數學探究讓思維之花綻放

基金項目：江蘇省教育科學“十三五”規劃立項課題“促進初中生數學建模素養發展的教學策略研究”（D/2020/02/349），江蘇省中小學教學研究第十三期立項課題“移動互聯時代提高初中生自主學習能力的實踐研究”（2019JK13-L314）.

作者簡介：林松（1974—），本科學歷，正高級教師，多次參加揚州市義務教育學業質量監測命題和中考命題工作，主持江蘇省第三、四、五屆鄉村骨干教師培育站工作.

[摘 要] 數學探究是一個學習過程，是學生獲取新知的一條有效途徑. 文章通過“定弦定角”模型的探究教學片段實錄和分析，說明在探究教學中教師一定要培養學生的問題意識，用問題引發學生積極思考;要加強師生共同合作，激發思維的碰撞，讓探究不斷深入;要促進知識建構，實現思維生長，讓思維之花競相綻放.

[關鍵詞] 問題;探究;猜想;推理;思維;變式;思維;最小值

數學探究就是“學生遇到某個數學問題或數學情境時，通過觀察、分析、推測數學事實，提出有意義的數學問題，并尋找、驗證數學事實及結論，給出相關規律或結論的解釋或證明，同時反思所得結論以期形成新問題”[1]. 因此，教師在探究教學中要培養學生的問題意識，用問題激發學生的探究欲望，引發學生思考，讓學生在探究中學習、反思、建構，促進學生創新思維意識和能力的發展，讓思維之花在課堂綻放. 下面以一節“定弦定角”模型的習題教學為例，談談筆者的實踐與思考.

教學片段實錄

習題呈現 如圖1所示，正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以點B為頂點作正方形BFGH，其中F，G兩點都在直線AE上，當點E到達點B時，F，G，H三點與點B重合. 則點H所經過的路徑長為____，點G所經過的路徑長為____.

教學過程

師：請大家閱讀題目，思考如何解決此問題.

學生讀題并動手畫出點E在不同位置的圖形（如圖2所示）. 學生直觀感覺到點H和點G所經過的路徑都是圓弧.

生1：我認為點H和點G所經過的路徑都是圓弧.

師：為什么點H所經過的路徑是圓弧？

生1：因為∠H為定角90°，BC為定弦，根據“定弦定角”模型可知，點H所經過的路徑是以BC為直徑的四分之一圓.

生2：生1說得不對！我們不知道C，G，H三點是否共線，所以不能確定圓周角∠CHB就是∠GHB.

師：有道理！那大家能證明C，G，H三點共線嗎？

生1：連接CG，證∠CGA=90°.

師：大家試試看！

學生嘗試證明，沒有人能證出∠CGA=90°.

生3：老師，能不能連接CH，證明∠CHB=90°？

師：你當然可以試試！

生3嘗試證明，發現不能證明∠CHB=90°.

教學分析 學生動手畫圖是一種實踐操作，它讓學生以實驗者的身份進行操作探究. 學生通過畫圖、觀察、歸納，發現點經過的路徑可能是圓弧. 這種從“實驗操作”到“歸納猜想”的經驗獲得非常重要，是科學探究的重要方法. 但僅有猜想還不夠，還需要科學的論證. 在以上教學活動中，“點經過的路徑是什么”是學生必須思考的問題，這一問題必然會引發學生思考，而當學生猜想可能是圓弧時，又必須面對如何進行科學論證這一問題.

一段時間后，生4舉手發言.

生4：剛才的兩種思路都不太好證明，我有一個新的思路. 延長HG交BC于點C′，利用“ASA”可證△ABF≌△C′BH，所以C′B=AB. 所以點C與點C′重合. 所以C，G，H三點共線（如圖3所示）.

師：非常好！這樣我們就可以判斷點H所經過的路徑是以BC為直徑的四分之一圓了. 那么，點G所經過的路徑為什么是圓弧呢？

生5：如圖2所示，因為在點E從點C到點B的運動過程中，∠AGC一直為90°，而∠AGC所對的線段為定線段AC，所以點G所經過的路徑是以AC為直徑的四分之一圓.

