小學數學影資源的增值化開發

摘要 影子是一種常見的生活現象，影內容也散布于小學各科教材中。影子的生活化開發價值和跨學段、跨學科的整合需求不容小視。在現有小學數學教材內容結構基礎上，整體挖掘、架構、開發影內容，層階設定影資源開發的目標，緊扣影資源開發的創新實施，在“影”“物”互聯、“形”“數”轉化和“手”“腦”合創中展開影資源的增值化開發。

關 ?鍵 ?詞 小學數學 影資源 學科整合 增值化開發

引用格式 劉玉勇.小學數學影資源的增值化開發[J].教學與管理，2023（35）：54-58.

對處于三維空間的人來說，影子將三維物體降至二維，具有神秘感和挑戰性。貼合小學階段孩子們的觀察特點，影子可以激發出學生對生活與數學的探索欲望。因此，影子的知識也成為了小學教材的必選內容。如，蘇教版《數學》在六年級下冊安排了綜合與實踐課“大樹有多高”；有關數學文化和數學史的“日晷”知識也在多個版本教材中有穿插；2022年版數學新課標中，“土圭之法”以主題活動形式對影子予以了呈現，也將會編寫在新教材中。

對數學資源的開發，以往比較重視地域資源的實踐利用[2，3]，相對而言，對教材內容資源整體和深度的關注還不足，對影資源的整體開發還沒有。為此，依據2022年新課標精神，需要對影內容進行整體構架，協調并融入各科影資源，進行對小學數學影資源的大視野、全學科關注，以此推動小學生數學核心素養的再提升。因此，對影資源的增值化開發，是指通過對影資源內容和教學的整合、創生，以達到學生數學核心素養的再提升。

一、影資源增值化內容架構

1.影資源的形成分析

小學階段教學影子的形成方式一般有兩種：一種是物體和投影面垂直，另一種是物體和投影面平行，前者在室外陽光投影下常見，是一種實境影資源，后者于課堂教學投影演示中常見，是一種實驗影資源。兩種成影方式互補，形成了豐富的、顯隱兼具的影教學資源。

2.影資源的設計原則

由于影子形成過程中環境變量比較多，因此，結合學生知識儲備和學習興趣，小學影問題的設計要遵循生活、適切、整合、遞進和適用的原則。對光源特點（平行光源，點光源）暫不做介紹和區分，設計應重視如下幾個問題：物體是怎樣的？影子是怎樣的？物體和影子的各種關系（如方向、長短等屬性關系）是如何的？物和影的關系帶來什么樣的應用價值？

3.影資源的整體架構

小學階段影教學資源的增值化開發內容有：借助游戲和實踐，通過操作形成靜態或動態的奇妙影子；通過觀察和想象，以靜態或動態影子構造物體尋找實物；基于量值和建模，進行影和物體之間量值屬性關系計算；利用現象和信息，對數學問題進行生活或數理上的綜合決策。

圖1整體結構了影資源開發的基本策略和核心內涵。其中，“形成影子”是通過游戲和實踐，實現對生活中影子的初步感知與發現，可以用作低年級幼小銜接；“尋找實物”是通過觀察、思考和想象，實現數學中影子的生活化理解，利于低中年級學生理解數學中的影子；“度量計算”是通過量值和建模，立足影子和實物的關系分析，實現中高年級學生規律性關系的運算、推理和驗證；“綜合決策”是利用現象和信息呈現，立足問題綜合解決和策略深度優化，達到高年級小初銜接的進階發展。影資源的整體內容結構從感性到理性，從現象導向到問題導向，從抽象、推理到思維建模，持續推進并不斷增值。

圖1 影資源的內容整體構架

二、影資源增值化目標定位

對照上述對影資源內容增值開發的架構，與影子教學有關的整體教學目標設定如下：

目標1：通過實操或體驗，掌握“物到影降維”的策略。在小學階段，這部分內容是教學的重點和奇趣點，也是影子問題走向數學化經驗的基點。例如，通過設計和玩手影游戲，提升學生立體圖形平面化的能力，讓學生在實踐中用數學的眼光觀察現實世界。

目標2：通過想象和構造，形成“影至物升維”的能力。通過影子逆向猜想重構物體原來的空間形態，并用自己喜歡的方式表達和呈現。例如，根據靜態投射出的影子，猜測被投影物、圖形的多維空間狀態。

