高考數列綜合應用題解題技巧探究

焦隨強

摘要：在高考數學中，數列綜合探究問題一直是備受關注的焦點.而數列綜合探究問題要求學生對數列的規律和特性深入研究，解決各種與數列相關的綜合應用問題.因此，教師需通過探究數列的性質、規律和遞推公式，助力學生靈活運用數學知識和解題技巧，從而找到解決數列綜合問題的有效方法.

關鍵詞：數列綜合應用題；解題技巧；探究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0063-03

數列的綜合問題指數列知識與函數、向量、不等式等其他數學知識糅合形成的綜合類題組，數列綜合應用題的解決過程需要學生具備良好的數學思維和分析能力.在解題過程中，教師要觀察題目的特點，深入研究高考數學數列綜合問題，在課堂中引入有關數列的多面組合題型，從而幫助學生提升邏輯思維、分析問題和解決問題的能力，積累高考數列綜合應用題型的解題技巧［1］.

1 數列與函數綜合應用

數列與函數是高中數學中的重要內容，它們的綜合應用涉及數學與現實世界的結合，可以幫助學生解決高考大題中的綜合性探究問題，提高學生的數學思維能力和解決問題的能力.教師通過

數列與函數的綜合應用的教學，有助于學生更好地理解數學的實際意義和應用背景，為后續的提升與發展打下堅實的基礎.

課堂中，教師可以帶領學生簡單回顧數列的知識應用，然后將數列與函數內容整理成例題，如：A市某集團投入資金進行生態環境的建設發展，規劃旅游業，根據規劃，本年度預計投入800萬元，以后每年的投入將比上一年少15，本年度當地的旅游業收入預計為400萬元，且由于該項建設對旅游業的推動作用，預計今后的旅游業收入每年都會比上一年增加14.（1）設n年內（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅游業總收入為bn萬元，請寫出an和bn的表達式.（2）最少要經過多少年，該地旅游業的總收入才能超過總投入？教師在給出題目后，可以幫助學生簡單分析題目，為學生拋磚引玉提供思維引導，教師可以指出第一年投入的是800萬元，那么第二年投入的金額應該是800×（1-15）

萬元，也就是說，第n年，該企業投入的金額應該為800×（1-15）n-1萬元.在教師的提示下，學生迅速反應，并計算出了n年的投入值，回答n年的總投入金額應該為

an=800+800×（1-15）+…+800×（1-15）n-1=4 000×［1-（45）n］，如法炮制，第一年的旅游業收入為400萬元，n年的旅游業收入可以同理計算得出

bn=400+400×（1+14）+…+400×（1+14）k-1=1 600×［（54）n-1］.在解決第二問時，教師可以詢問學生的解題思路，幫助學生找到數列綜合類題型的題眼.教師可以指出題目中的關鍵詞“最少”，詢問學生對“至少”“不少于”“不多于”這類詞的數學反應，有學生提出這是不等式的標志，但是需要應用函數的思想解決與不等式有關的數列綜合應用題.在教師的指引下，學生提出了假設法，設至少經過n年旅游業的總收入才能超過該企業的總投入，由此也可以得出，bn-an>0，即1 600×［（54）n-1］-4 000×［1-（45）n］＞0，此時，教師需要提示學生觀察函數表達式，發現其式子的復雜性和繁瑣性，然后提示學生此處可以使用換元法，將復雜的式子換元成特殊符號，即令x＝（45）n，代入式子可以得到，5x2-7x+2＞0，解上述式子可以得到，x＜25，或者x＞1，由于x＞1不合題意所以舍去，因此得到了（45）n＜25，由此可以得出，n≥5.在例題中，教師可以為學生找到解決數列綜合性題目的特征，此題以數列與函數為主，教師可以在講解過程中著重強調函數與數列融合部分的巧妙思維，把函數的一一對應關系與數列類比，讓學生可以意識到數列也是一種特殊的函數.

2 數列與方程綜合應用

在高考數學中，數列與方程相結合的綜合類題型是學生學習的重點，兩者的綜合應用不僅能夠培養學生縝密的邏輯思維能力和問題解決能力，還能夠幫助學生更好地理解數學知識的實際應用［2］.因此，教師在課堂中，需要深入挖掘數列與方程的綜合應用題，幫助學生培養數學能力，從而能更好地達到高考數學的學習和考試的要求.

數列的綜合應用題組不可避免地會與方程形成關系，

在課堂中，教師可以找出以數列與方程混合求解的題型，幫助學生找到解決數列與方程問題的方法，教師可以展示例題：已知Sn=1+12+13+…+1n，（n∈N+），并設f（n）為S2n+1-Sn+1

，試確定實數m的取值范圍.教師可以在學生解題前為學生提供一定的解題思路，指出本題考查的是依托數列形式的方程思維，解決綜合問題的類型，學生通常會在f（n）求和方面產生思維壁壘，解決本題的關鍵在于把f（n）（n∈N+）可以看作是n的函數方程，此時也就可以把方程不等式的恒成立轉化成其他形式，

接著，根據教師的提示，有學生指出，

f（n）=1n+2+1n+3+…+12n+1

，又因為f（n+1）-f（n）=12n+2+12n+3-1n+2=

12n+2+12n+3-22n+4=

（12n+2-12n+4）+（

12n+3-12n+4）>0

，所以f（n+1）＞f（n），所以f（n）是關于n的增函數，所以f（n）的最小值為f（2）＝920，因為要使得一切大于1的自然數n，所以f（n）＞［logm（m-1）］2-1120［logm（m-1）］2

