教學中“一題多解”對數學核心素養的培養

周宗全 閆化宇

摘要：“一題多解”是培養數學能力的一種行之有效的方法.將“一題多解”恰當地融入高中數學教學中，從多角度探討解題規律，有助于學生掌握解題技巧，提高解題能力.

關鍵詞：一題多解；多解一題；不等式；泰勒公式

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0021-03

2022年高考試卷考點分布合理，總體難度有所增加，但未出現偏、難、怪的題目，以《普通高中數學課程標準》為依據，以《中國高考評價體系》為最高原則，發揮出了數學科目選拔人才的作用.要求考生立足于教材，不拘泥于教材，活用教材，注重知識點之間的關聯、融合、升華，搭建知識體系，滲透數學思想方法［1］.以常規解法為基礎，充分運用一題多解.文章通過對2022年高考數學卷中比大小類型的題目進行分析和整合，培養學生發散思維和通性通法解題的能力.

1 真題再現

2022年全國新高考數學Ⅰ卷7題，設a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，比較大小.

2 解法展示

比大小題目為高考常規題目，為了考查學生對于函數的綜合運用能力，題目基本告別了“三段式”的結論，要求學生需具備構造函數、利用導數、函數放縮等多方面的解題方法和能力［2］.

2.1 常規解法

比大小，一般采取作商、作差的方法，其中會用到構造函數的思想.以真題為例.

其具體步驟如下：細審題，發現a，b，c的共性，都與0.1有關聯.巧構造，利用構造函數判斷其單調性，利用導數法和初等函數的單調性進行判斷.構造函數u（x）=xex（00，v（x）>0，w（x）>0.

首先設f（x）=ln［u（x）］-ln［v（x）］=x+ln（1-x）（0

SymboleB@

）上單調遞增，所以u（0.1）

接下來，我們需比較a，c的大小，可采取作差法進行比較.設g（x）=u（x）-w（x）=xex+ln（1-x）（00在（0，0.1］上恒成立，即h（x）在（0，0.1］上單調遞增的，所以h（x）>（1-02）×e0-1=0，所以g′（x）>0在（0，0.1］上恒成立，所以g（x）在（0，0.1］上單調遞增，所以g（0.1）>0×e0+ln（1-0）=0，即u（0.1）-w（0.1）>0，則a>c.

綜上所述，可判斷c

在判斷a，b大小時，可采用作商法，判斷比值與1的大小關系，具體解法不再贅述.

2.2 放縮法

高中階段常見放縮公式有：

ex≥x+1>x>x-1≥lnx>1-1x

12（x-1x）

2（x-1）x+11）

三角函數放縮：

tanx>x>sinx（0

以真題為例，其具體步驟如下：

先比較b，c，先進行一些變形，b=19=109-1，c=-ln910=ln109，根據公式x-1≥lnx，可得出b>c.

再比較a，b，先將a，b擴大十倍分別變為e0.1，109，再同時取其倒數1e0.1=e-0.1，910=-0.1+1，根據ex≥x+1，得e-0.1>-0.1+1，則a

最后比較a，c，根據公式ex+1≥x+1，lnx<12（x-1x），（x>1），則a=0.1e0.1>0.1（0.1+1）=0.11，c=ln109<12（109-910）<0.11，則a>c.

前兩種方法較為常規，但不難看出前兩種方法需要學生具備較強的邏輯能力，考場壓力下會消耗大量時間，所以在平常的訓練中還是推薦通法，但課下還是可以了解一下其他解法和原理.我們知道對于非特殊的指數和對數一般很難算出它們的值，但我們可借助高等數學和其他領域的知識，從而快速求解這類題目.接下來我們將采取“泰勒公式”和“帕德逼近”方法求解此題.2.3 帕德逼近

泰勒展開是一種很好的逼近方法，對許多函數都有很好的效果，然而，有時泰勒展開對某些帶極值的函數逼近的效果不盡如人意，本質原因是因為多項式級數的局限性.為此，我們可以考慮用分式來逼近函數，也就是所謂的分式逼近，一種常用的分式逼近方法為帕德逼近，帕德近似（Pade approximation）是一種特殊的有理數逼近的一種方法，是一種非線性近似方法［3］.帕德近似往往比截斷的泰勒級數準確，而且當泰勒級數不收斂時，帕德近似往往仍然可行，以下列舉了兩種對數和指數的轉換方式.這種方法比泰勒展開收斂速度更快.主要應用于計算機數學領域，但對于高中函數方面有一定的作用，學生和教師可以適當地了解一下，拓展自己的知識領域.

ln（1+x）≈3x2+6xx2+6x+6x∈（-1，1），ex≈x2+6x+12x2-6x+12x∈（-1，1）

以第一題為例，其具體步驟如下：

通過計算可得a=0.1e0.1=0.1×0.12+6×0.1+120.12-6×0.1+12≈0.110 517 09

c=-ln0.9=-3×（-0.1）2+6×（-0.1）（-0.1）2+6×（-0.1）+6≈0.105 360 4.

