圓錐曲線富瑞吉伴圓圓心軌跡探究

萬志紅 丁位卿

【摘? 要】? 在研究富瑞吉定理的新證法同時，發現了它對應的伴富瑞吉曲線軌跡和伴圓圓心軌跡，并給出相關證明.以富瑞吉（Fregier）定理為背景的高考題，近年來時有出現，比如2020年山東、海南卷解析幾何壓軸題、2023年高考全國Ⅰ卷最后一題，也可借助富瑞吉定點來解答.

【關鍵詞】? 圓錐曲線;富瑞吉點;伴圓圓心;軌跡

先證明圓錐曲線的富瑞吉定理，伴富瑞吉曲線和它的伴圓圓心軌跡是由前者衍生而來的.筆者給出與文［1］不同的富瑞吉定理的新證法.

1? 橢圓的富瑞吉定理（記為定理1）

定理1? 如圖1所示，在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任取一點A（f，d），則以A為直角頂點的橢圓內接Rt△MAN的斜邊MN過點a2－b2a2+b2·f，b2－a2a2+b2·d.

證明? 如圖1，過直角頂點A向斜邊MN作AD⊥MN，垂足為點D，并設D（m，n），已知A為某一時刻暫時定點且A（f，d），設MN的傾斜角為α（0°≤α<180°），所以過D（D為基點）的直線的參數方程為x=m+tcosα，y=n+tsinα，將它代入橢圓b2x2+a2y2=a2b2，

化簡得（b2cos2α+a2sin2α）t2+2（b2mcosα+a2nsinα）t+b2m2+a2n2－a2b2=0.所以t1·t2=b2m2+a2n2－a2b2b2cos2α+a2sin2α.

因為M、N兩點在MN上且在共線的D點的兩側，所以t1·t2<0.

由幾何意義知，MD·DN=－t1·t2=a2b2－b2m2－a2n2b2cos2α+a2sin2α=a2b2－b2m2－a2n2b2+c2sin2α（其中c2=a2－b2）.由點A（f，d）在橢圓b2x2+a2y2=a2b2上得b2f2+a2d2=a2b2①

在Rt△MAN中，MA⊥AN，AD⊥MN，由直角三角形的射影定理得，AD2=MD·DN.

因為AD2=（m－f）2+（n－d）2，所以AD2=（m－f）2+（n－d）2=a2b2－b2m2－a2n2b2+c2sin2α1sin2α=c2·AD2a2b2－b2m2－a2n2－b2·AD2=c2·AD2a2b2－b2m2－a2n2－b2·［（m－f）2+（n－d）2］.

因為AD⊥MN，所以kMN=tanα=－1kAD=－m－fn－dcotα=－n－dm－f1sin2α=1+cot2α=

1+n－dm－f2=AD2（m－f）2.

所以AD2（m－f）2=c2·AD2a2b2－b2m2－a2n2－b2·［（m－f）2+（n－d）2］.化簡整理得

m－a2·fa2+b22+n－b2·da2+b22=a2b2（a2+b2－f2－d2）（a2+b2）2②

它就是點D的軌跡圓方程，筆者命名為富瑞吉伴圓，其圓心為Qa2fa2+b2，b2da2+b2.

易驗證A（f，d）在②式的軌跡圓上.

設x0=xQ=a2fa2+b2f=（a2+b2）x0a2，y0=yQ=b2da2+b2d=（a2+b2）y0b2，將它們代入①式化簡得x20a3a2+b22+y20b3a2+b22=1（a>b>0）.

這就是富瑞吉伴圓的圓心軌跡，是一個以原點為中心且軌跡在原橢圓內的新橢圓.

如圖1，連接AQ并延長交伴圓于X（因為A、Q均為某一時刻的定點，所以X也為同一時刻的定點，X是相對Q點關于A點的對徑點）.

因為AX為伴圓的一條直徑，所以XD⊥AD，再考慮作法AD⊥MN，故定點X必在Rt△MAN的斜邊MN上，等價于動直線MN恒過定點X.由兩點的中點坐標公式易求出定點X的坐標為a2－b2a2+b2·f，b2－a2a2+b2·d，橢圓的富瑞吉定理證畢.

仿上同理可得，富瑞吉動定點X的軌跡方程為

x2（a2－b2）aa2+b22+y2（a2－b2）ba2+b22=1（a>b>0）.

它與原橢圓同中心且相似（它們的離心率相等）.

