緊扣知識生長點，讓思維在“重溫”中飛揚

丁潔

中考第二輪復習一般設為專題復習課，是在一輪復習——夯實“四基”的基礎上，注重知識的縱橫聯系，強化重點、考點，是對學生已有知識、技能、思想方法的升華．因此，如何上好專題復習課，讓它更有新意與深意，值得每位一線教師思考．《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）中指出：要運用數學的思維方式進行思考，讓學生有足夠的時間和空間經歷觀察、抽象、探索、猜測、推理、驗證等活動過程.可見，初中數學是活動和思維的學科．本文中從一次專題復習課的兩個不同案例出發，側重于對問題設計角度的剖析，談談如何抓住知識的生長點，讓思維在“重溫中”飛揚．

1 教學案例的簡要呈現

在一次中考復習研討會上，兩位教師執教二輪復習的同一個課題“最值問題——線段和差問題”，這兩個班級整體水平較高，學生思維較敏捷．

案例1

例1 從點A（—2，3）發出的一束光，經x軸反射后過點B（3，1），則這束光線從點A到點B所經過的路徑長為[CD#3]．

變式2 如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=6，N為線段AB上的任意一點，∠BAC的平分線交BC于點D，M是AD上的動點，連接BM，MN，則BM+MN的最小值是[CD#3]．

案例2

例2 如圖3，在平面直角坐標系中，A（8，0），B（2，0），直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動點，求PA+PB的最小值．

變式1 如圖3，平面直角坐標系中，A（8，0），B是x軸上的一個動點，直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動點，求AP+BP的最小值．

變式2 如圖4，在平面直角坐標系中，A（8，0），B是x軸上的一個動點，直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動點，Q是直線l上一定點，且OQ=2，求AP+PB+BQ的最小值．

接著，授課者提問學生：你還能“變”出哪些題來？

生1：如圖4，在平面直角坐標系中，A（8，0），B是x軸上的一個動點，若轉動直線l使其與x軸的正半軸的夾角為15°，P，Q是直線l上的兩個動點，求AP+PB+BQ的最小值．

生2：如圖5，在平面直角坐標系中，A（8，0），C（1，0），B是線段AC上的一個動點，直線l與x軸的正半軸的夾角為15°，P，Q是直線l上的兩個動點，求AP+PB+BQ+QC的最小值．

…………

學生討論激烈，思維被激活，最后，授課者組織學生對問題進行歸類梳理，并解決產生的新問題．

2 教學案例的剖析與思考

2.1 目標定位，理解學生

教學目標就是教學的方向，目標定位關乎一堂課的成敗.正確的目標定位的前提是理解學生，因為學生是課堂教學的主體，教師只有明晰學生已有的知識經驗、學習習慣、思維特點等，才能做到有的放矢，事半功倍．對于案例1，從“將軍飲馬”問題出發，教師在教學過程中注重以生為本，由學生獨立求解，而因知識容量偏小，幾個變式問題難度也不大，使得學生在課堂教學中對答如流，但看似流暢的背后往往存在一些隱憂.因為該班學生的基礎扎實，整體水平較高，況且這是二輪復習，如果僅僅是重現原來的問題或設置的問題難度過低，那么思維含量就會偏低，導致這些功底好的學生，幾乎不需多加思考就能解決，思維又怎能興奮呢？案例1的教學使不少學生處于被動答題狀態，長此以往，他們學習數學的興趣也會逐步喪失．而案例2的題量與難度都比較符合學生實際，學生或動手解答，或動腦思考，都能積極參與其中．當然，如果在普通層次的班級，問題設計偏難，也不符合學生實際，同樣會降低復習效率．可見，題量、難度是二輪復習目標定位的兩個重要元素，教學一定要落在學生的最近發展區．另外，二輪復習的目標定位，還要考慮課標和本地中考對知識點的相關要求，考慮中考的重點、熱點以及一輪復習的薄弱點．弄清這些問題后，再合理選材，就能讓預設的教學目標與課堂生成相匹配，使復習教學更有針對性，也更有價值．當然，案例2也存在一些不足：（1）案例2中問題背景單一，不利于學生解決新穎問題；（2）課題為線段的和差問題，而選擇的問題卻只有“和”未見“差”.建議在例1之后，增設一道“自主練習”題：在平面直角坐標系中，A（1，3），B（4，3），在直線y=x上是否存在一點P，使得PA-PB最大.如果存在，求出此時點P的坐標.這樣既更換了問題背景，也探究了“差”的最值．