2.4 背數法

在高中數學階段，熟記一些常見的特殊值也是必不可少的，對于一些題目的解答會帶來不錯的效果.下面根據題目進行變換，利用一些常見的數值帶入比較其大小.

常見的對數有：ln2≈0.693，ln3≈1.098，ln5≈1.609

以真題為例，其具體步驟如下：

對于c：進行轉變-ln0.9=-ln910=ln10-ln9=ln2+ln5-2ln3≈0.106，對于a，b我們易知都是大于0.11，如何比較a，b？因為a中出現了e，我們可以考慮同取對數，lna=ln（0.1e0.1）=ln0.1+lne0.1=ln110+110=110-ln10=0.1-ln2-ln5≈-2.202，lnb=ln19=-2ln3≈-2.196，故lnb>lna，因為f（x）=lnx在定義域中單調遞增，所以b>a.綜上：b>a>c.

背數法固然可行，但對于有些題目無法化簡成特殊數的形式，所以此方法適合一部分題目，不適合全部比較大小的題目.

3 一題多解的意義

通過觀察可以看出比大小題目類型多，方法不唯一，每種方法都有優缺點，所以一題多解的應用意義重大.現階段高中數學教學中，存在教學方法不合理的情況，從而限制了學生思維的開發，也不利于學生學習高中數學.比如題海戰術，該學習的方式是讓學生通過做大量的習題來熟悉并掌握相關知識，但這種學習方式卻給學生造成了很大的學習負擔和時間壓力，甚至導致部分學生厭惡學習數學，認為數學是一門既浪費時間，又收獲不大的科目.學生機械性地去做老師布置的題目，沒有時間對其所做的題目進行認真思考和總結，導致對需要掌握的知識不深入不具體.此外，很多學生受到此類教學方法的影響，導致學生的學習方法也會有一定的限制.很多學生只尋求一種解題方法，就認為已經滿足自己對此模塊知識的掌握要求，并未認真考慮是否有其他簡便快捷的解題方式［4］.因此，一題多解的教學思路應當在高中數學教學階段普及，同時讓學生從中獲得更大的收獲.

4 一題多解，發散思維，提高能力

高中數學新課標指出，培養學生的數學思維能力是全面培養數學能力的主要途徑，數學是思維的體現，解決問題是學習數學的目的.發散思維是一種不依常規、尋求變異、從多方面尋求答案的思維方式.這種思維方式，不受現代知識的局限，不受傳統知識的束縛，與創造力有著直接聯系，是創造性思維的核心.培養發散思維能力既是培養學生創造力的重要環節，也是發展其個性的有效手段.

在數學科目上，一題多解是訓練、培養學生思維能力的一種行之有效的教學方式，是讓學生跳出單一思維模式，多種角度、多個方位地審視、分析問題，從而達到解決問題的目的.它能充分調動學生自行解決問題的主動性、積極性，讓學生全方位地思考解題的多種方法，不斷開發解題潛能.

用問題促進思維的發展即通過合理設計疑問，以促進學生自身思維多方向、多角度的發展.在訓練發散思維時，教師要注意使設計的問題既達到了激疑目的，又具有一定的開放性.

用變化求得發散思維.在課本習題的基礎上，通過變式進行訓練，努力挖掘教材知識的深度和廣度，尋求思維的發散點，結合已學和拓展的知識，從不同角度出發，尋找題目的最優解.教師需精心設計每一堂課，通過一步步的變式探究，一步步的引導，使學生在課堂上處于一種探究、探索的狀態，通過多角度探究達到訓練學生發散思維的目的.

教師需轉變教學思路，注重學生討論環節.在很多情況下，學生之間具有互相啟發的作用，他們之間的相互交流溝通，可使解題思路得到有效的分享.為了促進學生學習進步，教師應當采用學生分組合作學習的方式，小組成員之間共同探討、交流解答教師所布置的任務以及有幾種方法可以解答題目等，將多個學生的思維整合到一起，再以小組為單位展開探討.這種方式既能烘托學習氛圍，又能激發學生的求知欲望，學生學習數學的熱情高漲，從而提高學生的學習效率，達到全體學生相互幫助、相互促進學習的目的，同時加深學生對一題多解的學習方式，逐漸使其養成良好的學習習慣［5］.

總而言之，熟練運用一題多解和多解一題是學生高中階段不可或缺的能力，教師需提高自身教學能力和教學水平，豐富自身知識領域，從而優化學生綜合素質，提高解題效率.

參考文獻：

［1］?都亦.高中數學“一題多解”的學習心得[J].中國校外教育，2016（35）：41-42.

[2] 何長斌.例談高中數學習題課中的“一題多變、一題多解”教學策略[J].中學教學參考，2015（11）：26.

[3] 趙魯輝.高中數學教學中“一題多解”對學生思維能力的培養[J].中學數學，2019（19）：86-87.

[4] 秦曾復，朱學炎.數學分析[M].北京：高等教育出版社， 1991.

[5] 蔣翠云.padé逼近方法[J].阜陽師范學院學報（自然科學版），1997（04）：42-44，29.

［責任編輯：李璟］