目標3：通過推理和計算，促進影思維的有效遷移。在計算物體實際長度或影的長度時，感受影資源數量間量的變與不變，形成數形模型。例如，“大樹有多高”一課，通過影和實物的比例關系求出大樹高度，用影知識遷移出學生解決這一類問題的思考，并融合比例尺知識的理解，形成數學化的問題解決策略。

目標4：通過化整和優化，實現影信息的提取利用。將所挖掘的影子信息和其他信息整合，跨學科解決更多的綜合性問題。例如，通過影子的變形和深淺，判斷陽光下水管的漏水點位置，融合數學、科學與勞動知識，提升學生問題的綜合分析和綜合判斷能力。

以上目標設定從直觀到抽象，從跨學段到跨學科，充分體現整體性和進階性；將數學思維和數學實驗結合，實現育人價值轉化的多重意蘊[3]。同時，小學階段對影資源的開發，要結合年級段，針對學生的生活經驗和各科已學的知識經驗及技能儲備，形成適合學生的內容結構序列，讓影資源開發和實施有統籌、有層次、有融合。

三、影資源增值化實施的實踐策略

1.設計與影相關的感性素材，培養小學生“影” “物”互聯能力

由于投影中物體和影子都具有直觀的特點，因此，內容設計和教學實施當然都要重點抓好兩者“形”的關系，要關注“影”與“物”在空間維度上的升和降；還要關注要求上的深與淺。教學中，要重視提高學生觀察、想象、猜想、驗證等能力，真正提升學生“物找影”與“影猜物”的空間維度轉化能力。

（1）猜想影子“降維”前的物體形狀

通過影子的呈現猜想原來的物體是什么形狀，這是影子的最神秘和誘人之處。學生遇到影子，首先會想：這是什么物體的影子呢？為此，我們可以從靜態和動態兩個角度開發和解讀影教學資源。

①一個靜態影子的多元判斷。靜態影子是課堂常見的影資源。例如，圖2從是正面投影得到的多邊形影子。教師讓學生通過影子的形狀猜測物體原來的樣子，通過二維影像推測二維或三維物體原來的樣子，可以充分激活學生的空間想象力。

圖2 靜態：正視一影猜多物

以圖2教學為例，教師可以問：“這影子的背后藏著的可能是什么樣的物體呢？”除上述部分復原呈現的形體外，學生的猜測還有很多，也沒有唯一答案，這或許就是影資源帶來的思維發散之妙。學生可能回答：可能是門窗一類的實際物體，也可能是平面類的物體，還可能是立體狀的形體……學生的想象在此可以多“飛”一會兒。從觀“影”到猜物，當然還需要驗證，可以組織學生通過動手剪、拼，或者用可塑形材料（蘿卜、土豆、橡皮泥、面團等）制作立體物體。“物找影”驗證，也可以通過繪制二維或者三維透視圖進行空間想象推理，還可以讓學生用數學語言描述或補充。之后，繼續追問：“為什么不同物體的影子都是一樣的？”學生分別投影展示作品，再進行理性分析，分享和爭鳴。學生驗證自己投射的影子是否和原來影子“一樣”時，也蘊含著對初中“相似”概念的生活化啟蒙。

影子的呈現不一定是二維的面，還可能是一維的線（直線、曲線）或線條結構的二維面的框架（此時的面類似透明或半透明狀態）。線條間的組織結構可以是多樣的，除了基本形體框架，也可以隨機彎曲，可以是上下、前后或左右穿插的線條，甚至可以是有趣的線條人等造型。如圖3所示，投影出現了框架線條（這里因空間距離遠近產生投影上的深淺、透視變形暫不考慮），那么，這個物體可能是二維平面的框架圖形，也可能是三維立體的框架，此處可供想象和挖掘的空間特別巨大。

圖3 靜態：線條影子的多元猜想

②多個關聯影子的動態猜想。影子的運動可以讓學生對數學產生新認知。當一個平面物體的影子朝一個方向動態變化，其實也蘊含著很多數學中的奇妙。例如，圖4是一個很小的平面的正十二邊形，拉動光源，讓影子產生大小變化。教師問：“看了三個影子，你有什么發現？”學生會認為最小的正十二邊形很像一個圓。這時，正十二邊形的邊逐步縮小，好像一個個靠著的點，正十二邊形就接近圓的樣子，這里不僅體現出極限思想，讓學生感受到圓的曲線其實是一個個點靠近組成的，還能感悟出“點”是構成幾何圖形的基本元素，貫穿點動成線（直、曲）的原理，在逐步逼近圓時也融入了微積分思想。對于多邊形的外角和，則可以將多邊形投影縮小為一個小點（近似于角的頂點），延長外角邊線，而所有外角所形成的圖形就是一個周角。

