基于核心素養的高中數學試題命制分析與優化

肖建平

摘要：在考試環節引入數學建模，是落實數學學科核心素養、培養創新型人才的主要途徑之一.本文結合應用題的實際意義與最近發展區理論，給出一道聯考試題的分析并提出優化建議.

關鍵詞：課程標準；數學建模；試題優化

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0030-03

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》［1］提出，數學建模過程主要包括在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型.在考試環節引入數學建模是落實數學學科核心素養、培養創新型人才的主要途徑之一.引導學生理解、運用數學建模，從而解決問題，發展到“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”，將數學與現實世界建立映射關系，成長為思維嚴謹、勇于創新的新時代青年.

某市2023年高一期末聯考數學試題第22題的命制中依據現實情境，建構數學模型，以能力立意，核心素養為導向，從而在考查中落實“立德樹人”的根本目標.

1 試卷原題

某中學新建了學校食堂，每天有近2 000名學生在學校食堂用午餐，午餐開放時間約40分鐘，食堂制作了三類餐食，第一類是選餐，學生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購；第二類是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐；第三類是面食，如煮面、炒粉等.為了更合理地設置窗口布局，增加學生的用餐滿意度，學校學生會在用餐的學生中對就餐選擇、各類餐食的平均每份取餐時長以及可接受等待時間進行問卷調查，并得到以下統計圖表（表1和圖1）.

已知飯堂的售飯窗口一共有20個，就餐高峰期時有200名學生在等待就餐.

（1）根據以上的調查統計，如果設置12個選餐窗口，4個套餐窗口，4個面食窗口，就餐高峰期時，假設大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同），問：選擇選餐的同學最長等待時間是多少？這能否讓80%的同學感到滿意（即在接受等待時長內取到餐）？

（2）根據以上的調查統計，從等待時長和公平的角度上考慮，如何設置各類售飯窗口數更優化，并給出你的求解過程.

2 原題解答

（1）依題意，就餐高峰期時，選擇選餐的總人數為200×5050+30+20=100人， 這100人平均分布在12 個選餐窗口，平均每個窗口等待就餐的人數約為10012≈9人，所以選擇選餐的同學最長等待時間是2×9=18分鐘.由可接受等待時長的頻率分布直方圖可知，分組為[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]的頻率分別為0.15，0.45，0.35，0.05，所以可接受等待時長在15分鐘以上的同學有0.05+0.35=40%<80%，故設置12個選餐窗口，4個套餐窗口，4個面食窗口，不能讓80%的同學感到滿意.

（2）設設置m個選餐窗口，n個套餐窗口，k個面食窗口，則各隊伍的同學最長等待時間如下表2：

依題意，從等待時長和公平的角度考慮，則要求每個隊伍的同學的最長等待時間大致相同，即得：

2×100m=0.5×60n=1×40k，于是有：m∶n∶k=20∶3∶4，而m+n+k=20，得：m≈15，n≈2，k≈3，因此建議飯堂設置選餐、套餐、面食三個類別窗口數分別為15、2、3.

3 命題優化

筆者通過限時做題，覺得這個題目命題意圖很好，能夠體現基礎性、綜合性、應用性、創新性，而且非常契合數學建模的思想，可以通過數學建模、數據分析、數學運算去解決現實問題.但筆者認為原題的解答過程不夠準確，題目的設計也有待商榷.筆者基于數學核心素養的考查，結合應用題的實際意義和學生的最近發展區及儲備知識，對該題指出以下問題，以供參考.

3.1 表述不直接

問題的文字表述要合理易懂一些.“假設大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同）”，學生在做題的時候可能會忽略括號內的文字，尤其可能忽略掉“各類餐食”，是否可以把文字改寫成“假設大家在排隊時自動選擇同一類餐食較短的隊伍等待”更直接易懂.

3.2 解答不精準

關于“就餐高峰期選擇選餐”這部分的解答過程應進一步解析精準.就餐高峰期選擇選餐的總人數為200×5050+30+20=100人，這100 人盡可能平均分布在12個選餐窗口，其中有8個窗口每個窗口等待就餐的人數應為8人，其余4個窗口每個窗口等待就餐的人數應為9人，所以選擇選餐的同學最長等待時間是2×9=18分鐘.

