概念視角下數學跨學科主題學習的實踐研究

摘要 數學跨學科主題學習要圍繞數學/跨學科概念展開，在基于真實情境的問題解決中引發對數學/跨學科概念的深度理解，在任務導向的循證實踐中發展數學/跨學科素養。具體教學中可以從真實性主題的確立到雙線并進的目標厘定，從數學/跨學科的結構化內容整合到融入全程評價的遞進式任務推進，展開數學跨學科主題學習的校本實踐樣態。

關 ?鍵 ?詞 數學 跨學科 主題學習 概念理解 真實情境 遞進式任務 全程評價

引用格式 莊治新.概念視角下數學跨學科主題學習的實踐研究[J].教學與管理，2023（35）：49-53.

埃里克森認為，概念為本的教學要在事實性層面上能“知道”，在概念性層面上能“理解”，在技能和過程層面上能“做”，即要利用事實性的、概念性的和激發性的問題來使學生協作（有時候是獨立的）去探究有趣的、相關的或要求的問題，發展學生的思維[1]。也就是說，在組織教學活動時，至少要關注兩個維度：事實性層次和概念性層次，因為只有在事實性層次和概念性層次的相互作用下，才能引發對學科/跨學科概念的深層次理解以及遷移能力的發生。

作為綜合與實踐活動的重要內容之一，跨學科主題學習是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）提出的新的學習方式，需要學生面對現實背景，從數學的角度發現并提出問題，綜合運用數學和其他學科的知識與方法，分析并解決問題[2]。由此可見，數學跨學科主題學習既重視現實背景中真實情境問題的解決，具有實踐性；又強調要從數學學科本身的視角出發審視問題，具有學科性；更關注數學與其他學科的概念整合，具有綜合性。學生在參與數學跨學科主題學習的過程中需要圍繞數學/跨學科概念展開系列探究活動，即要從數學/跨學科概念的視角去發現問題、提出問題、分析問題并解決問題，從而達成對數學/跨學科概念的深度理解和靈活遷移。下面筆者就以五年級跨學科主題“‘坊小綠化面積”為例（以下簡稱“綠化”），談談概念視角下的數學跨學科主題實踐樣態。

一、主題確立：數學學科與真實情境整體考量

《課標》指出，跨學科主題學習要設計情境真實、較為復雜的問題，要引導學生綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法解決問題。也就是說，數學跨學科主題的確立至少要重點關注兩個維度：學科特征和真實情境。首先，跨學科主題要著重關注學科中的大概念，以某個大概念或者核心議題為靶心，主動關聯其他學科中相近或相關內容的解讀，促成學生對大概念持續性、綜合性的理解[3]。由此可見，數學跨學科主題必須承載數學學科的核心內容并輔以其他學科的相關知識，主題的確立要體現數學學科的本質，可以是對教材現有內容的改編，也可以圍繞數學核心概念進行創編，但無論哪種形式，都需要圍繞數學概念分析、解決問題。其次，跨學科主題學習解決復雜問題的特性決定了真實情境是跨學科主題學習基本要素[4]。這里的真實情境，既指符合邏輯的、合情合理的、具有典型性和教育性的學習活動的真實，又指反映原型的、經過教育的提取與加工的生活問題與情境的真實，更指根植于學科發展史、概念發展史或問題發展史的學科脈絡的真實。無論哪種真實情境，必定是具有現實意義的，蘊含真實的專家思維的，是復雜的、開放的，具有挑戰性的。因此，數學跨學科主題的確立既要重視以數學概念為內核的學科引領地位，又要關注真實情境的現實價值。

如“綠化”主題的確立，就是以與蘇教版《數學》五年級上冊第二單元“多邊形的面積”配套的綜合與實踐“校園綠地面積”為藍本進行的創編：一是重組教材內容，圍繞多邊形的特征進行單元整體設計，輔以美術、科學、語文的相關知識，將多邊形面積的學習融于跨學科主題學習中，確保學生將所學知識與自身經驗聯結和內化，在系列任務的逐層推進中促進概念理解；二是擴大研究范圍，校園的占地面積是固定的，而用于綠地的面積更是有限的，因此從“綠化”的視角來推進校園環境的優化建設更為合理。基于教材內容的整合和學校環境的現狀，確定了五年級的數學跨學科主題：“坊小”綠化面積，旨在從數學學科的視角審視校園現有的綠化面積，輔以美術、科學、語文的相關知識與技能，全面、科學地了解學校現有的綠化情況，并根據國家規定的相關標準及學校現狀，以“‘坊小綠化員”的身份提出可行性建議。