圖4 動態：運動影子的極限變化

靜態的影子可以猜想出眾多的“源”物體，多個相關聯的連續的影子可以提供更多的信息，可以更準確地構建出原來物體的樣子。物體在連續旋轉投影時，影子也跟隨變化，學生自主選擇幾楨關鍵影子，記憶組合，逐步推想出該投影物體的樣子，很具挑戰性。例如，可以有序慢慢旋轉一張紙并投影，影子出現的可能是線，也可能出現面，學生通過變化的影子逐步構造出長方形紙的更精準的樣子，再讓學生將這個長方形畫出來，重點關注長寬之間的關系。當然了，教師可以將紙資源增值，用同樣的紙加厚，變成一沓紙，繼續這樣的游戲，還可以將長方形硬紙快速旋轉，感受平面在轉換成立體過程中影子的動態變化，培養學生空間想象能力和數感、量感的融合力。

（2）利用影子呈現特點協助關聯判斷

①利用影子促進線、面融合能力提升。不透明實心物體的投影，一般視覺上會優先關注面；而框架型物體的投影則會優先關注于邊。實際上對影資源抽象分析時，要形成“面中有線，線中有面”的觀察習慣。線是構成面和體的基礎，作為框架結構立體圖形，線、面溝通中，線的分析更為重要。例如，從影子向三維框架物體的復原中，用空間想象給影子加上前后有縱深感的虛、實線，就可以構造形成三維線條結構的形體。再如，由一個由七巧板組成的“鵝”形投影（如圖5），學生根據原始七巧板內部圖形特點和內部圖形數量，通過空間想象利用補線就可以逐步解決。

圖5 七巧板還原

②利用影子提高方向和位置的辨識力。利用影子可以將一些有類似形態特點的物體進行快速區分。如蘇教版《數學》二年級上冊的“觀察物體”一課：四個小朋友分別站在猴子的前、后、左、右四個不同方位，為小猴子各拍了一張照片。請將拍攝的照片和對應的拍攝者用線連起來？筆者認為，如果像圖6這樣將猴子實物的投影呈現出來，讓學生進行辨識是從哪個角度投影的，更能幫助學生從整體出發捕捉到所觀察物體的線、面特征，提升他們快速抓住特點觀察物體的能力。

圖6 “觀察物體”的教材資源創新

③利用影子讓生活與數學結合更緊密。上述對影子的觀察都是基于課堂的，實際上，生活中一些小問題也能體現影子輔助判斷的價值，如“拇指測影法”是居住在西藏一些偏僻牧區的人們測時間的方法。生活中的“影”稍加改造和數學化就能形成如圖7這樣的問題，結合生活經驗，將影子與時間的判斷融合，通過影子的長短和角度得出大概時間。若將此影資源再挖掘，可追問：“如果你就是這個觀察者，站在同一地點，觀察同一棵樹，你能大概確定觀察者此刻面對的大概方向嗎？”可以如圖8這樣，上午觀察并標注影子一段時間內的頂點位置（分別是西、東），連線“西”“東”兩點，并畫出它的垂線，上面則為北、下面為南，由此確定出四個方向。若將圖7和圖8結合，那么就可以引發更多的思考。

圖7 利用影子估計時間

圖8 利用影子確定方向

2.設計與影相關的理性問題，培養小學生“形” “數”轉化能力

（1）運用影子計算解決生活對策問題

進入小學高年級，在學習、掌握基本圖形和比例等知識后，學生對影子的認識將進入圖形化和數理化階段，在模型建構的基礎上，對影子感性的解讀也逐步走向抽象和理性。如蘇教版《數學》六年級下冊安排了“大樹有多高”綜合與實踐課，讓學生通過分組測量、記錄，再利用“同一時間、同一地點，物體長和對應影子長的比值一定”計算出大樹的高度。當然，也可以繼續挖掘這里的影子資源，例如，“樹靠墻比較近，造成影子一部分投在地面，一部分投在墻上”，教師再給出必要的數據，要求算相關長度。這樣的“影”問題師生都可以提出和開發，可以作為自主探索的主題作業進行實踐。類似的復雜問題會在初中的“相似測高”“斜坡影子問題”中再進行深入探討。

