初中數學教材編修中的幾個具體問題

摘要：教材編修是落實數學核心素養教育的關鍵，在具體修訂過程中存在許多有爭議的問題，對這些問題在討論、辯論過程中達成“共識”或者拋出問題，引起大家的進一步討論，有助于教材的編修.無理數概念的名稱問題與編排的“位置”問題，幾何證明位置的編排問題，銳角三角形函數的“稱謂”問題，以及勾股定理的優化與是否需要證明等問題是困惑我們編修人員的問題.

關鍵詞：教材編修;幾何證明;無理數;銳角三角函數;勾股定理

筆者有幸參加了《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》頒布以來初中數學實驗教材的編寫，以及《義務教育教學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）發布后教材的修訂工作.在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）頒布后，有關出版社便組織教材修訂人員，對與《課標（2011年版）配套的教材進行修訂.二十余年以來，筆者親身經歷了在教材整體規劃、修訂、打磨過程中，始終有許多問題困擾著我們，今選幾個典型問題與大家進一步探討，也期望對正在進行的編修工作有所啟發.

1 關于無理數概念的問題

無理數是數學的基礎概念，是學生學習的難點，也是教材編寫中有爭議的地方之一.爭議主要體現在兩點：一是名稱問題；二是編排的“位置”問題.

在《課標（2022年版）》頒布之前，筆者對“無理數”的誕生歷史進行過研究，通過深刻思考曾經發表了以《初中數學教材無理數概念編排斷想——供教材編者參考》為代表的論文.該文主要論述了三個問題：無理數概念的誕生史；對教材中無理數概念的總體設想；對教材中無理數概念編排的具體建議.對于無理數的概念，我們認為有如下兩個問題：

（1）名稱應還原歷史：把有理數和無理數分別稱為“可比數”和“不可比數”

大量資料表明，有理數應叫可比數，無理數叫不可比數.無理數的產生早于數軸的發明，教材中無理數出現在數軸之后是不符合“史實”的.把無理數提前到數軸之前，和有理數“同時”安排，還原了“歷史”面貌，有助于學生整體認識數學，感悟數學的本質.

長期以來，我們一直把整數和分數叫做有理數，這似乎是一個毋庸置疑的問題.據文[1]介紹，由于一開始翻譯的訛誤，才造成了把整數和分數叫做“有理”的數，其原意并不是這個意思.

“有理數”的英文是rational number，“無理數”的英文是irrational number，irrational是rational的反義詞.rational這個詞原本的含義有二：其一是“比”，其二是“合理”.按照概念的內涵，rational number和irrational number應該分別翻譯為“可比數”和“不可比數”[2]，由此可見，無理數的本質是不能用整數之比表示的數[2].

《課標（2022年版）》在“課程性質”中的第一句話是“數學是研究數量關系和空間形式的科學”[3].教材編寫首先應遵循“科學性原則”，數學教材是學生學習這門“科學”的第一載體，理所當然要尊重科學史實！教材編寫中把有理數叫做“可比數”，把“無理數”叫做不可比數”就是還原歷史、尊重科學的舉措.

利用是否可“比”定義有理數和無理數的意義有三：

一是突出了數學的本質.教材最大的特色或者說排在第一位的特色就是要注重體現數學的本質.《課標（2022年版）》提出了“注重教材創新”的“編寫建議”，其中提出，“教材編修……，‘所選內容應注重體現數學的本質[2]”，用“比”的定義方式突出了數學的本質.

二是能澄清學生的模糊認識.利用“比”定義有理數，學生就能很容易認定227是有理數了，而目前大多教材中所定義有理數和無理數的方式，導致學生對227究竟是有理數還是無理數一直存有疑問.

三是符合先“質”后“量”的習慣.任何數學概念都有“質”和“量”兩個方面，是“質”和“量”的統一體，在這兩個方面中，前者是第一位的.對于數學概念，有兩種定義方式：一是通過揭示概念的內涵來定義；二是利用外延來定義.用內涵來定義是立足于“質”的方面揭示概念的本質，而用外延來定義則是從“量”的方面來考慮的.選擇定義方式時應先“質”后“量”.

（2）強調關聯：把有理數和無理數作為一節課安排在數軸之前

把有理數和無理數放到一節課，提到“數軸”前安排，很多教師認為這樣會增加學習困難或負擔.那么，該如何讓學生“看到”無理數呢？

把有理數和無理數作為一節課符合學生的認識規律，理由有二：

二是具備了知識基礎.《課標（2022年版）》在第三學段的“課程內容”中，提出了“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式”[3]的要求；在“教學要求”中，提出了“會計算平行四邊形、三角形、梯形的面積，能用相應公式解決實際問題”[3]；在“教學提示”中，提出了“引導學生運用轉化的思想，推導平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形的面積公式”[3].由此可見，學生通過第三學段的要求，已經具備了學習無理數的知識基礎.

