錘煉數學語言 提升“疑思”品質
——以“用字母表示數”一課為例

江蘇省海安市教師發展中心附屬小學 張春新

謝小慶教授的《終身成長：創新教育新思維》中談道，國際教育界已經形成共識：教育最重要的任務之一是發展學生的審辯式思維，審辯式思維是最值得期許的、最核心的教育成果。審辯式思維是創新型人才最重要的心理特征。什么是審辯式思維？最簡答的回答是不懈質疑、包容異見、力行擔責。如此想來，鼓勵學生敢疑、會疑、善疑、好思、多思、深思，實行“疑思雙向共振”的疑思學習就是培養學生審辯式思維的良好途徑。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出：數學教學要立足學生核心素養發展，體現數學育人價值，在教學中促進學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。如何在立足核心素養培養的基礎上促進疑思學習呢？下面，筆者以“用字母表示數”一課為例來談談自己的嘗試。

一、激趣中生疑——以“問” 引思

教學片段1：

師：關于用字母表示數，你已經知道了什么？

生1：我知道了長方形的面積=長×寬，可以用S=a×b表示。

生2：我知道了乘法交換律可以用a×b=b×a表示。

生3：我知道了三角形的面積可以用S=a×h÷2表示。

師：學習“用字母表示數”，你想知道什么？

生1：我們為什么要學習用字母表示數。

生2：用字母表示數，字母可以表示什么數。

生3：怎樣用字母表示數。

生4：我想知道用字母表示數有什么好處。

生5：我想知道用字母表示數，這些數有沒有什么特殊要求。

師（板書學生的問題）：大家的問題，概括起來就是“為什么要學習用字母表示數？用字母可以表示哪些數？怎樣用字母表示數？”今天我們一起來從這三個方面感悟。

解讀：通過了解學生關于用字母表示數的先備知識，一是調動學生學習的興趣，二是在正視學生已有經驗的基礎上，在后續教學中注重新舊知識的意義建構。喬治·波利亞在其著作《數學的發現》中指出，假如學生在問題的提出過程中起過作用，則其在后續學習中就必然更加主動積極。2011年版課標和2022年版課標在“課程總目標”中均明確提出了要培養學生積極主動發現問題、提出問題的意識和能力。如何讓學生學會提出有價值的問題，激發學生探究的興趣？教師通過平時對學生提問方法的指導，讓學生在接觸剛學習的新知識時，已不再是跟在教師后面亦步亦趨地學習，而是先從“為什么”“是什么”“怎么做”這三個方面提問，然后順著這些問題，去學習、思考、探究，看看能不能解決。這時，學生對后面將要探究什么有著明確的目標，就能主動、持續地參與學習。同時，學生的問題既是知識本身的建構，又是思維的建構。

二、探究中解疑——以“問”促思

教學片段2：

師（出示一個儲蓄罐，放入一把硬幣）:儲蓄罐里有幾枚硬幣，你知道嗎？

生：不知道。

師：可以怎樣表示里面的硬幣數呢？

生1：用字母a表示。

生2：用字母x表示。

生3：用三角形表示。

……

師：字母、圖形、符號都可以用來表示儲蓄罐里未知的硬幣數，通常我們可以用字母來表示一個未知數。（板書：字母→未知數）字母除了可以表示未知數，還可以表示怎樣的數呢？

（課件出示一個“儲蓄罐”）

屏幕演示，學生觀察：放入1枚硬幣，出來2枚硬幣；放入2枚硬幣，出來4枚硬幣；放入3枚硬幣，出來6枚硬幣……

師：發現儲蓄罐的魔力了嗎？如果繼續變下去，放入4枚硬幣，會出來幾枚硬幣？再變下去，會有很多很多。那你能用一種方法把儲蓄罐的魔力表示出來，讓其他不知道這個魔力的人也能一眼看出這個儲蓄罐的神奇之處嗎?

