圖形表征：培養學生數學運算素養的有效途徑

陳姍姍

摘要：圖形表征所具有的直觀性使得其在表征數學對象中具有無可替代的優勢.因此，可以借助圖形表征，如實數軸、Venn圖、象限角和坐標軸等，幫助學生明確運算對象、掌握運算法則、優化運算過程、設計運算程序，從而正確求出運算結果.

關鍵詞：圖形表征；數學運算；集合

基金項目：廣東省教育科學規劃2022年度中小學教師教育科研能力提升計劃項目一般課題——基于數學表征的高中生運算素養培養實踐研究（2022YQJK554）.

數學運算素養的培養是一個常談常新的問題，更是讓師生頭疼的問題.影響學生數學運算能力的因素有很多，且難以構建行之有效的問題解決策略.圖形表征是指用具有一定結構的直觀圖形（如小棒圖、數軸圖、線段圖等）表示數量或數量關系.由于圖形表征的直觀性，使得其在表征數學對象中具有無可替代的優勢.

集合知識在高中數學中屬于預備知識，雖然在教材中所占篇幅較少，但是在后續的學習中卻發揮了重要的作用.然而，部分學生卻在理解集合的概念、梳理集合間的基本關系，以及進行集合的基本運算時感到困難，這會影響學生之后的數學學習.事實上，無論是集合的概念、集合間的基本關系，還是集合的交、并、補運算，都可以轉化為圖形的形式進行探究.例如，實數的集合可以用數軸呈現，點的集合可以用坐標軸呈現，角的集合可以用象限角呈現，集合的交、并、補運算則可以用Venn圖呈現.通過圖形可以實現明確運算對象、掌握運算法則、優化運算過程、設計運算程序的目的，從而促使學生快速、準確地求出運算結果.

一、實數軸：理解概念本質，明確運算對象

集合間的關系確定和集合運算離不開數軸，但是剛進入高中的學生用圖意識還不強烈，解題思維還停留在純粹的代數運算上.高中階段數形結合思想的滲透最初就是從數軸開始的，而數軸的畫法也是所有圖形中最簡單的.從簡單的圖形入手，培養學生的識圖和作圖意識，是有效開展后續數學教學的重要保障.圖形所具有的直觀性是文字和符號無法替代的，尤其在新定義運算中，陌生的表述會讓學生不知所措，不能理解概念，無法明確運算對象，但是通過數形結合的方式則可以促進學生對題意的有效理解.

由于實數與數軸上的點存在一一對應關系，故數的問題可以轉化為數軸的問題進行解決.利用數軸可以幫助學生清晰地理解新定義的符號的含義，明確運算對象的本質.對于剛接觸高中數學的學生而言，數形結合主要體現在與數軸、Venn圖和二次函數的圖象有關的內容上，教師在授課時要注意強化圖形的應用，幫助學生掌握數形結合思想.

二、Venn圖：明晰求解目標，掌握運算法則

函數運算、向量運算或數列運算都與加、減、乘、除四則運算緊密相連，而集合運算主要反映的是集合間的基本關系，這是集合運算與其他運算之間最大的區別.在一些復雜的集合情境中，學生很難利用列舉法或描述法解決問題.而借助Venn圖則可以清晰、直觀地表示集合間的關系，尤其對于集合間的交、并、補運算，Venn圖更是展現了巨大的優勢.

例2某班45名學生參加植樹節活動，每名學生都參加了除草、植樹兩項勞動.依據勞動表現，將學生評定為“優秀”“合格”2個等級，結果如表1所示.

若在兩個項目中都被評定為“合格”的學生最多有10人，則在兩個項目中都被評定為“優秀”的人數最多為（）.

（A）5（B）10（C）15（D）20

分析：此題的求解目標是求在兩個項目中都被評定為“優秀”的人數的最大值.與常規的集合運算問題不同，這是一道求最值問題，較為少見.利用Venn圖可以清晰地表示在兩個項目中都被評定為“優秀”的人數和在兩個項目中都被評定為“合格”的人數之間的關系，進而有效解決問題.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中對集合的基本運算提出以下要求：（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集；（3）能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.由此不難看出，借助Venn圖解決集合運算是學生應該掌握的基本技能.借助Venn圖，學生能夠直觀理解集合間的基本關系，根據集合間的關系明晰求解目標，進而掌握集合的運算法則.

三、象限角：避免分類討論，優化運算過程

解無定法，源于觀察.對于此題，也可以從代數運算的角度進行分析，此時則需要對k的取值進行分類討論，進而將集合N中的角的表示化成與集合M中的角的表示相近的形式.

分類討論是學生在高中數學學習過程中需要掌握的重要思想，也是學生理解的難點.而對奇、偶數的分類討論更是一個難點，部分學生會出現理解上的困難.因此，要盡量避免分類討論，這是簡化數學運算過程的一個重要途徑.既然是象限角，不妨利用坐標軸畫出兩個集合所表示的角，集合M表示的角的終邊落在坐標軸和第一、三象限的角平分線上（如圖3）；集合N表示的角的終邊落在坐標軸以及第一、三象限和第二、四象限的角平分線上（如圖4），由此可以快速確定答案.

通過作圖分析，在避免分類討論的同時提高了解題效率，極大簡化了運算過程.因此，教師在教學過程中要注意數形結合思想的滲透，強化學生的作圖意識.

四、坐標軸：轉換問題視角，設計運算程序

以函數為載體的數學問題是教學中的重點也是難點，學生往往基于代數運算的角度理解函數，而缺乏數形結合的轉換意識，尤其是對于比較抽象或復雜的運算，如果僅從代數運算的角度進行求解，會出現較為復雜的運算程序.因此，借助圖形表征轉換問題視角，不僅有利于提高運算的正確率，而且有利于設計簡潔、科學的運算程序.

根據題意，可知以原點為起點，以圖象上的點為終點的兩個向量互相垂直，簡單理解就是圖象上總能夠找到兩個以原點為起點的向量互相垂直，即以原點為起點且互相垂直的兩個向量的終點落在函數圖象上.而兩坐標軸上的點剛好滿足以原點為起點，且互相垂直.因此，互相垂直的向量可以借助兩個坐標軸呈現，然后旋轉兩個坐標軸，探究兩個坐標軸與圖象的交點情況.如果將兩個坐標進行旋轉，當圖象上任意一點落在一個坐標軸上時，一定有另外一個點落在另一個坐標軸上，則說明圖象對應的集合就是“互垂點集”.

故答案選BD.

經過兩次轉化問題的視角，即先轉化為向量的垂直問題，再轉換為圖象與兩個坐標軸交點的問題，將符號表征下的數學運算問題轉化成了對函數圖象和兩個坐標軸交點情況的判斷，優化了運算程序，同時加深了學生對新定義的理解.

五、結束語

章建躍教授認為，數學運算是有“技術成分”的，會算而且知道怎樣算更準更快，這是運算素養的基本要求.圖形表征的直觀性可以起到簡化數學運算的效果，如實數軸、Venn圖、象限角和坐標軸等，這些常見的數學圖形簡單易畫，如果靈活運用則能幫助學生明確運算對象、掌握運算法則、優化運算過程、設計運算程序，為培養學生的數學運算素養奠定扎實的基礎.

參考文獻：

[1]劉京莉，王倩，李佳，等.多元表征視域下揭示數學運算本質[J].中小學教師培訓，2017（7）：63-66.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.