數學運算素養視角下的高考試題分析及教學建議

【摘? 要】? 數學運算是數學學科重要的核心素養之一，是數學活動的基本形式，是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段.文章剖析了2023年全國高考數學乙卷蘊含的多維度、多角度落實數學運算核心素養的考查內容和方式，并給出一些有效的教學建議.

【關鍵詞】? 數學運算；數學素養；試題分析；教學建議

1? 問題的提出

供陜西、甘肅、寧夏、青海、新疆、內蒙、江西、河南八省的2023年全國高考數學乙卷，全面考查了考生的數學核心素養和能力，充分體現了基礎性、綜合性、應用性和創新性的高考考查要求，凸顯數學作為基礎學科和在人才選拔中的重要作用，但不少考生認為試題結構穩定，難度不大，就是沒有做完，特別是實際分數與期望存在較大反差.那么是什么原因導致分數的落差呢？本文筆者從數學運算素養的視角來剖析試題，并給出些許教學建議，不當之處敬請指正.

2? 基于運算素養的試題分析

數學運算是解決數學問題的必由之路和關鍵環節，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段，試題彰顯數學運算是數學活動的基本形式，充分體現了“無運算不數學”的特點.按照《普通高中數學課程標準》（以下簡稱《標準》）給出數學核心素養的水平劃分依據，數學運算核心素養被劃分為三個水平，每一個水平又通過情境與問題、知識與技能、思維與表達和交流與反思這四個維度進行表述，根據滿意原則，將每道試題四個維度中的最高水平作為該試題的運算素養水平得到表1［1］，下面舉例說明相關“水平”的確定.圖1

例1? （理科第19題）如圖1，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，AD=5DO，點F在AC上，BF⊥AO.

（1）證明：EF∥平面ADO；（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

試題分析? 本題以三棱錐為載體進行命題，考查了線面平行、面面垂直的判定和二面角的求法.前兩問表面看是空間線面位置關系的幾何證明，實則蘊含大量的代數推理. 因為點F由BF⊥AO確定，所以問題的關鍵就是恰當利用條件BF⊥AO，推得F是AC的中點. 解答時，首先要在數學情境中迅速地找到運算對象；然后根據題目所需，選擇比較合適的運算方法求得所需結果. 第一問，可從以下三個角度進行思考： ①向量基底法或向量坐標法，從計算BF·AO入手，如設AF=tAC，則BF=BA+AF=（1－t）BA+tBC，AO=－BA+12BC，則由BF·AO=0，解得t=12，得F為AC的中點；②解析法，如以BA，BC所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，從計算斜率，即kBF×kAO=－1入手，求得F（1，2），說明F為AC的中點；③利用平面幾何知識，如同一法（設F′是AC的中點，利用三角形相似或勾股定理的逆定理證BF′⊥AO，由唯一性知BF與BF′重合，即F、F′為同一點）.最后證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

第二問，可從以下兩個角度進行思考：①利用向量法，如計算法向量，證法向量垂直；②幾何綜合法，如計算OD2+AO2=AD2=152，利用勾股定理的逆定理得OD⊥AO，進而由線面和面面垂直的判定定理證明.

第三問，同樣有兩個思考角度，如圖2：①利用空間向量法，建立空間直角坐標系，得平面AOC的一個法向量m=（0，0，1），平面ADO的一個法向量n=（1，2，3），由向量夾角公式和同角關系得結論為22；

②幾何綜合法（一作二證三計算），如過點O作OH∥BF交AC于點H，則∠DOH為二面角D-AO-C的平面角，但運用余弦定理求角時需求△DOH的三邊長，它不僅需繼承已有結果，而且計算邊DH=152的運算也不簡單.詳解? 略.

素養水平? 通過對試題的詳細分析可知，該題在考查相關空間點、線、面位置關系判定的同時，全面考查考生空間想象、運算求解、邏輯推理及綜合分析解決問題的能力.第一問在情境與問題這個維度涉及到的只有數學情境，無其它情境；在知識與技能這個維度，考查的知識點涉及線線平行、線面平行的判定和線線垂直的性質及相關平面幾何知識，考查考生靈活應用所學知識，選擇合理運算方法解決問題的能力；在思維與表達這個維度，體會通過合理運算解決線面平行的推理證明過程，形成規范化思考解決問題的品質；從交流與反思這個維度來看，體現了借助運算探討位置關系的運用.根據《標準》有關數學運算核心素養的水平劃分，第一小問基本可以劃分為數學運算核心素養的水平2.

