聚焦圖形本質 合理分類解題

李愛琴

摘要：分類討論的思想方法貫穿整個初中教學教學，而圖形與坐標又是初中數學的重要內容，因此，在教學中需要訓練學生正確運用分類討論思想，合理解決圖形與坐標中平行四邊形的相關問題.

關鍵詞：平行四邊形；分類討論；圖形與坐標

1 背景分析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中“圖形與坐標”強調數形結合，用代數方法研究幾何圖形，在平面直角坐標系中用坐標表示圖形中點的位置，用坐標法分析和解決實際問題.平行四邊形是初中幾何中一種非常重要的幾何圖形，對于它的性質和判定，學生都要會合理應用.與平行四邊形相關的問題在中考中也較為普遍，而由于與之相關聯的知識點涉及面廣，求解方法多、思路活，因此有些學生對這類問題有時束手無策，有時考慮又不全面.

對于初中學生來說，高效而準確的數學解題方法是不可或缺的.在解決有關求平行四邊形頂點坐標的問題時，往往要用到分類討論思想.下面筆者擬通過幾例問題分析，談談分類討論思想在求平行四邊形頂點坐標問題中的應用.

2 分析說明

如圖1，在平行四邊形ABCD中，任意連接它的四個頂點中的兩個點，可以得到六條線段，分別是線段AB，BC，CD，DA，AC，BD.這六條線段要么是平行四邊形的邊，要么是平行四邊形的對角線.所以，在平面直角坐標系中解決平行四邊形問題時，如果已經知道了平行四邊形的三個頂點，那么一般分三種情況討論；而若只知道平行四邊形的兩個頂點，則一般需要分兩種情形來討論.因為這兩個頂點組成的線段只有兩種情形，可能是平行四邊形的邊，也可能是它的對角線.

3 案例剖析

案例1 若以A（-1，0），B（3，0），C（0，4）為其中三個頂點畫平行四邊形，求第四個頂點的坐標.

分析：如圖2，已知平行四邊形三個頂點A，B，C，求第四個頂點，可以分三種情況，分別將AC，AB，BC向右或向上或向左平移就能得到第四個頂點的三種不同位置；也可以分別把AC，AB，BC看成對角線，從而得到第四個頂點的位置.

在這里，具體的求解有兩種方法：一是運用幾何論證方法，根據平行四邊形對邊平行且相等的性質容易求得第四個頂點的坐標.二是代數論證方法，運用線段中點坐標公式從而確定第四個頂點的坐標.如圖2，平行四邊形第四個頂點的坐標分別是（4，4），（-4，4），（2，-4）.

案例2 如圖3，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，5），（3，3），一次函數y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點D，C，如果以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則一次函數y=kx+b的關系式為[CD#3].

分析：本題只知道平行四邊形兩個頂點A，B，所以分兩種情形，一種是AB為邊，另一種是AB為對角線.

先看第一種，如圖4，如果AB為邊，那么CD也是邊，此時過點A作x軸的垂線，過點B作y軸的垂線，兩條垂線的交點為E，則根據“平行四邊形對邊平行且相等”，可得△AEB≌△COD，所以CO=AE=2，EB=OD=2.當點C，D分別在y軸和x軸的正半軸上時，直線CD的解析式為y=－x+2；當點C，D分別在y軸和x軸的負半軸上時，直線CD的解析式為y=－x－2.

再看第二種，如圖5，若AB為對角線，則CD也為對角線.平行四邊形對角線具有的性質是互相平分，根據線段中點的坐標公式，可以確定AB的中點E的坐標是（2，4）.取OD中點F，連接EF，則EF是△COD的中位線.根據中位線的定義及性質可以確定點D（4，0），C（0，8），所以CD所在直線的解析式為y=－2x+8.

綜合上述二種情況，可確定所求的一次函數解析式為y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8.

案例3 ]如圖6，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），經過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC.設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由.

分析：以A，D，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，而在這四點中只知道兩點A，D，所以分兩種情形，即一種是AD為邊，另一種是AD為對角線.

先考慮第一種情形，若AD為邊，則QP也為邊，所以AD與PQ平行且相等.如圖7，

過點D，Q分別作x軸的垂線，垂足為E，F，則由OC∥ED，CD=4AC，易得OE=4OA=4，所以可知點D的坐標為（4，5a）.過點P作PG⊥FQ于點G.

由AD與PQ平行且相等，易證△AED≌△PGQ，所以AE=PG，QG=ED=-5a，

再考慮第二種情形，如圖8，若AD為對角線，則PQ也為對角線.由于此時△AFQ≌△DGP，因此FQ=PG，AF=DG.同理可以確定點Q（2，-3a），P（1，8a）.又因為∠AQD=90°，所以△AFQ

4 解題反思

平行四邊形的存在性問題已經成為中考的熱點問題之一，教師平時要注意引導學生在遇到這類問題時應仔細分析題目信息，根據已知條件選擇合適的分類標準.分類討論思想是一種比較系統性的思想，有助于解決一般性問題，在數學解題中有廣泛的應用.總之，利用分類討論思想解決有關平行四邊形的問題時，一般分三步：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算.而難點在于尋找分類標準，如果分類標準恰當，可以使解的個數不重復、不遺漏，從而提高解題的正確率.教師在此類問題的解題教學中，要探索例題的教學價值，教會學生聚焦圖形本質，探索分類的合理性、思路的自然化，拓展思維的深度和廣度，提高解題能力，使每個學生得到不同的發展［1］.

參考文獻：

[1]徐琳玲，蔡晶晶.幾何作圖探本質 問題解決顯素養——對一道中考幾何題的探究［J］.中學數學教學參考，2023（5）33-35.