基于復頻散曲線的周期排樁減振效應分析

彭東黎 ，王業順，陳曉斌

(1. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410083；2. 湖南交通職業技術學院 路橋工程學院，湖南 長沙，410132；3. 中南大學 教育部重載鐵路工程結構重點實驗室，湖南 長沙，410083)

隨著人類社會的發展，軌道交通得到了迅速發展，軌道交通運營引起的環境振動問題日益凸顯，對人類生產生活造成的危害也越來越嚴重，已經被列為七大環境公害之一[1-2]。一方面，長期被迫振動會對建筑物特別是對于一些古建筑物和實驗室里的精密儀器。另一方面，軌道交通引發的環境振動主頻較多集中在0～30 Hz 的低頻范圍內[3-4]，與人身體某些器官的固有頻率相當，兩者極易產生共振行為，從而影響人的身體健康，因此，隔絕軌道交通運營引起的環境振動意義重大[5-7]。在隔振方面，傳統隔振方法是通過改變建筑物材料的強度和剛度，或者改變結構的受力形式以提升建筑物自身的“硬扛”能力[8-9]。RICHART 等[10]利用新型圓孔樁來阻礙波的傳播，并開展了相關理論探討。WOODS等[11]提出用樁基礎進行減振，通過原位測試研究了樁基截面半徑對減振效果的影響。傳統隔振方式無法重復發揮排樁隔振優勢，隔振針對性較弱。近年來，隨著聲子晶體理論[11]的發展，學者們將排樁等效為聲子晶體(如圖1 所示)，對周期性排樁的隔振特性進行了研究[12-15]，該隔振措施將傳統的“硬扛”方式轉變為“軟扛”。MARTíNEZ-SALA等[16]通過實驗證明了聲子晶體中衰減域的存在，并提出了BRAGG 散射隔振機理。LIU 等[17]通過橡膠、鉛球和樹脂基體構造了一種三組元的周期性結構，發現結構中單元體局域共振亦能產生衰減域，從而提出了聲子晶體的另一重要機理，即局域共振機理。隨著理論的逐漸成熟，越來越多的學者開始將聲子晶體技術用于樁基減振分析。ALAGOZ等[18]利用數值模擬分析了地震引起的表面波通過晶格長度達1 km 級的聲子晶體后產生的衰減。BR?Lé 等[19]通過現場實驗，驗證了振動通過排樁后的衰減效應，并將排樁與樁周土體等效為聲子晶體，對其原理進行了分析。YAN 等[20]基于聲子晶體技術，設計了由混凝土-橡膠-鐵塊構成的具有低頻帶隙的建筑基礎，隨后，通過現場實驗驗證了此設計的有效性。HUANG等[21]設計了一種等效于一維聲子晶體的周期性成層結構，研究了其對表面波傳播的阻礙作用，并以鐵路交通引起的振動為例進行了數值模擬分析。

圖1 周期排樁隔振示意圖Fig. 1 Schematic diagram of vibration isolation of pile barriers

基于聲子晶體技術的周期排樁隔振方法具有特殊的隔振效果，已取得較多研究成果。然而，以往研究中較多依賴于頻散曲線分析，而該方法并不能精確地揭示波在結構中的衰減規律[22]。其次，當前研究極少考慮阻尼對隔振性能的影響。本文針對低頻軌道交通隔振危害，提出一種局域共振型多層樁結構，并在考慮材料阻尼屬性基礎上，通過提取復頻散曲線中的最小虛部值來定量研究周期性多層樁隔振性能。

1 基本理論

1.1 復頻散計算公式推導

假定材料是連續各向同性介質，具有完全線彈性，且無初始應力，可以借助聲子晶體技術來研究排樁減振[23]，建立如下波動方程：

式中：uj(r)(j=x，y，z)為位移矢量；ρ(r)為材料密度；λ(r)和μ(r)為拉梅常數；?為哈密頓算子；r為位置。假定彈性波為平面簡諧波，振動方程可以表示為

根據Floquet-Bloch定理可得

在二維非均勻介質中，根據彈性波傳播方式，解耦為平面混合模態和反平面剪切模態。以彈性波在正方晶格傳播為例，其第一不可約布里淵區為三角形，如圖2中ΓXM區域，a為晶格常數。平面混合模態位移矢量在x-y平面內，與z無關；反平面剪切模態位移矢量只與z有關。以平面混合模態為例開展研究(反平面剪切模態可以通過同樣的方式展開研究)，的偏導數均為0，將式(4)代入式(3)，并分別在x和y方向展開，可得：

圖2 第一不可約布里淵區Fig. 2 The first irreducible Brillouin zone

式中：Λ=-ik；θ為波矢k與x軸的夾角；λ=λ(r)；

據(5)和式(6)，當給定頻率ω后，可以計算對應的特征波矢，進而獲取k-ω之間的復頻散關系。本文θ取0°，僅研究Γ-X方向的復頻散曲線，其他方向復頻散曲線可以通過調整θ進行求解。