3.3 排隊不合心理

如果這個問題“假設大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同）”刪掉括號內的內容（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同），是否更符合就餐學生急于吃午飯的心理？那么“假設大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待”的解法就不一樣了，學生等餐的時間會減少.分析：設每2分鐘完成一輪1×12+4×4+2×4=36人，200=36×5+20，那么需要5輪，余20人，每人一個窗口，所以選餐的同學最長等待時間是2×5+2=12分鐘.

3.4 窗口設置比例不合理

如果2 000名學生在學校食堂用午餐，午餐開放時間約40分鐘，售飯窗口設置m個選餐窗口， n個套餐窗口，k個面食窗口，且m∶n∶k=20∶3∶4，那么至少需要設置多少個售飯窗口？分析：每2分鐘需要提供2 00040×2=100份，則1×m+4×n+2×k≥100，得m=50，n≈8，k=10，因此食堂需要設置約68個窗口，這樣會給學校食堂帶來比較大的成本，不太符合實際.因此假設選餐用時2分鐘太夸張，實際食堂運行用不了這么久.

3.5 窗口配置優化

如果2 000名學生在學校食堂用午餐，午餐開放時間約40分鐘，至少需要設置多少個售飯窗口？分析：以取餐時長最短0.5分鐘計算，需要設置25個套餐窗口，但是不能滿足學生的用餐喜好，所以需要增加選餐和面食餐口.那么如何配置選餐、套餐、面食的窗口數就需要在食堂的成本和滿足學生的用餐喜好之間做出一個最優的方案，而且需要根據學生變化的用餐喜好不斷地調整窗口配置.

4 題目（2022年高一期末聯考試題）

某市沙田柚根據色澤、果面、風味等評分指標打分，得分在區間（0，25］，（25，50］，（50，75］，（75，100］內分別評定為三級柚、二級柚、一級柚和特級柚.某經銷商從我市柚農手中收購一批沙田柚，共M袋（每袋50 kg），并隨機抽取20袋分別進行檢測評級，得分數據的頻率分布直方圖如圖2所示：

（1）求a的值，并用樣本估計該經銷商采購的這批沙田柚的平均得分.

（2）該經銷商計劃在下面兩個方案中選擇一個作為銷售方案：

方案1：將采購的這批沙田柚不經檢測，統一按每袋350元直接售出；

方案2：將采購的這批沙田柚逐袋檢測分級，并將每袋沙田柚重新包裝成5小袋（每小袋10 kg），檢測分級所需費用和人工費平均每袋20元，各等級沙田柚每小袋的售價和包裝材料成本如表3所示：

假設這批沙田柚各級比例按前面隨機抽取的20袋的樣本結果估計，并可以全部銷售出去，那么該經銷商采用哪種銷售方案所得利潤更大？請通過計算說明理由．

4.1? 存在問題

通過計算估計該經銷商采購的這批沙田柚的平均得分是56.25分，因此區間設置不合理，得分75分和100分是同一等級，極差25分，懸殊比較大，不能突出當地沙田柚的優質性.

4.2? 優化建議

這道題目的關鍵是這批沙田柚的平均得分太低，修改數據最好的辦法是去市場買一批沙田柚并進行評分，這樣才貼合實際，然后要論證所得的數據是否具有代表性和普遍性.這樣才能在考題中無形地達到宣傳當地沙田柚的優質性，潤物細無聲地增進學生的家鄉情結和自豪感.

《普通高中數學課程標準》要求教師在教學的各個環節中要滲透數學建模思想，培養高中生的數學建模等核心素養.李大潛院士指出“數學教育本質上是一種素質教育”“貫徹素質教育最有效、最直接的途徑就是通過數學建模教學或者舉辦建模競賽”[2].因此，要發揮考試的導向作用，激發學生學習數學的熱情和興趣，提高學生數學建模的能力.

參考文獻：

［1］?中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 李大潛.數學建模與素質教育[J].中國大學教學，2002（10）：41-43.

［責任編輯：李璟］