重構學生經驗，貫通“四基”“四能”

鄭仲義

摘要：以“數列的函數觀——數列最值的求解”一課為例，開展基于學生主體數學經驗的教學活動，重構學生主體的數學經驗，促使學生形成良好的知識結構，以函數的眼光看數列問題，以函數的思維思考數列問題，以函數的語言表達數列問題，貫通“四基”“四能”，促進數學核心素養的培養.

關鍵詞：主體經驗；重構；數列

一、背景描述

為落實數學核心素養的培育，體現學科的育人價值和育人功能，進一步優化教學過程，提升教學質量，復旦大學附屬中學于2022年11月22日至12月15日開展了以“貫通·建構·再生”為主題的高中教學多維探索實踐活動.“數列的函數觀——數列最值的求解”是筆者在活動中執教的一節高三復習課.通過對典型例題的探究，帶領學生嘗試用函數的觀點思考數列問題，并利用數列的函數特征解決數列的最值問題.

二、主題貫通，基于新課程重視學生的主體經驗

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出，數列是一類特殊的函數，可以幫助學生感受數列與函數的共性和差異，體會數學的整體性.能用函數的觀點看待數列、用函數的方法研究數列是學生能力的表現.

“函數思想方法在數列中的應用”是高三復習的一個重要專題，通常分為以下三個環節.

環節1：引導學生對等差數列與一元一次函數進行比較，發現兩者之間的區別與聯系.

環節2：引導學生對等比數列和指數函數進行比較，發現兩者之間的區別與聯系.

環節3：在一般情形下，研究數列與函數之間的區別與聯系.

但這樣的過程暴露出設計之初認為數列與函數是分割的，忽視了學生的主體意識和經驗，沒有充分利用學生對數學解題的認識和體驗.

在復習數列之前，學生已經復習了函數的相關知識，有了對基本初等函數研究的直接經驗，具備借助圖象直觀獲得解題思路的能力.對于數列的單調性、最小項、最大項，學生在高一和高二的學習中已經有過研究，但是對整個主題缺乏系統、連貫地學習.在數列的學習過程中，學生會發現數列的某些概念和性質與函數的某些概念和性質有相似之處，同時會發現兩者存在一些本質上的差異，但是對數列與函數的概念和性質的區別與聯系的認識還有一些不足，容易造成一些不必要的錯誤.

學生在此基礎上進一步展開學習，需要教師從函數主題的角度精心設計問題，引導學生思考、分析數列與函數在概念和性質方面的差異，體會數學學習的整體性，逐步建構函數主題的知識框架，使函數主題知識“整體化”.同時，從復習活動經驗中形成求解數列最值問題的一般思路和方法，以及一般流程，并為今后研究其他數列的性質作示范.通過該問題的研究，可以促進學生更好地理解數列與函數的聯系與區別，發展學生的邏輯推理和直觀想象等素養.

三、內容建構，基于新教材設置學生主體經驗

教材是知識和能力的載體，教材中的例題和習題大多數具有較強的基礎性.在實際教學中，教師應該遵循“用教材教”而不是“教教材”的原則，充分挖掘教材中例題和習題的潛在功能，引導學生向更廣范圍、更深層次聯想和引申，促進知識的融會貫通，獲得解題能力和思維能力的提高.

本節課在例題與習題的選擇上，探索了以最小的量承載基礎知識、基本技能、基本方法和數學思想，同時引導學生掌握重點、突破難點，感悟數列與函數的聯系與區別.

例1改編自滬教版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）選擇性必修第一冊第163頁復習題A組第7題；例2能體現以圖象為工具，將數列問題直觀化；例3改編自教材選擇性必修第一冊第149頁習題4.3A組第4題，體現了以函數的性質為手段，轉化數列問題.例3的源題，體現了練習題對學生數學運算和演繹推理等綜合素養的培養.結合本節課的教學重點和難點，以及有限的課堂教學時間，筆者將其改編成例3的第（1）小題，簡化了代數運算，第（2）小題是逆向變式，第（3）小題凸顯離散性，拓展了教材內容.

由兩條線索串起三道例題：顯性線索是最值項的求解；隱性線索是單調性的判斷.圖象和運算是解釋函數的基本方法，據此選定例2和例3，其中例3屬于一題多變.從圖象上看，三道例題都是恰有一個拐點的函數問題.求解這類問題的一般性方法是：判斷單調區間，在極值點附近找最值，便于學生在變的現象中發現不變的本質.

四、課堂再生，重構學生主體經驗

數學教學的目的之一是幫助學生形成可利用的、可辨別的和穩定的認知結構.學生良好認知結構的形成有賴于教師對數學知識結構的整體認知，以及組織合理的教學結構.本節課的引言就是要引導學生從函數最基本、最原始的角度去認識數列，讓學生感悟數列與函數之間的聯系.

1.引入函數觀，提取學生經驗

引言：有人說數列是特殊的函數，大家知道是為什么嗎？其實，數列能被看成函數，是由數列的定義決定的.

讓學生回答什么是函數，教師進行補充評價：我們學習數列的過程也類似于函數，函數的表示方法包括列表法、圖象法和解析式法.那么，數列如何表示呢？

【設計意圖】通過設問及展示數列知識結構圖（略），讓學生對數列與函數的相關知識結構在思維上形成對比.幫助學生建立數列的整體知識結構，并納入學生的認知體系.

【設計意圖】執教班級學生的學習起點較低，因此要充分尊重學生的認知水平，為不同層次的學生提供學習條件.學生得出答案并不難，重點是引導學生體會數列函數觀點的實踐是有學習經驗的.教師通過點評學生的解答，引導學生從Sn，an的求解，以及圖象和等差數列性質的應用等多角度思考問題，提煉出二次函數、一次函數，以及它們的圖象與等差數列的聯系.從形的角度來看，Sn是過原點的二次函數，an是一條直線；從代數角度來看，可以求出d，判斷單調性.這樣的處理方式既來源于學生的已有經驗，又逐步展示了數列與函數之間的聯系，拓展了學生思考問題的維度.