1.2 PDE系數

選用有限元軟件COMSOL 中PDE 模塊計算式(5)和式(6)中的特征波矢。PDE模塊控制方程為

其中：為需要求解的特征值；ea、da、c、α、γ、β和f為待定系數。

通過對比式(5)和式(6)，可求得COMSOL 中PDE控制方程非零系數如下：

1.3 數值驗證

通過對比頻散曲線和復頻散曲線的差異性來驗證復頻散曲線計算方法的正確性，并創建了二維十字空腔模型，如圖3(a)所示。十字空腔模型由均勻土體構成，晶格常數a=2 m，中間存在1個十字形空腔(b=0.6 m，c=0.4 m)。該類結構因容易產生較寬的帶隙，也與工程中溝壑減振結構十分類似。本文通過計算十字空腔模型的頻散曲線和復頻散曲線，來驗證復頻散計算公式的可靠性和精確性。

圖3 十字空腔模型及復頻散曲線Fig. 3 Cross-cavity models and its complex band curves

在不考慮材料阻尼的情況下，即阻尼比為0，所得頻散曲線如圖3(b)所示。從圖3(b)可見：在十字空腔的頻散曲線圖中，在46.1～71.0 Hz之間存在1個寬帶隙，表明該帶隙頻率段的任何波均不能傳播。然而，實際上，完全被衰減的現象是不存在的，這也是使用頻散曲線分析的缺陷。

對于同樣的模型，復頻散曲線圖如圖3(c)和圖3(d)所示，包括實部圖和虛部圖。其中，復頻散曲線圖的實部圖與頻散曲線圖在Γ-X方向表現一致，可以證明復頻散計算方法的正確性與可靠性。根據復頻散曲線圖特征，虛部圖能反映波在結構中傳播時的衰減特性，其中最小虛部值是衡量波在結構中傳播時的衰減幅度指標。圖3(d)中紅線代表最小虛部值所構成的衰減曲線，帶隙頻率段46.1～71.0 Hz 對應的衰減曲線從46.1 Hz 逐漸增加，到70.0 Hz 時達到峰值，隨后隨之減小。因此，相對于頻散曲線，復頻散曲線更具有研究價值。

2 復頻散分析

在實際工程中，巖土材料具有顯著的阻尼性質。由于頻散曲線不能考慮阻尼因素，因而，選擇復頻散曲線開展研究。利用阻尼比來衡量材料的阻尼，材料參數[24-25]取值如表1所示。

表1 材料參數Table 1 Material parameters

為考慮材料阻尼參數，本文彈性模量采用復模量形式[25]，如式(13)所示。

式中：E為材料彈性模量；ξ為阻尼比；i 為虛數；E′為阻尼材料的復模量。

由于復彈性模量本身并無實際物理意義，本文利用材料黏彈性與復彈性模量關系，來模擬材料的黏滯阻尼[26-27]。

2.1 純土模型復頻散分析

純土的晶胞模型及其復頻散曲線如圖4(a)所示。當晶格常數a=2 m時，純土模型的復頻散曲線如圖4(b)所示。對于純土而言，它的衰減曲線呈線性增大的。這種線性增大純粹是材料阻尼所致，但衰減值并不大，其主要原因是土的阻尼較小。所以，波在純土中傳播時，其衰減幅度會隨著頻率的增加而呈線性增加，但整體衰減值較小。

圖4 純土模型及其復頻散曲線Fig. 4 Pure soil models and its complex band structure

2.2 實心樁模型復頻散分析

常見的實心樁為圓柱形混凝土樁(如圖5(a)所示)，模型幾何參數為a=2 m，r=0.6 m。從圖5(b)可見：衰減曲線在0～90 Hz時呈現緩慢的線性增大趨勢；當頻率在90 Hz 以上時，衰減曲線明顯上升，并且在99.5 Hz 和122.0 Hz 時出現2 個頻域段的峰值。從圖5(c)可知：該結構的位移主要發生在土體中。由于波在結構中傳播時，土樁界面會使其發生反射，使得波在土中發生干擾并產生衰減，這意味著周期性實心樁的衰減機理是Bragg散射機理。當發生Bragg散射時，波長一般大于模型的晶胞常數a，而波長越大，對應的衰減頻域段也就越高。因此，實心樁很難對低頻的地震和軌道交通振動有很好的衰減效果。