恒成立，也就是920＞［logm（m-1）］2-1120［logm（m-1）］2

恒成立，由此可以解得，m＞0，m≠1，m-1＞0，m-1≠1，可以得到m＞1且m≠2，此時有些學生會出現暈頭轉向的可能，教師將幾次換元的步驟用著重號標出，可以鼓勵學生反映出下一步為設［logm（m-1）］2＝t，t＞0，于是，可以得到，920＞t-1120，且t＞0，所以解得，0＜t＜1，由此可以得出0＜［logm（m-1）］2＜1，解得m的值且m不等于2.縱觀此類數列題目的解答，教師可以總結，數列的綜合題和應用性問題既要求學生有堅實的基礎，又需要學生有良好的分析能力，充分學會觀察問題，歸納總結，猜想逆推和建立相關的數列模型，從而遞推正確的模型思路.同時，還需要學生正確轉化語言文字，將題目中的文字符號轉化為有實際意義的數學條件，構建起題目與問題的數學關聯，讓數列的綜合問題貫穿在整個解題過程中.

通過深入挖掘數列與方程的綜合應用，教師可以在課堂中為學生打開數列學習的新思路，幫助學生找到數列學習的新途徑，學生也可以培養一定的邏輯思維，并形成獨特的問題意識，提高數列綜合類題型探究的內驅力，加深對數學知識的理解.

3 數列與不等式綜合應用

在高考數學中，思維進階訓練可以幫助學生培養深入思考和解決復雜問題的習慣.數列與不等式的綜合應用涉及復雜的數學概念和技巧，需要教師在課堂中提供適當的引導，幫助學生提高解題效率和應對多樣化考試題型的綜合能力，從而幫助學生形成適配高考數學要求的數學思維邏輯意識［3］.

教師在講解數列與函數、方程的綜合應用后，可以為學生進階思維難度，將數列與不等式糅合為主的綜合應用題作為課堂例題，幫助學生突破自我局限，找到數列學習的先導性，形成一定的數學思維意識和能力.教師可以給出課堂例題：已知數列｛an｝滿足條件：an=1，a2=r（r>0），且

{anan+1}是公比為q（q＞0）的等比數列，且設

bn=a2n-1+an（n＝1，2，3，…），試求出使得不等式

anan+1+an+1an+2>an+1an+3（n∈N+）成立的q的取值范圍，其中Sn=b1+b2+…+bn，求出bn和limn→+∞

1Sn.教師可以結合題目特征，與學生一同分析題意，根據數列的性質，可以列出數學表達式：

rqn-1+rqn>rqn+1

，并結合假設法，設r＞0，q＞0，接著，教師可以請學生回答不等式的設立方法，學生正確回答出此時需要設q2-q-1＜0，并利用求根公式解得q的取值在二分之一減根號五與二分之一加根號五之間，且結合解題步驟的設定條件，q應該大于0，因此，q∈（0，1+52）.教師在引導講解之后，可以鼓勵學生自主探究，引導學生將不等式思維應用在數列極限思維的綜合類題型中，讓學生對數列的理解更加開闊.教師可以采用小組合作討論的方式，幫助學生在理解應用類難題時放下心理壓力，在一定的時間后，有學生小組匯報成果，學生小組代表提出，可以先用數學表達式翻譯題目，得出bn+1bn=a2n-1q+a2nqa2n-1+a2n=q≠0

，b1＝1+r≠0，所以｛bn｝是首項為1+r，公比為q的等比數列，從而可以得到bn＝（1+r）qn-1，當q＝1時，Sn＝n（1+r）.該小組研究出了數列的表達式，接著，在教師的指引下，其他小組也有了一定的成果，小組代表指出，可以根據第一問的提示，擴大不等式的運用思維，聯想到極限的思想，運用極限求出臨界值，1Sn的極限可以等量代換為

1n（1+r）的極限，趨近于0，當0＜q＜1時，Sn=（1-qn）（1+r）1-q，當q＞1時，1/Sn的極限趨近于0，所以可以推導得出，limn→+∞1Sn=1-q1+r（0＜q＜1），limn→+∞1Sn=0，（q≥1）.在數列與不等式的主要融合中，教師需要講解不等式的概念，幫助學生學會轉變題意，用合適的數學邏輯語言翻譯單一的文字題目，讓數列的思想應用與不等式、極限的思想糅合，找到三者相互轉化的狀態與策略，從而突破數列綜合類大題的難關，找到解決數列進階類題型的關鍵點，提升學生在數列綜合性應用題上的思維靈敏度和準確度，提高尋找數列綜合題切入點的效率.

通過思維進階訓練，幫助學生理解數列與函數、方程、不等式的綜合應用，熟悉數列與多種數學思維的融合方式，并在具體題目中模擬演練，找到不同類型綜合應用題的突破點，形成一定的解決綜合類題型的思維意識.以此幫助學生發展數列學習的能力，突破現有的瓶頸，從而在數列綜合類型的題目的解答中如魚得水.

綜上所述，高考數列綜合應用題解題的關鍵在于掌握數列的定義和性質，教師需要帶領學生識別數列類型，尋找規律，應用相應的公式和技巧，同時確保學生對題意和解題思路的準確理解.這有利于學生深入地理解題目要求，尋找數列規律，靈活運用數學知識.同時，學生也可以深刻認識到實踐和練習的重要性，不斷地嘗試和思考，從而更好地應對高考數列綜合應用題的挑戰.

參考文獻：

［1］?孫婭南.例談數列問題的綜合應用［J］.中學數理化（高考數學），2022（10）：16-17.

［2］ 江蘇省蘇州中學數學教研組.數列的綜合應用［J］.新世紀智能，2020（22）：27-28.

［3］ 錢冬明.談高中數學中數列的綜合應用問題［J］.理科考試研究，2015，22（23）：1-2.

［責任編輯：李璟］