生1：我發現了，出來硬幣的枚數始終是進去硬幣枚數的2倍。進去硬幣的枚數×2=出來硬幣的枚數。

生2：進去硬幣的枚數用字母a表示，出來硬幣的枚數就用a×2表示。

師：這里的a可以表示哪些數？

生1：a可以表示任意的數，可以是3、5、50等。

生2：我覺得a有一定的范圍，不可能表示特別大的數，如1000、10000，否則儲蓄罐放不下。

師：你們同意嗎？

生3：同意，儲蓄罐的容量是有限的，所以表示的數也是有限的。

師：誰來完整地把他們的意思表達出來？

生4：這里的a可以表示任意數，可以是4、5、70等，但有一定范圍，因為儲蓄罐的容量是有限的。

（板書：任意數、范圍）

師：a×2表示什么意思？

生：輸出硬幣的枚數。

師：字母式可以表示具體的數量。其中什么變，什么不變呢？

生2：不管a表示的數如何變，出來的硬幣錢數始終是a×2，出來硬幣的枚數始終是a的兩倍，出來硬幣的枚數和進去硬幣的枚數的關系始終是不變的。

師：可見，含有字母的式子既可以表示數量，也可以表示數量之間的關系。（板書：數量、數量關系）

師：現在，我們再回過頭來想一想，字母式能表示所有出來硬幣的個數及之間的關系，單純具體的數字式能不能表示所有進去硬幣的數量以及它們之間的關系呢？

生1：單純的數字式只能表示具體的進去硬幣枚數與出來硬幣枚數的關系，如3×2，表示進去3枚，出來3×2枚，不能表示其他的數量關系。

師：字母式能表示所有出來硬幣的枚數，以及出來硬幣與進去硬幣枚數的關系，你們能想一個詞，表現字母式的這個特點嗎？

生1：表示。

生2：包括。

生3：概括。

師：你們喜歡哪個詞？

生：“概括”，字母式把所有硬幣的枚數以及它們之間的關系都概括出來了，更貼切。

師：是的，這就是用字母表示數最顯著的一個優點——概括。（板書：概括）

師：文字表述和字母表示，你更喜歡哪一種？

生2：我更喜歡字母式，用字母式表示更簡潔明了。

生3：我也更喜歡字母式。我的想法和他一樣，字母式更簡潔明了。

師：是的，這是用字母表示數的一個優點——簡潔明了。（板書：簡潔）

生4：現在我知道為什么用字母表示數了，用字母表示數能概括所有的數量以及之間的數量關系，比文字表示更簡潔明了。

生5：我也知道了字母可以表示未知數、任意數，但有一定的范圍。

解讀：這一環節解決了學生的兩個疑問，即用字母可以表示哪些數以及為什么用字母表示數。重在促進學生學會用數學的眼光去觀察，用數學的思維去思考，并用數學的語言去表達。教學環節分為三個層次，第一層次，觀察儲蓄罐里的硬幣數，并用數學的符號表示，使學生體會到字母可以表示未知數。第二層次，繼續觀察儲蓄罐里進去硬幣以及出來硬幣的枚數，思考之間的關系，并用數學符號表示出來。學生嘗試用字母式表示出來，在探析字母表示哪些數的過程中，在錘煉用數學語言表達的過程中，進一步全面地思考問題，知道字母可以表示任意數，但有一定范圍。第三層次，在不斷變化的輸入硬幣與輸出硬幣的枚數中讓學生探尋不變的關系，通過與數字式的比較，讓學生發現字母式的優點，并再次通過語言的錘煉，讓學生感受字母式具有“概括”的優點，學會用準確貼切的數學語言表達。隨后，通過文字式與字母式的比較，讓學生感受到字母式“簡潔”的優點。三個層次的學習，通過觀察、思考、表達的不斷循環，學生的數學眼光、數學思維、數學語言有機相融，學生逐步具備符號意識。

教學片段3：

生：那么怎樣用字母表示數呢？

師：飛飛和妹妹玩摸硬幣比多少的游戲，誰摸得多？[課件出示：飛飛摸到硬幣x枚，妹妹摸到硬幣（ ）枚]