第二問承前啟后，通過勾股定理的逆定理得到DO⊥AO，進而有EF⊥AO，說明考生能將題目提供的數據信息與幾何圖形有機聯系，并能形成合理的運算思路解決問題，類同第一問，根據加分原則，可以認為達到數學運算核心素養水平2的要求.

第三小問在情境與問題這個維度仍僅涉及數學情境，運算對象清晰；在知識與技能這個維度，在前兩問的基礎上還涉及二面角、空間向量坐標、法向量、夾角公式、同角三角關系等知識點，主要考查考生根據所求問題選擇適合解決該問題的運算方法；在思維與表達這個維度，主要考查學生能否利用所學知識設計運算程序，求出二面角的正弦值，進而體驗運算即邏輯推理的過程；在交流與反思這個維度，體現了利用運算結果說明問題這一過程，根據《標準》，該問達到數學運算核心素養的水平2的要求.

例2? （理科第20題，文科第21題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的離心率是53，點A（－2，0）在C上．

（1）求C的方程；（2）過點（－2，3）的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點．

試題分析? 該題以圓錐曲線中的橢圓為載體設置，第一問相對比較簡單， 主要考查的是考生能夠利用主干條件求出題目中要求的橢圓的標準方程，第二問在主干條件的大前提下，又設置了小條件作為問題解決的媒介，考查的是直線恒過定點問題.

解答第二問，首先要不拘泥于試題的固有形式，能對試題適當拓展延伸，問題即驗證yM+yN2為定值；其次，能夠針對所求問題選擇較合適的運算方法，最主要的是結合所學知識將抽象的動態的問題轉化為可以直接解答的問題，如圖3.

易知直線PQ的斜率存在，設PQ：y=k（x+2）+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），與橢圓方程聯立，韋達定理可得

x1+x2=－8k（2k+3）4k2+9，x1x2=16（k2+3k）4k2+9，再在直線AP：y=y1x1+2（x+2）中，令x=0，得yM=2y1x1+2，變量替換可得yN=2y2x2+2，綜合y1=k（x1+2）+3，y2=k（x2+2）+3等信息，運算得

yM+yN2=3，即證得線段MN的中點是定點（0，3）.

在整個解題過程中考生能體驗到利用數形結合、分類討論、轉化化歸思想解決復雜問題的功效，及規范化的理性思維品質和克服困難、勇攀高峰的精神意志.詳解? 略.

素養水平? 通過上面對試題的詳細分析，可以看到這道試題不僅是單一地考查相關知識點，還考查考生的綜合分析及解決問題的能力. 這道試題的第一問在情境與問題這個維度涉及到的只有單純的數學情境，無其它任何的實際情境；在知識與技能這個維度，考查的知識點涉及橢圓的離心率、頂點、橢圓的標準方程，主要考查考生應用所學知識列、解方程的能力；在思維與表達這個維度，考生能夠體會橢圓的幾何性質及方程思想對整個問題解決的關鍵作用；從交流與反思這個維度來看，體現了“反思” 這個過程. 根據《標準》有關數學運算核心素養的水平劃分，該問基本可以劃分為數學運算核心素養的水平1.

第二問在情境與問題這個維度涉及到的是純數學情境，只需簡單轉化即可明確運算對象；在知識與技能這個維度，該問除了要利用第一問的計算結果之外，還涉及直線方程、直線與橢圓位置關系、韋達定理、中點坐標公式和定點等知識點，主要考查考生能否綜合應用所學過的知識，結合題目條件準確地找出運算問題，再根據所求問題的類型選擇適合解決該運算問題的運算方法；在思維與表達這個維度，主要考查學生能否利用數形結合、分類討論、設而不求、設而要求、化歸等思想方法設計運算程序，求出點M、N的坐標之和；其次，在解題過程中切身體會到運算過程是一種邏輯推理過程；在交流與反思這個維度，體現了“反思”這一過程，說明考生能合理構造運算程序，綜合運用相關運算，完美解答問題，根據《標準》，遵循加分原則，該問可以劃分為數學運算核心素養的水平3.