2.2 精選問題，用好經典

模型觀念是初中數學學科核心素養的關鍵詞之一，《新課標》認為數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象．俗話說，好鋼要用在刀刃上，好題也要放在合適的位置才能發揮它的最大價值，所以選擇經典問題是上好復習課的第一步．幾何中的最值問題，通常最終歸結為“兩點之間線段最短”“垂線段最短”.因此，上述兩個案例，緊抓知識要點，都是以學生熟悉的“將軍飲馬”問題作為切入點，重溫幾何最值中的最基本模型.從這一經典問題出發，由淺到深，再現“化折為直”的轉化思想，最終運用“兩點之間線段最短”順利解決問題．在復習時，應有意識地加深學生對這些核心知識的理解和認識，使學生在遇到幾何最值問題時，能夠聯想到“將軍領馬”等基本模型，將陌生問題變為熟悉問題．因此，尋找題根至關重要．數學教學從來不缺少題目，只是缺少對題目的篩選和創新.教師在選擇例題和習題時，要及時發現習題之間的內在聯系，精心選擇，合理編排，科學創新，讓例題具有生長性、層次性、科學性.通過有限的題量，達到無限的效果，從而培養學生思維的深刻性和發散性．

2.3 變式問題，拓展經典

數學學習需要一定的連貫性與靈活性.案例2中以例1為背景，進行了2次變式.其一，可節省學生審題的時間；其二，在主線清晰的情況下，更方便學生將知識點加以整合，舍棄枝葉，突出問題本質，提煉數學模型．變式1把例1中的定點B變為x軸上一動點，化定為動，進一步加深問題．根據“點動成線”的思路，x軸即為所有動點B的集合，作定點A關于直線l的對稱點A′，則此時A′B的最小值即為點A′到x軸距離的最小值，“點與直線之間，垂線段最短”的“加盟”使問題走向深入．變式2將問題由“兩折線求和的最小值”拓展為“三折線求和的最小值”，有了之前的題型鋪墊、思維構建，學生易想到通過軸對稱“化折為直”．變式2通過兩次軸對稱，先以點P所在的直線為對稱軸作點A的對稱點A′，得到AP=A′P，再以點B所在的x軸為對稱軸作Q的對稱點Q′，得到BQ=BQ′，因此可得AP+PB+BQ=A′P+PB+BQ′，從而將問題化歸．案例2中巧用具有梯度的變式，由簡單到復雜，由淺入深，層層遞進，滿足不同層次的學生解決不同層次的問題，拾級而上，讓學生的思維逐步走向深入．

案例2中授課者還設計了開放型問題.開放型問題一般需要學生經歷觀察、分析、比較的過程，才能很好地對題組進行提煉、發散.在變式1、變式2中，授課者一直在帶領學生感受題目變化的過程，領悟題目變化過程中思維的提升發展，感受“化定為動”“化折為直”的奧妙．通過題組連貫性的發展，學生“變”出來的題目可謂是在變式1和變式2的基礎上“長”出來的，生1“讓定點再次動了起來”，而生2更為大膽地嘗試了增加線段的條數．開放型問題，打開了學生的思域，再加上最后師生互動性的思維提煉，筆者發現不管數學模型隱藏得有多深，只要將問題與模型聯系起來，學會融會貫通，無從下手的問題也會變得輕而易舉．而在其后的解答過程中，學生都在嘗試通過軸對稱“化折為直”，努力將問題轉化為“兩點之間線段最短”“垂線段最短”問題，可謂把握住了此類題型的精髓.

通過對一系列問題的整合，學生感受到不斷的變化與轉化中，萬變不離其宗的是“兩個最短”原理和對稱的思想方法．這樣的設計直擊幾何最值問題的本質，培養了學生思維的靈活性與深刻性．同時，開放型問題更有利于激發學生興趣，培養學生創新意識，讓他們真正成為課堂的主人．從案例2的例1開始生長變式，便于進行歸納、提煉共性.其一，選擇在同一個背景下，以問題串的形式，激發學生興趣，引發學生思考；其二，在講解過程中，有意識地引導學生關注“變化與不變”“運動與靜止”“有限與無限”等關系，站在發展的角度思考問題，有益于培養學生思維的敏捷性和深刻性．

這兩個案例給我們以啟示，若能從多角度進行變式拓展及“生長”，經典題就猶如題根，抓住題根，就等于抓住了整個題系，再抓根挖掘進行改編，就可以實現“做一題，會多題，會一法，得通法”，讓復習更有效，事半而功倍．因此，教師應該找到知識、方法的生長點，拓展經典，讓老題生根發芽、煥發新機，幫助學生走出題海．教學實踐表明，在最近發展區設置問題，讓學生“數學地思考問題”，有助于學生產生思維共振，同時讓學生習得解決問題的數學思想方法，積累數學知識和經驗.通過例題及適度的一題多變、一題多解，不僅能激發學生的興趣，還能培養學生思維的發散性和靈活性；通過對問題的層層深入，引導學生關注“數學本質”，有益于培養學生思維的敏捷性和深刻性.這樣的課堂教學，將使學生終身受益．