)錯誤主要原因在于既有a又有x時考生不知道對哪個量求導(dǎo)．另一方面是沒有理解方法的本質(zhì)，既不知道方法使用的前提條件，也不知道方法的作用，例如要證明一個多變量不等式不知道要轉(zhuǎn)化為單變量去解決，而部分考生只知道需要構(gòu)造函數(shù)去證明，如何構(gòu)造，為什么要構(gòu)造卻不清楚．這種機械式學(xué)習(xí)的方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最忌諱的．2.3? 得分技巧

①第（1）小題導(dǎo)數(shù)f′（x）不能求錯，否則后面的所有運算都是錯，只能得0分．

②體現(xiàn)解題思想的關(guān)鍵步驟一定要寫，比如求f（－lna）是為了將雙變量化為單變量，式子f（－lna）－2lna+32或者f（x）－2lna+32體現(xiàn)了作差思想，從中可以看出考生證明不等式的一般思路，那么這位考生第（2）小題的得分至少會有4分．

③優(yōu)先采用通性通法，其得分點比較清晰，比如第（2）小問，用切線放縮的方法證明，如果放縮錯誤，很有可能就是0分．

3? 教學(xué)啟示

隨著全國新課程改革的推進，越來越多的省份開始回歸全國卷，而全國卷的一大特點就是各題的考查順序不固定．通過仔細分析可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)在第19題雖然是意料之外，但從其考查的基本思想方法看，卻又在情理之中．因此，高考命題組向一線數(shù)學(xué)教師傳遞了這樣個信息：教師一定要在鉆研教學(xué)內(nèi)容上下功夫，最重要的是對數(shù)學(xué)思想的理解，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識．優(yōu)質(zhì)的教學(xué)不是去猜高考考什么，更不是盲目地搞題海戰(zhàn)術(shù)，而在于使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．針對本題所反應(yīng)的問題與考查意圖，建議在教學(xué)中注意以下幾個方面.3.1? 從易入手，夯實基礎(chǔ)

高三第一輪復(fù)習(xí)中要控制難度，從易入手，重視基礎(chǔ)．基礎(chǔ)知識的考查是高考數(shù)學(xué)的一個重要目標(biāo)．雖然導(dǎo)數(shù)題是高考考查的熱點，但導(dǎo)數(shù)題并非都是高難度，并非都是學(xué)生難以解決的問題，也有一些問題極易入手．在復(fù)習(xí)中，需要牢固掌握求導(dǎo)法則并能正確計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求曲線的切線方程、求函數(shù)的極值最值；理解證明不等式的常用方法等等．在教學(xué)中，教師應(yīng)搜集基礎(chǔ)性的問題，讓學(xué)生在對簡單問題的完成中夯實基礎(chǔ)，把握導(dǎo)數(shù)知識的本質(zhì)，也可以讓學(xué)生們在對簡單導(dǎo)數(shù)問題的解決過程中提升自身解決導(dǎo)數(shù)問題的決心，改變談“導(dǎo)”色變的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀［1］.

3.2? 注重通性通法，淡化解題技巧

高考命題的原則是重視對通性通法的考查，淡化特殊解題技巧．指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)中，不搞偏題怪題，不要刻意追求特殊解法，要注重思考題目的本質(zhì)是什么，屬于哪種類型．因此，教師要精編作業(yè)，精選例題，所選題目要體現(xiàn)通性通法，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)延伸，從而使復(fù)習(xí)達到做一題會一類的效果，提高復(fù)習(xí)的效率．同時，閱卷過程中還發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生會做不會寫，在平時的教學(xué)中要幫助學(xué)生規(guī)范答題，明確題目的通性通法的得分點和解題步驟，要求學(xué)生按得分點、分步書寫，嚴(yán)格訓(xùn)練［2］.

3.3? 重視思想方法，落實核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容及其所使用方法的本質(zhì)認(rèn)識，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是對數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現(xiàn)．因此，在導(dǎo)數(shù)知識的教學(xué)中，需重視常見的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等．在解決具體數(shù)學(xué)問題時借助數(shù)學(xué)知識和思想方法，可以將未知問題已知化、抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

參考文獻

［1］? 印桃紅．如何提升高中生的導(dǎo)數(shù)得分率［J］．?dāng)?shù)理化解題研究，2021（03）：10-11．

［2］? 徐茂炳．2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)卷第19題閱卷感悟［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（01）：11-13．

作者簡介? 趙凱菲（1989—），女，浙江麗水人，中學(xué)一級教師；榮獲麗水市優(yōu)質(zhì)課一等獎、麗水市高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀指導(dǎo)師、麗水市市直優(yōu)秀班主任等稱號;研究方向為高中數(shù)學(xué)教育．