如何讓學生感悟到無理數是客觀存在的數呢？

筆者認為，對于無理數位置前移，應引導學生經歷“實驗操作—得到新數（擴充數系的必要性）—探索新數特點（擴充數系的合理性）—給出無理數定義—擴大數學知識結構[2]”的過程.教材要突出“給出可比數的概念、引進不可比數、畫不可比數點”三個環節，目的是讓學生感悟到“無理數”是實實在在存在的數.

2 關于幾何證明安排的位置問題

“推理能力”是《課標（2022版）》提出的重要核心素養之一.推理能力主要包括合情推理能力與演繹推理能力.以往在培養推理能力方面過分依賴幾何，比較重視“演繹推理”，對“代數推理”“統計推理”的重視程度不夠.為了改變這一現狀，《課標（2022版）》在“課程內容”中增加了“了解代數推理”的要求.代數推理能力一方面可以通過合情推理訓練來培養，也可以通過演繹推理訓練來提升.

平面幾何內容歷來被認為是培養學生推理能力的重要載體.數學教材應把培養學生的推理能力作為貫穿“圖形與幾何”內容的主線之一，遵循“合情推理—演繹推理—合情推理與演繹推理相結合”的原則，分三個階段來設計這部分內容.

《課標（2022版）》對于“圖形的性質”這一主題，強調“通過實驗探究、直觀發現、推理論證來研究圖形”[3]，這里“強調”意味著在學習圖形的性質時應采用三種方法，這三種方法出現的順序為“實驗探究—直觀發現—推理論證”.前兩種方法有助于合情推理能力的發展，后一種方法注重演繹推理能力.

合情推理對于學生將來的發展具有重要的意義.從這個角度看，教材中“證明”不宜過早出現，安排在八年級下冊比較合適，如果安排在八年級上冊的話，也應該在其后半部分.

特別需要說明的是，“全等三角形”和“軸對稱圖形”內容是落實《課標（2022版）》“通過實驗探究、直觀發現研究圖形”最恰當的內容，因此建議把“證明”放在這兩章的后面.這樣有助于培養學生合情推理能力和實驗探究能力.

這兩部分內容主要承擔的是培養學生的合情推理能力，并為演繹推理能力的發展奠定基礎.教科書應采取以實驗、觀察、類比、推測等合情推理的方式獲取數學結論為主，初步感悟演繹推理和變換幾何的思想.

例如，全等形概念是在學生“觀察圖片”的基礎上引入的；全等三角形及其特征是在學生“動手操作、觀察、比較、探究、感悟”的基礎上得到的；三角形全等的四個判定方法都是通過實驗探究得到的.

這種安排促進了學生合情推理能力的發展，也有利于培養和發展學生的幾何直觀和空間觀念，豐富學生的數學活動經驗，同時對于他們感受數學思考過程的合理性和數學結論的確定性也是非常有益的.

3 關于三角函數的名稱問題

“銳角三角函數”是解直角三角形的基礎，對應銳角A的正弦、余弦、正切應定義為銳角A的三角比，而不是銳角三角函數.理由如下：

（1）《課標（2022年版）》把“圖形與幾何”領域分為“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個主題.“銳角三角函數”是解直角三角形的基礎，銳角三角函數概念在“圖形的變化”主題中，在這個主題中圖形的變化是主線，這里面包含了合同變換（圖形的軸對稱、圖形的旋轉、圖形的平移、圖形的相似），直角三角形的邊角關系也屬于這一主線.

（2）《課標（2022年版）》對“銳角三角函數”的要求是“利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數（sin A，cos A，tan A）[3]”.對應《課標（2022年版）》的解讀指出“關于銳角三角函數，初中階段主要研究直角三角形的邊角關系，而沒有從函數的角度去研究”[4].

（3）對于直角三角形的邊角關系，教材中是利用“相似三角形的對應邊成比例”來研究的，而不是從變量和函數的角度去研究的.

在定義過程中“比”是核心知識，我們認為叫銳角三角比更能反映它們的實質，也能很好地體現《課標（2022年版）》的上述要求.

在具體引入概念時，應從概念的內涵與外延上作深入的剖析，剖析概念的內涵就是抓住概念的本質特征.教材中可抓住正弦進行剖析，正弦在本質上是一個“比”.為了突出這個比值，結合圖1，說明如下：

（1）正弦是一個比；

（2）這個比是∠A的終邊上任意一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值；

（3）這個比值隨∠A的確定而確定，與點在∠A的終邊上的位置無關（這一點可用相似三角形的原理來說明）；

（4）由于y≤r，所以這個比值不會超過1[5].