師：試著寫出一個含有字母的式子來表示妹妹摸到硬幣的枚數，并說明兩人摸硬幣枚數的關系。同桌之間互相說說。

生1：妹妹摸了（x-5）枚，妹妹摸到的硬幣比飛飛少5枚。

生2：妹妹摸了（x×5）枚，妹妹摸到的硬幣是飛飛的5倍。

生3：妹妹摸了（x÷5）枚，飛飛摸到的硬幣是妹妹的5倍。

生4：妹妹摸了（x＋5）枚，妹妹摸到的硬幣比飛飛多5枚。

師：在這些含有字母的式子中，有加、減、乘、除四種運算符號，有一個符號比較特別，就是乘號，它可以簡寫或省略，而其他符號不能簡寫或省略。

師：數字和字母、字母和字母相乘，可以怎樣省略呢？讓我們一起看一看資料，由于內容很多、很重要，我分條出示，請同學們仔細聽、認真看。

展示——閱讀提示：

①字母和字母相乘，乘號可省略為“·”，也可省略不寫。例如，a×b=a·b=ab。

②字母和數相乘，乘號可省略為“·”，也可省略不寫，但通常數字寫在字母前面。例如，a×3=3a，4×x=4x。

③相同字母相乘，如a×a，可以寫成a·a，也可寫成a2，讀作a的平方。

師：通過自學，你看懂了什么？

師：到這兒為止，你們還有什么問題嗎？

生1：為什么加、減、除的時候，運算符號都不可以簡寫或省略掉，偏偏碰到乘號時，可以變成一個小圓點或干脆不要呢？

生2：我知道，乘號和字母x比較像，那么x乘x，就寫成（x×x）了，看起來就像三個x了，所以要變成x·x，或者直接省略不寫。

學生練習：

a×d c×3 c×c a＋b y×1 y＋y b＋b＋b

（學生交流）

師：看這幾道練習題，你們覺得有什么要提醒大家注意的呢？

生1：我想提醒大家注意y×1這道題，省略乘號后，1y不是最簡潔的，一般寫成y。

生2：我想提醒大家注意c×c，并不是去掉乘號就好了，由于兩個因數都是c，可以簡寫成c2。

生3:我想提醒大家注意，y＋y雖然是加法，但可以簡寫。由于加數相同，可以寫成y×2，省略乘號后為2y。我一開始沒注意加數相同，想當然地認為不好簡寫。所以我們在練習的時候除了要注意符號，也要注意數字。

解讀：這一環節分為三個層次，第一個層次是通過“飛飛和妹妹玩摸硬幣比多少的游戲，誰摸得多？”這一開放性的題目，讓學生從不同的角度用含有字母的式子表示妹妹摸到硬幣的枚數，這是對前面用字母表示數的活學活用，同時靈活地過渡到乘法字母式寫法的不同之處，從而讓學生學會用字母式表示數量，并明晰它們之間的關系。第二個層次通過閱讀提示，讓學生通過自學，掌握省略的方法。學生通過提出疑問、討論，逐漸明白為什么一般乘號省略不寫。第三層次通過相應練習，讓學生通過提醒他人，將數學語言的表達與數學思維進一步融合，通過思維促進語言的表達，通過語言的表達進一步理清思維。