師：非常好！

教學分析 數學菲爾茨獎獲得者、著名數學家托姆提出：“數學的學習主要應是一個自發探究的過程. ”生4用“同一法”證明了“C，G，H三點共線”，生5在生4結論的基礎上，根據“定弦定角”模型判斷出“點G所經過的路徑是以AC為直徑的四分之一圓”，這兩個學生在實踐操作的基礎上，通過自發探究，從理性上論證了猜想的正確性.

師：大家還有什么考慮嗎？

生6：老師！我不需要證C，G，H三點共線，就可以判斷點G所經過的路徑是弧. 連接BG，則∠AGB=45°，在點E運動的過程中，∠AGB保持不變，所對的線段AB保持不變，根據“定弦定角”模型可以判斷點G在過A，B，C三點的圓上，且在從點C到點B這一段劣弧上（如圖4所示）.

<D：＼數學教學通訊中旬＼2023數學教學通訊中旬（12期）＼2023數學教學通訊中旬（12期） c＼12-136.tif>[圖4][B][D][C][E][A][F][G][H]

師：太棒了！過A，B，C三點的圓的直徑是不是就是線段AC？由此是不是可以判斷直徑AC所對的圓周角∠AGC為90°了？

生（齊）：是的！

師：這說明了什么？

生（齊）：C，G，H三點共線！

師：是的！這樣就用另一種方法說明了C，G，H三點共線.

教學分析 生6另辟蹊徑，用自己的方法判斷出點G在過A，B，C三點的圓上. 通過教師的引導，學生發現了另一種證明“C，G，H三點共線”的方法. 這些結論的探究會讓整個課堂充滿生機，活力四射，會讓學生的獲得感油然而生，會讓數學方法和結論不斷呈現.

師：大家還有什么思考嗎？（稍停）既然點H所經過的路徑是以BC為直徑的弧，那么BC的中點Q到點H的線段是不是半徑？

生（齊）：是！

師：那反過來，如果我們能證明BC的中點Q到點H的距離恒為BC，是不是也能說明點H所經過的路徑在以BC為直徑的☉Q上？

生（齊）：是！

師：請大家嘗試證明！

學生嘗試證明，生7板演如下：取AB的中點P，連接FP，QH. 易得PB=QB，∠PBF=∠QBH，FB=HB，所以△PBF≌△QBH. 所以QH=PF. 而在Rt△AFB中，因為P為AB的中點，所以PF=AB. 所以QH=BC. 所以點H在以BC的中點Q為圓心、BC的長為半徑的圓上（如圖5所示）.

師：完全正確！我們是否也可以同樣地思考點G的運動路徑問題？

生8：在Rt△ACG中，斜邊AC的中點O到點G的線段的長為AC，所以點G在以點O為圓心、AC的長為半徑的圓上（如圖6所示）.

師：回答正確！根據以上探究我們可以明確“點H和點G所經過的路徑都是圓弧”. 這就能很方便地求出相應的弧長了.

教學分析 《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.[2]”數學教學活動應經歷數學化、探究、再創造的過程. 從“猜想”到“論證”是一個順向的過程，通過這個過程，師生共同探究，根據“定弦定角”模型確定點運動的路徑是圓弧. 作為教師，不能止步于此，既然已經能夠證明運動路徑是圓弧，那是不是可以根據圓的定義來證明呢？因此，教師就此展開引導，拋出新的問題讓學生去思考并解決，讓探究在課堂中更加深入.

<D：＼數學教學通訊中旬＼2023數學教學通訊中旬（12期）＼2023數學教學通訊中旬（12期） c＼aa-1.jpg> 教學思考

1. 培養問題意識，引發積極思考

探究始于問題，學生探究學習的主動性和積極性主要源于一個個充滿疑問的問題. 亞里士多德說過：“思維是從疑問和驚奇開始的. ”因為疑問能使學生從心理上感到茫然，產生認知上的沖突，從而激發學生的探究欲望，促使學生積極思考. 因此，培養和強化學生的問題意識在探究教學中尤為重要，它是造就創新人才的關鍵. 在本案例教學中，學生閱讀題目后首先考慮的問題是“點經過的路徑是什么”，學生通過動手操作，猜想“點H和點G所經過的路徑都是圓弧”. 為什么是圓??？為什么點C，G，H三點共線？不證明三點共線是否可以判斷“點H和點G所經過的路徑都是圓弧”？……這一系列問題的出現讓學生的思維一下子活躍了起來，學生的探索熱情隨之迸發，于是他們立刻圍繞問題自主尋求或自主建構答案與理由.