2.3 多層樁模型復頻散分析

由于實心樁很難隔斷低頻振動，因此，本文基于局域共振機理，設計一種多層樁。多層樁復頻散曲線如圖6所示。從圖6(a)可見，多層樁由內往外分別是混凝土、橡膠和鋼。在混凝土樁和薄鋼板中加入橡膠，橡膠和混凝土之間較大的材料屬性差異更容易發生局域共振，同時，考慮到工程實際的應用，采用薄鋼板對橡膠可以起到一定的支撐和固定作用。這種多層樁結構能在不影響樁基承載性能的前提下，通過提升樁基內部材料差異性，產生局域共振，從而實現低頻減振效果。從圖6(b)可知當頻率為15.3 Hz 時，衰減曲線有明顯的增大。從圖6(c)可知，當頻率為15.3 Hz 時，位移主要發生在樁基中，意味著波的能量主要在樁基中因局域共振而被耗散。這表明基于局域共振機理設計的多層樁結構不僅具有工程承載性能，而且兼具低頻減振性能。

2.4 討論與分析

提取不同結構復頻散曲線中最小虛部曲線，如圖7所示。從圖7可知由材料阻尼引起的衰減在任何頻率下存在，并且頻率越高，材料阻尼引起的衰減越大，然而，相比于材料阻尼，模型因Bragg散射或局域共振引起的衰減要大得多。例如在120 Hz 時，實心樁的虛部為0.077 8，而純土的虛部為0.017 0，說明實心樁由于Bragg散射引起的衰減率是純土由于材料阻尼引起的衰減率的4.6倍；在峰值頻率為15.3 Hz 時，純土的虛部均大約為0.002 0，而多層樁的虛部為0.043 0，說明因為局域共振效應，多層樁衰減率是純土結構的21.5倍。

不同結構的最小虛部隨頻率的變化曲線如圖7所示。從圖7可知：可以產生布拉格散射的實心樁的主要衰減頻率約為100 Hz，而在低頻范圍內，實心樁的衰減性能與土壤的衰減性能無明顯差異；對于可以引起局部共振的多層樁，主衰減頻率可以低于20 Hz。通過調整多層樁的半徑或材質，相應的衰減頻率甚至可以達到10 Hz以下。

3 傳輸模型

建立1 個有限周期的傳輸模型，如圖8 所示，模型在x方向設立了8排樁，同時，為減少不合實際的散射波，在模型的兩端設置了完美匹配層。正弦波線振源設立于模型的左側，其中x方向上的線振源模擬壓縮波，y方向上的線振源模擬剪切波。本文采用x方向和y方向相等的振源幅值模擬壓縮波和剪切波的混合傳播形態。同時，不考慮波在y方向上的傳播，在模型的上下兩側添加周期邊界條件。

通過對比模型兩側計算的位移幅值，來判斷波在傳播中的衰減規律。衰減指標T定義式為[28]

式中：IA和IB分別是在監測線A和B的平均振幅。

由各結構傳輸模型計算得到的頻域響應函數曲線如圖9所示，其中，x軸為頻率，y軸為波的衰減值。與晶胞模型計算的復頻散曲線不同的是，這里的衰減值是通過2個區域振幅比值的對數來確定的，所以，衰減值為負數。衰減值越小表明波的衰減越大。各結構頻域響應曲線如圖9所示。從圖9可見純土僅靠材料阻尼對波的衰減是這3種結構中最不理想的；實心樁在120 Hz 左右的高頻具有良好的減振性能；多層樁結構在15 Hz左右的低頻具有良好的減振性能。對比圖7和圖9可知：復頻散虛部曲線與頻域響應曲線相似，驗證了復頻散理論的準確性，同時，其計算過程簡易且能夠揭示更多的模態，這是傳輸模型所不能達到的。

圖9 各結構頻域響應曲線Fig. 9 Frequency domain responses of each barriers

由于低頻振動難以被隔斷，因此，多層樁在實際隔振應用中的效果更好。不同排數多層樁的隔振響應曲線如圖10 所示。可知，不同排數的傳輸模型均因局域共振而在15.3 Hz 產生了較大的衰減，該頻率和復頻散計算方法所得的衰減峰值頻率極為接近，這表明無限周期模型的計算結果能很好地反映波在有限周期模型中的傳播特征。隨著多層樁排數量減少，15 Hz 左右的衰減明顯減小，其他頻率處衰減并不明顯。因此，排數對因為結構本身引起的衰減域有很重要的影響。當排數為4排時，結構能夠達到較好的衰減效果。

圖10 不同排數多層樁的頻域響應曲線Fig. 10 Frequency domain response curves of multi-layer piles with different rows

4 結論

1) 十字空腔結構的頻散和傳輸模型分析結果驗證了復頻散曲線計算方法的準確性和可靠性。復頻散計算方法中提取的衰減曲線能夠精準地對波傳播時的衰減特性進行量化。

2) 阻尼影響貫穿整個頻域范圍，頻率越高，阻尼影響越大。在周期結構衰減域內，波與波之間散射與衍射是造成振動衰減的主要原因，在其余頻率范圍內，阻尼是造成振動衰減的重要原因。

3) 與周期性實心樁相比，周期性多層樁可獲得很好的低頻隔振性能。在實際工程應用中，要達到良好的衰減性能，建議排樁排數超過4排。