統計場景創設概率知識應用

張恒

摘要：統計與概率兩個知識點的交匯與綜合問題是高考模塊中的一個常見考查基本點．結合統計場景的巧妙創設，以及統計數據與統計信息，通過概率定義與公式加以綜合應用，借助概率與頻率分布直方圖、獨立性檢驗、經驗回歸方程等來綜合展開，歸納知識應用，助力數學教學與復習備考．

關鍵詞：統計；概率；頻率分布直方圖；獨立性檢驗；正態分布

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0011-03

統計與概率的綜合問題，是實際與應用場景的重要載體之一，已經成為新高考數學命題的重點．此類綜合問題，以數據圖表為場景，融合統計、概率或兩者知識交匯中的基礎知識與思想方法，利用統計場景加以創設，實現統計數據與統計信息的匯總，情境新穎，結合概率知識加以實際應用或判斷決策，充分體現了統計與概率的工具性和交匯性[1]．

1 概率與頻率分布直方圖的綜合

例1省會城市為了積極倡導市民優先乘坐公共交通工具綠色出行，在緩解交通壓力與改善空間質量的同時，也倡導綠色理念，公共交通系統推出與之相關的一些便民服務措施．為了更好地了解人們對出行工具的選擇，交管部門隨機抽取了1 000人，做出統計表，詳見表1.

同時交管部門對某線路公交車統計整理了某一天1 200名乘客的年齡數據，得到的頻率分布直方圖如下圖所示（圖1）：

（1）求m的值和這1 200名乘客年齡的中位數；

（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率，從該市所有市民中抽取4人，記X為抽到選擇公共交通出行方式的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望E（X）．

解析（1）依題意可得（0.005+0.015+m+0.030+0.015+0.010+0.005）×10=1，解得m=0.020，

因為（0.005+0.015+0.020）×10=0.4<0.5，（0.005+0.015+0.020+0.030）×10=0.7>0.5，

所以中位數位于[30，40），設中位數為x，

則（0.005+0.015+0.020）×10+（x-30）×0.030=0.5，解得x=1003，

故這1 200名乘客年齡的中位數為1003；

（2）因為選擇公共交通出行方式的頻率為40%=25，所以X～B（4，25），則X的可能取值為0，1，2，3，4，

所以P（X=0）=C04×（1-25）4=81625，P（X=1）=C14×25×（1-25）3=216625，

P（X=2）=C24×（25）2×（1-25）2=216625，P（X=3）=C34×（25）3×（1-25）=96625，

P（X=4）=C44×（25）4=16625，

所以X的分布列為

所以E（X）=4×25=85．

點評涉及頻率分布直方圖的實際應用問題，關鍵就是正確識別與合理的數據讀取.從中觀察、讀取相應的數據信息并對一些相關的數學加以合理匯總與應用，借此進一步綜合概率知識來分析與計算，用于實際應用中的分析判斷或信息決策[2]．

2 概率與獨立性檢驗的綜合

例2一種疫苗在正式上市之前要進行多次人體臨床試驗接種，假設每次接種互不影響，而且每人每次接種成功的概率相等．某醫學研究院研究團隊研發了一種疫苗，并率先對此疫苗開展了Ⅰ期和Ⅱ期臨床試驗．Ⅰ期試驗為了解疫苗接種劑量與接種成功之間的關系，選取了兩種劑量接種方案（0.5 mL/次劑量組（低劑量）與1 mL/次劑量組（中劑量）），臨床試驗免疫結果對比，詳見表3.

（1）根據數據分析說明哪種方案接種效果好，并判斷是否有90%的把握認為該疫苗接種成功與否與兩種劑量接種方案有關；

（2）若以以上表格中的數據的頻率為概率，從兩組不同劑量組中分別抽取1名試驗者，以X表示這2人中接種成功的人數，求X的分布列和數學期望.