三、釋疑中深化——以“問”活思

教學片段4：

師：飛飛和爸爸媽媽來到了太空影院，請看座位圖（見圖1）。你能用含有字母的式子表示三個人的座位號嗎？

生1：飛飛的座位號為a，媽媽的座位號就是a＋2，爸爸的座位號就是a－2。

生2：媽媽的座位號為a，飛飛的座位號就是a－2，爸爸的座位號就是a-4。

生3：爸爸的座位號為a，飛飛的座位號就是a＋2，媽媽的座位號就是a+4。

師：咦，怎么大家的字母式不一樣呢？他們表示的字母式對嗎？

生4：他們表示的字母式都是對的，是從三個不同的角度思考的，分別是把飛飛、媽媽、爸爸的座位號看作a，所對應的另外兩個人的座位號就不一樣。

師：大家真是愛動腦筋的孩子，能從不同的角度靈活思考相應的字母式。標準不一樣了，字母式也就不一樣了，其中什么是不變的呢？

生1：三個人座位號之間始終相差2。

生2：三個人座位號之間的關系是不變的。

師：對，標準不一樣，字母式就不一樣，但三人座位號之間的關系是不變的。

課件呈現：飛飛帶了y元去文具店買學習用品，練習本每本c元，要買5本練習本。

師：請根據上述信息寫出幾個含有字母的式子，并說說式子所表示的意思。

生1：5c表示5本練習本一共多少元。

生2：y-5c表示買了5本練習本后還剩多少元。

生3：y÷c 表示飛飛帶的錢最多可以買幾本練習本。

師：5c表示5本練習本的總價，你覺得5c在生活中可以表示哪些具體的問題？

生1：一張桌子c元，5張同樣的桌子5c元。

生2：小明栽了5行樹苗，平均每行栽了c棵，一共栽了5c棵。

生3：同學們給貧困山區的孩子捐書，每個小組捐了c本，5個小組一共捐了5c本。

生4：小明每天體育運動c分鐘，5天運動了5c分鐘。

師：大家表述了這么多，5c可以表示我們生活中許許多多的具體問題。

生5：我覺得y－5c表示買了5本練習本后還剩多少元不夠全面，還有一種情形，如果飛飛帶的錢不夠，y－5c就是還差多少元。只不過這時結果是負數。

生6：當不夠時，還可以用5c－y，表示還差多少元。

師：敢于質疑并提出自己的想法，能夠全面思考問題了，真不錯！

解讀：鄭毓信教授指出，數學教育的主要目標是促進學生思維的發展，特別是應當通過數學教學幫助學生逐步學會更清晰、更全面、更合理地進行思考，并由理性思維逐步走向理性精神。在學生的疑問解決后，通過兩道習題進一步深化學生的認識，活化學生的思維。第一題是用字母式表示爸爸、媽媽、飛飛三人的座位號，有三點思考：一是進一步促進學生學會用字母表示數，培養學生的符號意識；二是促進學生學會從多角度思考問題，感受到標準不同，字母式也就不同，培養學生思維的靈活性；三是讓學生感受標準變了，字母式也跟著發生變化，但字母式表示的三人座位號之間的關系是不變的。第二道習題是根據所提供的信息寫出幾個含有字母的式子，并說說式子所表示的意思，也有三點思考：一是促進學生靈活地運用字母表示數，培養學生的符號意識；二是通過“夠”與“不夠”情況下語言表述的不同，培養學生全面思考問題的思維能力，以及用準確的數學語言進行表達的能力；三是通過5c可以表示生活中哪些具體的問題，組織學生將已經建構的5c模型還原為具體的數學直觀或可感的數學現實，使5c的數學模型得以擴充和提升，進一步深刻理解5c模型的本質。學生說出了多種用5c表示的具體生活問題，感受到生活情境變了，但是本質——數量之間的關系是不變的。在完成這兩道題過程中，學生的數學眼光、數學思維、數學語言都得到了培養。數學思維的全面性促進了數學語言的表達，對數學語言的準確程度的錘煉又進一步加強了數學思維的嚴密性，提升了思維品質。

四、反思中再生疑——“問”中深思

師：回顧這一節課，你還有什么疑問？

生1：是不是每個國家都是用字母來表示數的？有沒有什么不同呢？

生2： 是不是所有的字母都可以用來表示數？

生3：字母可以表示負數嗎？

……

解讀：問題意識是學生創新能力培養的關鍵。作為教師，教師應該在課堂中有意識地多讓學生提出問題。回顧反思階段，教師可以在學生梳理本節課的學習收獲后讓學生提出疑問。一是學生基于自己的學習所提出的疑問，是學生迫切想了解的，學生思考研究更為積極主動；二是促進學生在回顧梳理所學知識的過程中反思自己還有哪些不清楚的地方，啟發自己和其他學生繼續思考，讓學生對知識的理解向深層次發展；三是促使學生課后積極主動地通過查資料、請教他人、交流討論的方法繼續深入思考，課中與課后融為一體，課已盡，思未盡。