事實上，對于∠A的每一個確定的值，都有一個確定的比值與之相對應.讓學生認識到這一點，他們對正弦的理解就更深刻了.

另外，∠A的終邊上的一點P（x，y）一旦確定，x，y，r這三個量（見圖2）的值也就確定了，任取其中兩個就可以確定一個比值，這樣的比值有且只有六個.因此，基本銳角三角比有且只有六個，這便是銳角三角比的外延，在初中我們僅學習其中的三個.

4 關于勾股定理的問題

勾股定理是直角三角形的一個性質定理，由于它有著悠久的歷史、豐富的文化內涵以及在數學史上的獨特地位和廣泛的應用，因此成為數學中最著名、最重要的定理之一.

關于勾股定理，主要有兩個問題：一是單獨成章還是與實數合并；二是教材中需不需要對其進行證明的問題.這兩個問題，編修過程中爭議很大.筆者建議：

（1）把勾股定理并到實數一章

從《課標（2022年版）》可知“勾股定理”和“數的開方”分別是“圖形與幾何”和“數與代數”兩個領域的核心內容，它們分別代表著“形”和“數”，從科學發展史來看，二者有著密切的關聯，是并存發展的.如2，3等無理數是伴隨著勾股定理的發現而誕生的，所以說無理數使得勾股定理對于邊長是任意正數的直角三角形都能成立，反過來，勾股定理使得無理數有了明確直觀的幾何解釋.

將“勾股定理”和“數的開方”合為“實數”一章，這種安排是還實數（勾股定理）到其應在的“位置”.二者合為一體，揭示了他們之間本來固有的實質性的聯系，體現了數學的整體性和文化價值.

這種處理方式，不僅解決了傳統教材中將二者分開后，究竟先安排勾股定理再安排無理數，還是先安排無理數再安排勾股定理的矛盾.同時，還回歸到人類發現勾股定理和無理數的歷史，揭示了二者之間的聯系，是“形”和“數”兩個研究對象在一定條件下相互轉化，相互滲透的典范，也符合《課標（2022年版）》突出學生感悟數學思想方法的要求精神.

將勾股定理合并到“實數”后，本章的宏觀設計是：在有理數的基礎上，通過研究平方、立方運算的逆運算，以及已知直角三角形的兩邊由勾股定理求第三邊邊長的需要，引入新的運算——開平方和開立方運算，以及開方運算產生的新數——無理數，提出實數概念（前面只提出無理數概念，但不出現實數），將數的范圍擴充到實數.

本章之后將在實數范圍內討論一元一次不等式、二次根式、一次函數.這種統籌安排、整體設計的方式，有利于學生逐步掌握當數域擴充后數學研究的規律和方法，加深學生對數學本質的理解與感受.同時，這種設計更加印證了人類對數的認識是在生產、生活和數學自身矛盾的發展過程中不斷加深和完善的事實.

（2）勾股定理不需要證明

《課標（2022年版）》對于勾股定理的要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題”[3].這個要求在21世紀初開始實施的課程標準中一直沒有變化.

直角三角形中的判定有：（1）有兩個角互余的三角形是直角三角形；（2）兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，（3）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

用勾股定理看判定方法（2）（3），可以得到如下結論：

在等式a２+b２=c２中，任給兩個字母的值就可以唯一確定第三個字母的值.勾股定理的重要性在于它在定量幾何中扮演著重要的角色.勾股定理的發現和證明具有很強的構造性，如果沒有畢達哥拉斯那樣對圖形關系的高度敏感性和好運氣，那么要發現直角三角形三邊的平方關系也是很難的.

《課標（2022年版）》對勾股定理的要求是“探索”得到定理并且“會運用”，因此，在教材中不能出現關于勾股定理的證明問題.如果教材中出現勾股定理的證明，則超標了.

以上是作者對編修初中數學教材中幾個“敏感”問題的思考建議，供大家討論.

參考文獻：

[1]王紅權.怎樣教好無理數[J].數學通報，2018（6）：18-22.

[2]李樹臣.初中數學教材無理數概念編排斷想——供教材編者參考[J].教育研究與評論（中學教育教學），2021（11）：75-78.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[4]史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程課標（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[5]李樹臣.注重數學實質 突出內在聯系——青島版義務教育教科書·數學九年級上冊第二章“解直角三角形”介紹[J].中學數學，2015（4）：43-47，3.