附：χ2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），其中n=a+b+c+d，詳見表4．

解析（1）0.5 mL/次劑量組（低劑量）接種成功的概率為P1=2836=79，

1 mL/次劑量組（中劑量）接種成功的概率為P2=3336=1112，

因為P2>P1，所以1 mL/次劑量組（中劑量）接種效果好．

由2×2列聯表得

χ2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

所以沒有90%的把握認為該疫苗接種成功與否與兩種劑量接種方案有關．

（2）由（1）知，P1=79，P2=1112，

而X的可能取值為0，1，2，可得P（X=0）=（1-79）×（1-1112）=154，

P（X=1）=（1-79）×1112+79×（1-1112）=29108，P（X=2）=79×1112=77108，

所以X的分布列為

E（X）=0×154+1×29108+2×77108=6136．

點評在解決與獨立性檢驗相關的概率與統計問題時，要從統計中的數據信息入手，結合獨立性檢驗的公式計算與數據分析來判斷與分析，并結合相應的統計、概率等基本知識，合理加以邏輯推理與數學運算，實現數據分析與實際應用．

3 概率與經驗回歸方程的綜合

例3我國在芯片領域的短板有光刻機和光刻膠，某風險投資公司準備投資芯片領域，若投資光刻機項目，據預期，每年的收益率為30%的概率為p，收益率為-10%的概率為1-p；若投資光刻膠項目，據預期，每年的收益率為30%的概率為0.4，收益率為-20%的概率為0.1，收益率為零的概率為0.5．

（1）已知投資以上兩個項目，獲利的期望是一樣的，請你從風險角度考慮，為該公司選擇一個較穩妥的項目；

（2）若該風險投資公司準備對以上你認為較穩妥的項目進行投資，4年累計投資數據如下，詳見表5.

請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于μ的經驗回歸方程y^=b^μ+a^，并預測到哪一年年末，該投資公司在芯片領域的投資收益（其中，收益=投入的資金×獲利的期望）預期能達到0.75億元．

附：經驗回歸方程y^=b^x+a^中，b^=∑ni=1xiyi-nx×y∑ni=1xi2-nx2，a^=y-b^·x．

解析（1）若投資光刻機項目，設收益率為α1，則α1的分布列為詳見表6.

所以E（α1）=0.3p+（-0.1）（1-p）=0.4p-0.1；

若投資光刻膠項目，設收益率為α2，則α2的分布列為詳見表7.

所以E（α2）=0.3×0.4+（-0.2）×0.1+0×0.5=0.1；

因為投資以上兩個項目，獲利的期望是一樣的，則有0.4p-0.1=0.1，解得p=0.5，

因為D（α1）=（0.3-0.1）2×0.5+（-0.1-0.1）2×0.5=0.04，

D（α2）=（0.3-0.1）2×0.4+（-0.2-0.1）2×0.1+（0-0.1）2×0.5=0.03，

所以E（α1）=E（α2），D（α1）>D（α2），

由于兩個項目獲利相等，但光刻膠項目更穩妥，則建議該風險投資公司投資光刻膠項目．

（2）因為μ=2.5，y=4，可得∑4i=1μiyi=1×2+2×3+3×5+4×6=47，∑ni=1μi2=12+22+32+42=30，

所以b︿=∑ni=1μiyi-nμ×y∑ni=1μi2-nμ2=1.4，a︿=y-b︿·μ=4-1.4×2.5=0.5，故經驗回歸方程為y︿=1.4μ+0.5，

設該公司在芯片領域的投資收益為Y，則由Y=0.1×（1.4μ+0.5）≥0.75，解得μ≥5，

故到2023年年末，該投資公司在芯片領域的投資收益預期能達到0.75億元．

巧妙地合理創設統計場景，借助概率知識加以實際應用，成為實際應用中考查的一個重要場景，有效考查考生的“四基”以及創新意識與創新應用，對于考生的數學能力的考查與數學核心素養的培養都有很大的指導意義．

參考文獻：

［1］?林紅梅.突出統計概率本質，培養數據分析觀念：以“統計與概率”福建中考試題為例[J].中學數學，2023（14）：62-63.

[2] 卞徐丹.初中數學統計與概率應用題解題策略研究[J].現代中學生（初中版），2023（12）：25-26.

［責任編輯：李璟］