《標準》中指出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程. 從表1展示的素養水平可以看出，全卷100%的題需計算，整體計算量較大，運算能力水平要求較高，如理科設問32個，運算素養水平1、2的問題各15個，水平3的問題2個，相關問題的分值權重依次為43.8%，48.7%，7.5%，理科運算素養的考查水平明顯高于文科，雖有近一半的題目運算對象明確，運算所必須的知識及技能熟悉，但它與正確求得運算結果還有較大距離，對于需要轉化甚至構造運算對象，探究運算方法的題目，更需考生具備較強的綜合運用知識分析和解決問題的能力.

3? 基于運算素養的教學建議

高考題是命題專家依據《標準》和《中國高考評價體系》經過嚴格推敲，體現“一核四層四翼”的良好素材，是中學教與學的指南針，深化對高考考查方式、命題特點的理解，在教中練，在練中悟，在悟中學，在學中提升數學核心素養，是我們教學的出發點和著力點.這里以運算素養的主要表現形式為抓手，通過具體試題的剖析，給出教學建議，促使大家在欣賞高考試題的同時，強化培養運算素養的意識.3.1? 理解運算對象，保證運算的根正苗紅

例3? ?（理科第3題，文科第3題）如圖4，網格紙上繪制的一個零件的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（? ）.A.24??? ?B.26? C.28? ???D.30

解析? 如圖5所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，點H，I，J，K為所在棱上靠近點B1，C1，D1，A1的三等分點，O，L，M，N為所在棱的中點，

則三視圖所對應的幾何體為長方體ABCD-A1B1C1D1去掉長方體ONIC1-LMHB1之后所得的幾何體.

解法1? 直接法.該幾何體的表面積為正方體ABCD-KHIJ的表面積與長方體KMNJ-A1LOD1的側面積之和：（2×2）×6+（2×2+1×2）×1=30.

解法2? 間接法.該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：（2×2）×2+（2×4）×3－（1×1）×2=30. 故選D.

評析與建議? 求空間幾何體的表面積，關鍵是要弄清幾何體的類型及其結構特征，并正確寫出面積表達式.本題由三視圖還原空間幾何體，在求其表面積時易忽視面MNOL錯選C，忽視底面錯選B，或空間上的對象模糊混亂，如用ABCD-A1B1C1D1的表面減去MHIN-LB1C1O的表面或側面或底面而錯選B、C、A等等.由于學生的基礎和理解能力不盡相同，教學中對寫錯算式不能簡單用“粗心馬虎”武斷了之，而應放慢速度，長期地從題目閱讀、疑點釋疑、難點化解、重點突破、關系梳理及數學表達等方面探索交流，以落實學生的數學素養為目的，逐步培養學生分析問題的能力，形成扎實的運算基礎.3.2? 掌握運算法則，儲備運算的科學武器

例4? （理科第1題）設z=2+i1+i2+i5，則=（? ）.

A.1－2i??? B. 1+2iC. 2－i??? ???D. 2+i

解析? 由題意可得z=2+i1+i2+i5=2+i1－1+i=i（2+i）i2=2i－1－1=1－2i，則

=1+2i. 故選B.

評析與建議? 掌握復數四則運算及乘方運算法則是計算復數z的關鍵，且本題仍存在i5計算或四則運算不仔細，忽視目標是求共軛復數等因素出錯.中學所涉及的數學定義、定理、公式、運算法則，系統地觀察并不多，如數式的六種初等運算（加、減、乘、除、乘方和開方），集合、指對數、三角、向量、導數等相關運算法則，但由于其非常基本，使用頻率高，運用的綜合性強，因而對這些法則必須深度理解、系統地準確記憶并能靈活應用.

3.3? 探究運算思路，把準運算的正確方向例5? （理科第12題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若PO=2，則PA·PD的最大值為（? ）.