二、目標厘定：概念理解與素養提升雙線并進

1.數學/跨學科概念的理解

威金斯指出，理解是關于知識遷移的，即要學習用大概念和遷移策略來解決問題[5]。概念理解作為數學跨學科主題學習的主要目標，包括三個方面的內容：一是掌握基本的知識和技能，即解決問題所必備的事實性知識。這里既指數學學科的知識，包括規則圖形的面積計算方法（如長方形和正方形的面積、三角形和梯形的面積、圓的面積等）和不規則的組合圖形的計算方法，還指科學、美術學科的知識，如基本的測量、繪圖技能等。二是要理解意義，即達到概念性的理解。這里指的是學生要理解數學/跨學科的概念，如“圖形的切割要根據所測物體的實際形狀進行”“同一個組合圖形可以通過不同的割補法計算面積”“數據的獲得要根據圖形的特征來確定”等。三是靈活遷移，即能將數學/跨學科概念運用于新的情境中。這里是指學生要學會將“圖形特征的數據的獲取”及“數據是確定環保方案的重要指標”等觀念，在類似甚至不同的情境或主題中靈活遷移和運用。

2.數學/跨學科素養的提升

數學跨學科主題學習要關注素養的提升，這里的素養既指數學素養，即會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界；也包括跨學科素養，如科學思維、藝術表達、與同伴協作、學會交流、批判性思考等。在“綠化”中，數學素養體現在：學生會用數學的眼光去觀察花壇、草坪等實際物體的形狀特征，會用數學的思維去分析并采用最合理的方式測量不同組合的綠地面積，會用數學的語言有條理地闡述規則花壇和不規則花壇在測量過程中的不同解決方案等；跨學科素養體現在：會從科學的視角去理解空間與平面的聯系，會運用線條與形狀等造型元素去繪制平面圖，會服從團隊的分工安排并主動與同伴合作進行實地測量，會與同伴討論協商后獲取最佳割補方案，對同伴提出的觀點能欣賞接納或合理質疑等。

三、內容梳理：數學概念和跨學科概念結構整合

1.學科內關聯視角

數學跨學科主題學習要圍繞數學概念展開。數學概念是有邏輯的結構體系，從縱向視角看，每一個概念的呈現都是從易到難螺旋上升的，貫穿整個小學階段，學生對同一體系數學概念的理解在不同學段可以得到遞進式的逐層深化；從橫向視角看，每一個數學概念都不是孤立存在的，不同數學概念之間有機融合、互相影響，學生對有聯系的不同數學概念的理解在同一跨學科主題中達成結構化的認知。

如在“綠化”中，從縱向看，對平面圖形的認知發展貫穿整個小學階段（如圖1），其中學生對規則圖形的認識是主題推進的基礎，學生在對草坪、花壇等校園綠地面積的測量中形成對組合圖形的初步感悟：每一個不規則圖形都是由若干個規則圖形組成的。由此提煉出解決組合圖形面積的基本方法——割補法。

從橫向看，解決組合圖形的面積問題時，幾何直觀與運算能力、數據意識不可分割（如圖2），測量與計算是主題推進的關鍵要素。組合圖形切割后的面積計算，不僅需要根據圖形的特點測量出相應的數據，還需要根據實際情況采用合適的計算方法，包括運用面積公式的精準計算以及根據圖形特點的合理估算，如看成近似的規則圖形進行估測、用面積單位拼接測量等。