有了用影子測算大樹的經驗，師生也可以“仿制”或開發出類似的影資源。例如測算金字塔高度：可以先測定與金字塔同一時間、同一地點的人和此人影子的高度及長度，再測出同樣時間金字塔影子的長度，就可以通過正比例求解金字塔高度。其實，這里的計算思路就是初中階段相似（全等、位似）等知識的經驗基礎。到此處，對影資源的價值開發已經從解決問題走向策略整合，可以利用影子進行測算，進而設計成相關主題活動或項目化作業。

（2）運用影子列舉復原趣味分率問題

整合多種數學知識的影問題，顯得很有趣，更能抓住學生探究思考的興趣。如“一根繩子投影后的影子如圖9，它有三處交點，但無法判斷出是穿過了繩圈還是在繩圈下面，從這個繩圈形狀來看，如果將兩端拉緊，可能會讓繩子打結。請問這根繩子打結的可能性是多少？”通過實踐操作或畫圖一一列舉對投影物體進行復原，以右端繩子所處位置為準不難發現有八種可能，能打結的有兩種（圈畫的方框內）。小小的影子中藏著的卻是多種數學知識的關聯。

圖9 繩結影子中的分率探索

從面到線，從規則的直線、射線、線段和曲線，再到無規則的亂線，其投影后線的影資源都具有潛藏開發價值。如同上述繩結影問題，如果將影子和其他知識融合也可以創生出各類具有綜合性、挑戰性和趣味性的問題，還可以衍生出更多的問題鏈。

3.設計與影相關的主題作業，培養小學生“手” “腦”合創能力

影資源的開發和利用可以滲透在生活、游戲和學習中，是感性和理性的融合，可利用微實踐[4]進行綜合化。基于整合和增值需求，結合數學新課標的“三會”理念，可以將影資源的開發蘊藏在豐富多彩的創新作業中。

（1）感性積累的趣味游戲作業

影子方面的作業可傾向于綜合性和趣味性，融入“物找影”的實踐，貼近兒童情趣；影作業可以是跨學科的，可以是跨課堂的主題化作業、個性化的作業。與影子有關的數學作業若設計得有趣，更能成為孩子學習的內驅動力。可以進行融合數學、美術、音樂、勞動的剪影制作、手影設計和皮影創作等方面的作業。通過數學課堂、生活實踐或校本研修等多途徑、多角度實施上述趣味作業。

剪影，美術教材比較常見。剪影除了剪人像（輪廓），也可以剪“囍”字一類的軸對稱的字。通過這樣的剪紙訓練和再創新，融入對稱知識，同步提升學生數學素養和審美素養。

手影，不只是靜態展示，也可以配合故事動態連續呈現，形成動態的“手影劇”。若再給手影劇配上聲音、襯上背景，能激發更多學生的“影”創作興趣，而學生則可以充分感受三維不透明物體的二維影像創造方法，提升“物找影”的能力。

皮影是二維的，是多層次透明平面造型的活動性疊加，它的影子是“多層次透明的彩色影像”。皮影的透明特性，也為未來初中學習投影和相似知識打下生活經驗的基礎。像皮影這一類特殊的透明影資源，生活中很普遍，可為CT技術打下影像理解基礎，融合未來初中一次方程組知識，可以開發出數學化的“醫影”資源。

（2）理性思考的多元表征作業

深度化和結構化是影資源開發的目標。根據小學生的年齡特點和個體差異，應該讓學生將探索、學習影子的感想，進行多層次、多角度地表達和分享。交流的內容可以是收獲和發現，也可以是疑難和困惑，還可以是拓展和創新。例如，讓學生和老師一同尋找影資源，編寫“影”手賬作業；請學生用手抄報的形式，將與影子相關的內容進行思維導圖結構化的收集、整理和分析，形成學習分享的手冊和說明書；結合實踐，形成探“影”主題活動小方案；編寫與影子有關的“秘影尋蹤”數學小論文、數學小日記、數學小作文……以多主體和多式樣的作業方式，過程性和綜合性地呈現影的增值歷程。

參考文獻

[1] 彬彬，孔凡哲.地域性課程資源開發利用中的教師智慧：基于小學數學典型案例的個案分析[J].數學教育學報，2014，23（06）：36-40.

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[3] 陳美華.小學數學實驗育人價值轉化的“三重意蘊”[J].教學與管理，2020（32）：40-42.

[4] 戴子.小學數學微實踐作業設計思考[J].教育理論與實踐，2023，43（08）：59-61.

[責任編輯：陳國慶]