A.1+22??? B. 1+222C. 1+2? D. 2+2

解析? 解法1? 三角法.由OA=1，OP=2及題意，得PA=1，∠APO=π4.

當點A，D位于直線PO異側時，設∠OPC=α，0≤α≤π4，則PA·PD

=|PA|·|PD|cosα+π4=12－22sin2α－π4.

由0≤α≤π4，得－π4≤2α－π4≤π4，所以，當2α－π4=－π4時，PA·PD有最大值1.

當點A，D位于直線PO同側時，設∠OPC=α，0≤α≤π4，則PA·PD

=PA·PDcosπ4－α=12+22sin2α+π4.

0≤α≤π4，則π4≤2α+π4≤3π4，所以，當2α+π4=π2時，PA·PD有最大值1+22.

綜上可得，PA·PD的最大值為1+22.故選A.

解法2? 向量投影法. 如圖6所示，OA=1，OP=2，則由題意可知PA=1，∠APO=π4.由于D為BC的中點，所以PB⊥OD，所以點D在以PO為直徑的圓上，設PO的中點為Q，垂直PA的直線切圓Q于點D0，交PA于點E0，則∠D0QO=π4，所以AE0=QD0－12PA=22－12，PE0=PA+AE0=22+12，PE是PD在PA上的投影，于是PA·PD=PA×PE≤PE0=2+12.解法3? 估算法. 注意到四個選項相差較大，

PA·PD=PA×PE=PE，借助幾何直觀發現PE∈（0，PE0］，而PE0∈（1，2），B，C，D三個選項都大于2，故選A.

評析與建議? 解法1的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數量積的問題轉化為三角函數求最值的問題，反映了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.然而完整作答需分類討論，利用平面向量的數量積定義得到PA·PD=12－22sin2α－π4，或PA·PD=12+22sin2α+π4，然后結合三角函數的性質確定

PA·PD的最大值，大小有近二十步的計算量，耗時費力.解法2充分利用數量積的幾何意義，借助直觀圖形，結合向量投影的幾何屬性，輔以適量的運算求解，事半功倍；解法3結合題設條件的幾何特征與選擇支差異，通過較強的直觀想象和數感能力分析得解，達到“上兵伐謀”之功效.無疑，解法3的境界是我們的追求，但冰凍三尺非一日之寒，高中數學運算技巧很多，除了基本的公式法則的正用、逆用、變用外，還包括換元、配方、待定系數、化整為零、化零為整、恒等變換、數形轉化、設而不求、放縮變換等等，要達到靈活運用技巧解題，須在平時善于提煉數學思想方法，善于挖掘數學問題的本質，善于一題多解并能舉一反三，善于訓練積累和鉆研.3.4? 設計運算程序，鋪平運算的康莊大道例6? （理科第21題）已知函數f（x）=1x+aln（1+x）.

（1）當a=－1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）是否存在a，b，使得曲線y=f1x關于直線x=b對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.（3）若f（x）在（0，+∞）存在極值，求a的取值范圍.

解析? 數學運算既服務于解題，又引導解題方向，合理的運算程序蘊于解題程序之中，本題解題流程圖（圖7）的每一模塊實質上包含一個或多個運算步驟.請讀者不妨依程序框圖試著寫出題目詳解.

評析與建議? ?（1）求切線方程的核心是利用f′（x）的幾何意義求切線的斜率f′（1），一般求f′（x）要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導，對復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.接著求切點坐標到切線方程的化簡整理，運算貫穿始終，可以說運算過程就是解題過程.

（2）遵循定義域優先原則，結合對稱的必要條件，通過函數的定義域即可確定實數b=－12，進一步由函數的對稱中普遍與特殊的關系，利用特殊值法可得關于實數a的方程，解方程可得實數a=12，最后檢驗所得的a，b是否正確，完成充分性論證，體現運算在解決問題中的工具性和邏輯價值.