圖2 “組合圖形的面積”橫向概念結構圖

2.跨學科關聯視角

數學跨學科主題學習解決的是真實情境中的問題，其挑戰性強、開放性大的特征決定了問題的解決僅憑數學概念是無法達成的，必然要從整合跨學科的視角展開。跨學科概念的介入可以更好地促進學生對數學概念的理解。如在“綠化”中，學生需要將現實世界中的花壇抽象成平面圖形，并根據其特征繪制成相應的示意圖，這就需要運用美術構圖的概念來繪制相對精準的示意圖，從而幫助學生準確分析圖形的特征，并確定合適的割補方法計算面積；各個圖形中關鍵數據的獲取、測量工具的選擇及使用等又涉及科學測量的范疇，工具使用越恰當，數據測量越精準，學生計算出的綠化面積就越接近真實數據。

四、任務推進：學習實踐與循證理解螺旋遞進

1.設計層級任務，在持續推進中分解難點

數學跨學科主題是一個內涵豐富的問題域而不是一個單向度的知識命題[6]，其復雜性和挑戰性決定了學生無法輕易找到問題解決的方法，這就需要圍繞主題設計多個有關聯的任務鏈，每個任務都對應一個關鍵問題，在持續的任務推進中不斷探尋問題解決的路徑，從數學/跨學科概念的視角去求證解決方案的可行性和科學性。如“綠化”中設計了遞進性任務（見表1），任務一重在發現、提出問題，從“‘坊小綠化師”的視角引發思考：校園綠化面積是否達到了綠化標準？并以此為學習主題商定學習活動方案；任務二重在分析、解決問題，以小組協作的方式展開學習實踐，通過實地觀測，選擇合適的方法測量并獲取數據，結合圖形的特點選擇合理方法計算面積，學生在討論質疑、辯論反思中引發對數據與圖形的協同理解；任務三重在方案落實，從數據的視角思考并提出可行性方案，用宣講的方式將倡議方案進行全校性的推廣。

2.提供學習支撐，在思維可視中深化理解

普利斯里等人認為，支架是根據學生的需要為他們提供幫助，并在他們能力增長時撤去幫助。作為一種輔助性工具，學習支架成為主題學習任務推進過程中不可或缺的可視化思維支撐，不同的學習支架具有不同的功能，在恰當的時候提供學習支架，可以引發學生對數學/跨學科概念的深度理解。如在“綠化”中，根據任務推進的需要，提供了以下圖表類學習支架。

（1）知識梳理單（見表2）。幫助學生整理、篩選、組織和記錄信息。可用于學習開始之前的知識梳理，這是確保任務順利開展的重要舉措，學生能清楚地知道自己已經掌握了哪些知識和能力；也可在學習過程中隨時記錄收獲，這是一種增值性的知識增長，讓學生清楚學到了什么。如在做“綠化”之前，學生已經了解了長正方形、三角形、梯形的面積計算方法，而在任務開展的過程中，他們學到了圓的面積計算方法、不規則圖形的測量、小數加減法的計算等，當任務結束后，部分學生又對扇形面積、圓周長等有了新想法。

表2 “‘坊小綠化面積”知識梳理單

已知 新知 未知

學習前，我們已經了解到平面圖形的知識 學習中，我們又了解到平面圖形的知識 學習后，我們還想了解關于平面圖形的哪些方面

（2）問題記錄單（見表3）。主要記錄學生在學習實踐過程中碰到的問題以及解決的方法，幫助學生深入思考問題并將解決路徑可視化，從而引發對概念的深度理解。如在測量花壇的過程中，學生記錄的問題是：有一個圖形是缺了一個小弧度的，不知道怎么測量。他們的解決方法是：把缺的兩條邊連接起來，就可以作為長方形計算面積。學生記錄的問題包括繪圖的問題、測量的問題等，而解決的方法也是多樣的，既可以向有經驗人員的請教，也可以查閱資料等。

（3）任務探究單（見表4）。主要用于記錄學生在探究過程中發現的問題以及是如何運用數學概念來解決的。如有的小組的任務是測量花壇面積，但學生發現花壇是不規則圖形，而且還有弧度，他們的探究過程是先運用割的方法分出一個長方形，再用補的方法看成近似的長方形，最后多出來的一小塊用面積單位去量。他們的探究成果就是將探究的過程用示意圖畫出來，使探究過程可視化。