歸納為：定理2? 如圖1，在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任取一點A，把A作為直角頂點，然后把這個直角繞A旋轉，MN為△MAN的斜邊，于是這些斜邊MN交于一個動定點X，過A作AD⊥MN，垂足為D點，以動直線AX為直徑的富瑞吉伴圓圓心軌跡和動定點的軌跡分別是如下兩個橢圓：

x2a3a2+b22+y2b3a2+b22=1（a>b>0），

x2（a2－b2）aa2+b22+y2（a2－b2）ba2+b22=1（a>b>0）.

2? 雙曲線的富瑞吉定理（記為定理3）

定理3? 設雙曲線方程為x2a2－y2b2=1（a>b>0，且1<e<2），A（x0，y0）為雙曲線上一點，則以A為直角頂點的雙曲線內接Rt△MAN的斜邊MN過點a2+b2a2－b2·x0，－a2+b2a2－b2·y0.

定理4? 設雙曲線方程為x2a2－y2b2=1（a>b>0，且1<e<2），A（x0，y0）為雙曲線上一點，過A作AD⊥MN，垂足為點D，以AX為直徑的雙曲線富瑞吉伴圓圓心Q軌跡和X點的軌跡分別是如下兩個雙曲線：

x2a3a2－b22－y2b3a2－b22=1（a>b>0），

x2（a2+b2）aa2－b22－y2（a2+b2）ba2－b22=1（a>b>0） .

如圖2，其證明過程與橢圓完全類似，故具體過程略去.

圖2

3? 拋物線的富瑞吉定理

定理5? 在設拋物線y2=2px（p>0）上任取一點A（f，d），則以A為直角頂點的拋物線內接Rt△MAN的斜邊MN過定點X（2p+f，－d）.圖3

證明：如圖3，過直角頂點A（f，d）向斜邊MN作AD⊥MN，垂足為點D，并設D（m，n），已知A為定點且A（f，d），設MN的傾斜角為α（0°<α<180°）則直線MN的參數方程為x=m+tcosα，y=n+tsinα.

由點A（f，d）在拋物線y2=2px上，故d2=2pf.

將直線MN的參數方程代入拋物線y2=2px，化簡得

sin2α·t2+2（nsinα－pcosα）t+n2－2pm=0.

所以t1·t2=n2－2pmsin2α，所以－t1·t2=2pm－n2sin2α=MD·DN.

由M，N分布在點D的兩側，不妨t1=MD>0，t2=－DN<0.

因為AM⊥AN，AD⊥MN，由直角三角形的射影定理得AD2=MD·DN.

因為AD2=（m－f）2+（n－d）2，所以AD2=（m－f）2+（n－d）2=2pm－n2sin2α1sin2α=AD22pm－n2.

因為AD⊥MN，所以kMN=tanα=－1kAD=－m－fn－dcotα=－n－dm－f1sin2α=1+cot2α=1+n－dm－f2=AD2（m－f）2.

所以AD2（m－f）2=AD22pm－n2［m－（f+p）］2+n2=p2+2pf，用D（x，y）代替D（m，n），得［x－（f+p）］2+y2=p2+2pf.

它就是點D的軌跡方程，將它對應的圓稱為拋物線的富瑞吉伴圓，其圓心Q（f+p，0），故圓心在x軸的正半軸上移動，圓心軌跡是一條直線.

仿以上橢圓的分析證明，A點關于Q的對徑點X（2p+f，－d），又設x0=2p+f，y0=－df=x0－2p，d=－y0，將它們代入d2=2pf，化簡得y20=2p（x0－2p），即動定點X的軌跡方程為y2=2p（x－2p）.

它是將原拋物線沿x軸向右平移了2p個單位的一條拋物線.

故有如下定理：定理6? 設拋物線y2=2px（p>0）上任取一點A（f，d），直角頂點A（f，d）向斜邊MN作AD⊥MN，垂足為D點，以AX為直徑的拋物線富瑞吉伴圓圓心軌跡是在x軸的正半軸上的一條直線，X點的軌跡方程為y2=2p（x－2p）.

參考文獻

［1］? 金磊.2010年陜西高考解析幾何題的源與流［J］.數學通訊，2011（02）：54-56.

作者簡介? 萬志紅（1985—），男，江西上饒人，中學一級教師；致力于高中數學教育教學及高考數學試題研究，擅長信息技術融于數學解題研究.丁位卿（1964—），男，河南長葛人，數學愛好者；發表論文10余篇.