（3）f（x）在（0，+∞）存在極值等價于f′（x）有變號的零點，等價于f′（x）=0有變號根，據此構造新函數h（x）=ax2+x－（x+1）ln（x+1），求h′（x）=2ax－ln（x+1），分三種情況討論導函數的性質，可求得實數a的取值范圍是0，12.即：

①當a≤0時，h′（x）<0，h（x）在區間（0，+∞）上單調遞減，此時h（x）<h（0）=0，h（x）在區間（0，+∞）上無零點，不合題意;

②當a≥12時，由于h″（x）=2a－1x+1>0，所以h′（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，所以h′（x）>h′（0）=0，h（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，h（x）>h（0）=0，所以h（x）在區間（0，+∞）上無零點，不合題意；

③當0<a<12時，由h″（x）=2a－1x+1=0可得x=12a－1.

當x∈0，12a－1時，h″（x）<0，h′（x）單調遞減，h′（x）<h′（0）=0；

當x∈12a－1，+∞時，h″（x）>0，h′（x）單調遞增，利用lnx<x－1x（x>1）（*）得h′（x）=2ax－ln（x+1）>2ax－x+1－1x+1=（2ax+1－1）xx+1.

令2ax+1－1=0，得x0=14a2－1，于是h′（x0）>0，

根據零點存在性定理可知：h′（x）在區間12a－1，x0，即（0，+∞）上存在唯一零點x1.

當x∈（0，x1）時，h′（x）<0，h（x）單調減，h（x1）<h（0）=0；

當x∈（x1，+∞）時，h′（x）>0，h（x）單調遞增，利用不等式（*），有

h（x）=ax2+x－（x+1）ln（x+1）>ax2+x－（x+1）x+1－1x+1=（ax+1－x+1）x.

令ax+1－x+1=0，得x2=1－2aa2，所以h（x2）>0，

所以函數h（x）在區間（x1，x2），即（0，+∞）上存在變號零點，符合題意.

前面四次等價轉化需要對問題有較強洞察和模式識別能力，之后的h（x）零點研究，特別是在0<a<12時“找點”利用定理驗證零點存在性的環節，沒有合理解題思路指引，沒有厚積的知識儲備和扎實的運算素養，是不可能實現解題愿望的.

運算的程序設計是數學運算最重要的內容，是實現數學運算的保證，它不僅對數學中許多問題的解決有重要作用，而且廣泛應用于其它科學技術之中.運算的程序設計能力也是一種數學理性思維能力的具體體現，教師要不失時機地通過問題與交流、探究與歸納、模仿與表達、實踐與反思等手段重點培養.

4? 結束語

1963年編制的《全日制中學數學教學大綱（草案）》首次明確提出“培養學生正確而且迅速的計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”的要求.1991年原國家教育委員會發布《普通高等學校招生全國統一考試數學科說明》提出“數學科考試旨在測試基礎知識、基本技能、基本方法和運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，以及運用所學數學知識和方法，分析和解決問題的能力”，即所謂“三基四能” ［2］.2017年版（2020年修訂）的《標準》明確提出了包含數學運算的六個既有獨立性又互相交融的數學核心素養，同時在高考從能力立意到核心素養立意的實踐中，數學運算核心素養肩負著異乎尋常的責任. 從“三大能力”中的“計算”，到“四大能力”中的“運算”，再到“五大能力”中的“運算求解，數據處理”，再到《標準》提出的“數學運算素養”，統統說明數學始終離不開數學運算.運算素養是學生適應未來社會的一個最基本素養，它是甄別個人思維能力、展現思維過程的載體，是促進個人智力發展的催化劑，是學生學習態度、意志品質的反映，是數學落實立德樹人的指路明燈，更是決定數學高考成敗的關鍵！

參考文獻

［1］? 李子瞻，胡典順.基于數學核心素養的新舊高考比較分析——以2021年新高考Ⅰ卷與2020年全國Ⅰ卷為例＼[J＼].數學教育學報，2022（03）：26-30.

［2］? 任子朝，陳昂，趙軒.數學核心素養評價研究＼[J＼].課程·教材·教法，2018（05）：116-121.

作者簡介? 劉正章（1968—），正高級教師， 特級教師，陜西名師，省級教科研先進個人；主要研究中學數學教學及數學文化;撰寫數學書籍30多部，發表文章130余篇，主持省市級課題10多個．