學習的本質就是找出新知與學生已知的內容的聯系，以及信息和經驗的聯系.通過研究特殊數列的問題，既可以鞏固有關的概念和方法，又可以利用函數觀點來研究數列問題，促使學生感受數列與函數之間的聯系.

3.立足“三會”，重構學生經驗

《標準》要求學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.當學生的經驗得到拓展并沉浸在成功的喜悅中時，引導學生運用函數觀點去分析數列問題是自洽的，而不是機械的.用函數圖象直觀求最值源自學生的已有經驗，將其運用到數列問題的解決中是對學生已有經驗的拓展和重塑，同時可以促進學生知識和能力的發展.

4.“異類”經驗，提供學生選擇的經驗

在對學生的經驗進行拓展時，也出現了“異類”經驗.因為對函數求導后，根據導函數的正負判斷單調性非常便捷，學生很喜歡使用，但用得不當，甚至錯用.有的學生對數列直接求導來判斷數列的單調性.從認知心理學的角度來看，學生未能把函數的知識結構重組和改善，導致學習表面化、形式化.

導數是研究函數性質的基本工具，在函數主線中，單調性與導數是兩個核心的內容.不僅自身重要，而且要建立起與其他相關內容的聯系，才能有效提升學生的數學核心素養和思維品質.結合教材選擇性必修第二冊第16頁例10，以及第15頁導數的運算法則，確定對本班學生而言使用導數判斷函數的單調性的方法求解此題是適宜的.

【設計意圖】用函數的觀點研究數列及其與函數的聯系與區別，進一步感受數列與函數的共性與差異.

師：與例1和例2不同，例3不是學過的基本初等函數，這個數列的圖象暫時畫不出來，可以先分析性質.函數的最大值或者最小值通常與函數的什么性質有關？（學生回答：單調性.）

師：我們能判斷出這個數列的單調性嗎？或者能判斷這個數列對應的函數的單調性嗎？嘗試作出草圖.

生2：對于第（1）小題，可以作商比較，判斷前后項的比值與1的大小關系.

師：比較相鄰兩項的大小是研究數列單調性的基本方法，這使得數列單調性的判斷比函數單調性的判斷更簡單.按照通項公式的特點，我們還可以具體分為作差比較和作商比較兩種方法.

很多學生喜歡用導數解決與函數最值、單調性有關的問題，基于此，教師提出問題：是否可以借助數列對應的函數的單調性進行判斷？

生3講解解題思路后，教師進行小結：借助函數的導數判斷函數的單調性是一種通用、便捷的方法.可以根據數列的特性，選擇適當的函數和方法.

師：這里體現了不能將數列完全等同于函數.大家是否感受到了函數的最大值、最小值與數列的最大項、最小項的區別？

生5：數列取最值項時n是正整數，而函數取最值時對應的x值不一定是正整數.

第（3）小題的目的是限制構造函數求導的方法，讓學生體會數列與函數的區別，回歸數列最值問題的數列處理方法.

五、教學思考

首先，“四基”是培養學生數學核心素養的沃土，是發展學生數學核心素養的有效載體.教學中要引導學生理解基礎知識，掌握基本技能，感悟基本數學思想，積累基本數學活動經驗，促進學生數學核心素養的不斷發展.教學設計要結合教學任務設計契合學生已有學習經驗的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言、模型描述問題，用數學的思想、方法解決問題.在問題解決的全過程中，理解數學內容的本質，促進學生數學核心素養的發展.

本節課的例題源于教材，在展開教學的過程中不斷變更問題的思維角度，變換問題的條件和結論，以實現本節課的教學目標.讓學生通過數列與函數知識的整合，重新構建與內化解題策略，促使思維能力提升.

其次，數學核心素養生成的過程是數學知識、技能被學生逐步感受和理解，進而深化和內化為學生自身的品格和能力的過程，其中情感、態度和價值觀要依靠學生自身長期的體悟、認識和實踐才能獲得.重視教、重視學，促進學生學會學習是核心素養發展的重要途徑.

教學是一個持續不斷地提出問題和解決問題的過程，思維從問題開始，又形成新的問題，對學生來說是一個通過問題學解題的過程.在實際教學過程中，提出“有人說數列是特殊的函數，大家知道原因嗎？”自然重溫函數的定義，加強概念教育；“你能用別的方法求解嗎？”讓學生回顧等差數列的求和公式、圖象和通項公式，引發學生在原有的認知基礎上探究一題多解，實現優化運算，揭示數列與函數在圖象、性質上的聯系；“函數問題我們常會怎么去思考？”引發學生從圖形角度思考例2；“與例1和例2不同，例3不是學過的基本初等函數，這個數列的圖象暫時畫不出來”引發學生思維沖突，同時促進啟發性問題的提出；“函數的最大值或者最小值通常與函數的什么性質有關？”指向明確，促進學生的思維有序深入，引領學生探究，發揮了學生的主動性，提高了復習效率.課堂上，學生經歷了由感性認知、感悟體驗逐漸深入到理性思維的過程.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

[3]上海市教育委員會教學研究室.上海市高中數學學科教學基本要求（試驗本）[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

[4]王海清，吳有昌.基于數學單元的整體教學探索與實踐：問題驅動的視角[J].數學通報，2022，61（3）：27-32，46.

[5]浦麗俐.大單元教學觀下的章末復習課教學思考：以“直線與方程”為例[J].數學通報，2022，61（2）：22-27.