3.組織探究活動，在循證探究中解決問題

循證探究是數學跨學科主題學習深入推進的重要活動方式，包括觀察現象、查找信息、制訂研究計劃，根據實驗證據對已有的結論作出評價，使用工具收集數據、分析數據、預測及交流結果等。無論哪一項探究活動都需要指向對數學/跨學科概念的理解，并為問題解決提供相關數據和最佳證據。如“綠化”中涉及到多項探究活動：調查活動，學生通過統計、問詢等方式獲得關于全校人數的第一手資料，理解數據的準確性會影響方案的設計；測量活動，學生對長方形草坪進行整體觀測，測量四條邊或兩條邊，甚至用只測量一塊瓷磚，再乘瓷磚塊數的方法，都可以獲取長方形草坪相關邊的數據，理解數據的獲取可根據圖形特點靈活測量；計算活動，學生對繪制的平面圖形進行研究，可以用割或者補的方法將不規則圖形轉化成規則圖形進行計算，也可以將不規則圖形看成近似的規則圖形來估算，或者用面積單位（1平方分米的紙片）量較小的不規則圖形等，理解需要根據圖形的特點靈活選擇計算方法；匯報點評活動，各小組將測量計算過程中碰到的問題及解決辦法進行交流，其他小組在質疑評估中引發更深入的思考，理解問題解決的多樣性以及數據與方案的相關聯性。

五、評價管理：過程發展與結果呈現全程融入

1.重視及時的交流評價，引發高階思維的發展

維果茨基認為，所有的知識都始于可視化的社會交互，然后慢慢被學習者內化并形成想法[7]。因此，學習者之間的對話、協作是非常關鍵的，跨學科主題學習中要強調將學生的內隱認知外顯化，而及時點評、對話交流作為重要的一種即時性評價方式，既可以對學生的學習行為進行有效的調控與管理，更能通過層層遞進的對話引發學生對數學/跨學科概念的深入思考，發展高階思維。如“綠化”中在測量不規則花壇時，教師連續追問：你認為圖3分割出來的每一條邊都需要測量嗎？中間這一條邊不方便直接測量，你們認為可以怎么解決？這種分割法是最方便的嗎？有沒有更合理的分割方法？在圖4中，把這條彎曲的邊看成近似的直線后，相差的面積又是怎么處理的……學生在不斷思考中理解不同的切割方法會影響數據的獲取，數據的獲取又取決于實際情況，既要考慮準確性，更要關注合理性。

2.制定適切的評價量規，關注概念的靈活遷移

厄爾提出評價的三種類型：學習性評價、學習的評價和學習式評價。在數學跨學科主題學習中，需要有以進度報告、學習日記等為主要表現形式的學習性評價，在嵌入的過程中推進學習；還需要有以任務清單、學習合約等為表現形式的學習式評價，在全程參與的自評和他評中學會評價；更需要有以檔案袋、評價量規等為主要表現形式的學習的評價，在真實性的評定中評估學習水平。從評價量規的制定來看，既包括對作品的評價，又包括對能力的評價。不同的學習任務需要制訂不同的學習量規，但無論是哪一種類型的評價量規，都必須指向對學科/跨學科概念的理解及學科/跨學科素養的提升，并在活動前就提供給學生，使學習實踐有據可依。如“綠化”面積測量環節中，活動前與學生協商可從五個維度設計量規（見表5），包括圍繞平面圖形面積測量與計算的數學/跨學科概念、運算能力、數學表達等指向學科概念的維度，還包括團隊合作、學習狀態等指向跨學科素養的維度。學生在具體的學習實踐中圍繞這五個維度展開探究活動，在自省、互評中引發對概念的深度理解，有效促進核心素養的發展。

總之，數學跨學科主題學習需要基于概念的視角展開，學生在問題解決的過程中不斷形成對數學/跨學科概念的深度理解；在對真實問題情境的探究中不斷積累活動經驗，感悟思想方法；在持續的學習實踐中深入體會數學與其他學科、現實生活的聯系，促進數學/跨學科素養的提升。

參考文獻

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[5] 威金斯，麥克泰格.追求理解的教學設計[M].閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯.上海：華東師范大學出版社，2018：43.

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[責任編輯：陳國慶]