問題意識是學生認識活動中意識到一些解決的、疑惑的問題時產生的一種懷疑、困惑、焦慮的心理狀態. 這種心理狀態使學生積極思維，不斷地提出問題和解決問題[3]. 教學中學生時刻會在心里產生新問題，也會思考不同的解決問題的方法. 教學中，因時間關系不可能一一讓學生進行展示，這時教師就要相機誘導，讓學生去探索和思考最有價值的問題. 例如，用證明BC的中點Q到點H的距離恒為BC來說明點H所經過的路徑在☉Q上. 這個問題學生可能一時想不到，但經過教師的點撥，學生會覺得這個問題很有意義，而且經過大家的共同努力，也確實證明了這一結論的正確性. 這樣的教學能有效地培養學生的問題意識，能讓學生充分體會到數學來源于問題，問題是數學的心臟.

2. 加強師生合作，激發思維碰撞

“水本無華，相蕩乃生漣漪;石本無火，相擊而生靈光. ”要想全面認識問題，僅憑個人的力量一時難以解決或不夠全面，此時需要師生合作探究，發現問題并提出問題，思考問題并解決問題. 在上述教學中，核心問題是研究點H和點G所經過的路徑是什么，師生通過“實驗操作—歸納猜想—驗證或證明”這一過程進行探索. 生1根據“定弦定角”判斷點H和點G所經過的路徑是圓弧，生2立刻提出反對意見，理由是“不知道C，G，H三點是否共線”. 在生4和生5的積極參與下，大家終于形成一致意見——點H和點G所經過的路徑都是圓弧. 生6則另辟蹊徑，用自己的方式判斷出點G在過A，B，C三點的圓上，同時也讓大家發現了另一種證明“C，G，H三點共線”的方法，讓探究進入高潮. 最后，作為課堂的組織者，教師又從另一個視角進行了引導——根據路徑是圓弧這一結論，讓學生從圓的定義角度去思考. 這種從“結論”找“方法”的思考，讓學生耳目一新，取得了非常好的探究效果. 在整個教學過程中，師生合作，并在教師的點撥和引導下，在學生獨立思考和互動的共同作用下，學生之間相互影響，探究不斷深入和拓展，學生的思維品質得到了提升. 課堂因師生的合作而生彩，思維之花競相綻放.

3. 促進知識建構，實現思維生長

知識不能急于拿給學生，而要讓學生經歷知識的探究與發現過程. 學生在知識建構過程中，可以經歷“特例→猜想→歸納→猜想一般結論→驗證或者證明一般結論”的過程，這些直接體驗能幫助學生形成良好的數學直觀，建構真正的數學理解. “定弦定角”問題是一類有固定解題思路和方法的數學問題，這類問題的解決建立在學生認真分析，通過“定弦定角”找“隱圓”的基礎之上. 當然，也可以反向思考，即想得出答案，就必須具備怎樣的條件，在猜想的基礎上一步步找出隱含條件，以解決問題. 所以我們探究教學的目的不僅要教探究活動的結果（答案），而且要呈現探究活動的必要過程——暴露數學探究的思維活動. 只有這樣，才能讓探究教學成為師生再發現與再創造的過程，才能讓學生在知識的建構中實現思維的不斷成長.

結語

數學教學的本質是“教學生學會思考”. 數學探究教學要積極培養學生的問題意識，要讓學生在情境中發現問題和提出問題，并利用觀察、猜想、實驗、推理、驗證等方法分析問題和解決問題;要充分發揮學生的主觀能動性，讓學生主動探索，放飛思維;在師生合作中，教師要點而不破，道而弗牽，讓學生用心去感悟，用自己的方式去思考. 數學教學要站在數學的學科價值高地，以數學學科的情懷去構筑數學思想方法及學生的活動經驗，讓學生自主探尋解決問題的路徑和方法，讓學生的思維之花競相綻放.

參考文獻：

[1]徐斌艷. 高中數學教材探究內容的分析指標體系及比較研究[J]. 課程·教材·教法，2012，32（10）：35-49.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]任恩剛，張衛蘋. 問題探究教學能力的培養[M]. 呼和浩特：內蒙古大學出版社，2009.