學材整體建構:聚焦核心素

基金項目：江蘇省教育科學“十三五”規劃初中專項重點資助課題——初中數學“學材再建構”研究（E—a/2016/06），江蘇省教育學會“十四五”教育科研規劃課題“核心素養視角下初中數學‘整體建構’研究”（21A06SXSZ118），蘇州市教育科學“十四五”規劃重點課題“指向學科育人的初中數學學材整體建構研究”（2021/C/01/004/05）.

作者簡介：戴秀琴（1979—），吳江區學科帶頭人，中學高級教師，從事初中數學教學研究工作.

[摘 要] 學材整體建構，就是幫助學生用整體的觀點來學習知識的“各部分”，同時在學習“部分”時又明確它在整體中的作用，即從整體上關注知識、方法、過程、思維、習慣等教學點，促使核心素養的培養進行整體規劃、逐步實現，從而將數學育人落實到位.

[關鍵詞] 整體建構;核心素養;數學育人;思維品質

2021年5月蘇州市青年教師優秀課評比在常熟舉辦，規定的比賽課題是“5. 1二次函數”（蘇科版《義務教育教科書·數學》九年級下冊），許多教師通過重構“學材”，很好地注重了學生數學核心素養，關注了數學育人. 筆者根據“學材再建構”操作要義，結合一些具體的課堂片段及“二次函數”的整體教學實施，談談數學課堂是如何發展數學核心素養并指向數學育人的.

課堂片段和評析

片段1

出示：“小球滾落”問題（書本章頭圖）.

提問：（1）距離s是時刻t的一次函數嗎？是反比例函數嗎？為什么？

（2）距離s與時刻t有什么樣的函數關系？

（3）投影展示課本中“水滴激起波紋”“圈養小兔”和“加工長方形鏡子”問題.

追問：以上三個函數表達式有何共同特征？……

評析 利用課本上的現實問題，引導學生建立二次函數模型，感受二次函數的意義和存在的廣泛性. 按照常規建構概念的套路（引導學生由多個具體的例子歸納概括一個定義的過程，即“多到一”的歸納概括過程），訓練了學生數學抽象和數學建模素養. 但對于已有一定知識、技能和方法的學生而言，更多的要訓練學生的遷移類比和邏輯推理素養. 顯然，“多到一”的歸納概括過程稚化了初三學生的思維，不利于優化學生的思維品質.

片段2

1. 判斷下列函數是否為二次函數，如果是，指出其中常數a，b，c的值.

c=2πr;y=-x（1-x）;y=;y=;y=2（x+1）2-2x2;s=πr2;y=-2x2+3x-1;y=mx2+nx+p.

2. 如果關于x的函數y=（m+1）·xm 2-3m-2+2是二次函數，求m的值.

評析 通過兩個小題將概念具體化，突出二次函數的一般形式中的條件“a≠0”，強化對二次函數的定義的認識，發展了思維的嚴密性.但第1題中“指出其中常數a，b，c的值”及第2題大可不必呈現，因為在學習一元二次方程時類似的問題都出現過，這里再次出現，顯然沖淡了二次函數的本質.

片段3

寫出下列各函數關系，并求出自變量的取值范圍.

1. 菱形的兩條對角線的和為26 cm ，求菱形的面積S（cm2）與一條角線長x（cm）之間的函數關系.

2. 體育用品店銷售一批運動服，零售價每件20元. 如果一次購買超過10件，那么每多購1套，所購運動服的單價降低6元，但單價不能低于150元. 現決定購買x（x>10）件，請寫出總售價y與x之間的函數關系式.

評析 通過例題，把實際問題數學化，感受二次函數是描述一類現實問題中數量關系之間的數學模型. 通過求自變量的取值范圍，讓學生明確“受到實際意義的限制”. 但是用配方法求“二次函數的最大值”讓學生無所適從，建議通過列表的方式讓學生嘗試尋找二次函數的最大值更為直觀.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性. 以上“片段”體現了設計者在“用教材”教的指引下，對“學材”進行了一定的再建構行為，對學生數學核心素養的提升或多或少有一定的積極作用. 但以上片段表明沒有把“5.1二次函數”這一棵“樹木”放在“函數”這片“森林”里，從而學生獲得的是更小的一棵“樹木”. 教師給學生的是“先森林，后樹木”還是“先樹木，后森林”，本無多大區別，但教師自己必須“先森林，后樹木”！這樣在“用教材”教的過程中，才能更多地考慮“知識的結構和體系”“局部知識與整體知識的關系”“感受數學的整體性”，更多地聚焦核心素養并且指向數學育人.

優秀范例和點評

與以上課堂教學片段相比，一等獎獲得者朱敏彥老師的課堂教學實踐，注重了知識的“生長點”與“延伸點”，對“學材”進行了適當的再建構，既給學生一顆“樹木”又給學生一片“森林”，較好地發展了學生的數學核心素養.

環節1：情境創設

問題：在長200 m、寬140 m的矩形綠地內修建等寬的十字形道路（如圖1所示）.

（1）小學里我們如何解決這個與圖形有關的計算問題？（將兩條小路分別平移到左邊和上面，如圖2所示）

（2）設道路寬為x（m），隨著x值的變化，圖中哪些量也隨之發生變化？這些量是道路寬x的函數嗎？是x的什么函數？

（3）分別設兩條道路重疊部分的周長為C（m），合在一起的綠地的邊長為l1（m）和l2（m），綠地總面積為S（m2），請分別寫出C，l1，l2，S與x之間的函數表達式.

（4）C，l1，l2是x的什么函數？

追問：什么是一次函數？正比例函數和一次函數有何關系？

強調：用自變量的一次式表示的函數就是一次函數，即形如y=kx+b（k≠0）的函數是一次函數;特別的，形如y=kx（k≠0）的函數，叫正比例函數. 正比例函數是特殊的一次函數.

點評 借助具體的情境回顧函數、一次函數等概念很有必要，一方面為二次函數的學習做好鋪墊，有利于學生能夠較順利地接受二次函數的概念等相關內容;另一方面可以反過來進一步深化對函數和一次函數的理解和掌握.

環節2：模型建構

師：對于S=x2-2x+28000，S是x的什么函數呢？（眾生：二次函數. ）

追問：為什么S是x的二次函數？

生1：用自變量的一次式表示的函數是一次函數，那么用自變量的二次式表示的函數就是二次函數. 所以S是x的二次函數.

生2：在S=x2-2x+28000中，若給定S一個具體的數值，那它就是一個一元二次方程. 這與一次函數和一元一次方程之間的聯系是一樣的.

師：同學們學得很扎實，尤其是能充分利用自己已有的知識經驗得到二次函數的定義. 二次函數和一次函數、反比例函數一樣，也是用來描述現實問題中數量關系的一種數學模型.

根據以上的交流，我們應該如何定義二次函數呢？什么樣的函數叫二次函數？

生3：用自變量的二次式表示的函數叫二次函數.

生4：一般地，形如y=ax2+bx+c的函數，叫二次函數.

點評 沒有按照常規套路，而是引導學生充分通過類比遷移進行理性推理，比較深刻地認識二次函數的本質屬性. 這樣的提煉、歸納得到的知識是深刻的、牢固的、合乎邏輯的發展結果，有利于學生學習素養和智慧的提升.

環節3：鞏固拓展

例1 下列函數中，哪些是二次函數？

y=6x2;y=+x2-x;y=x2-（x+1）2;y=x（7-x）;y=600-x2;y=mx2+px-1.

追問：（1）你是怎么判斷的？

（2）若x表示周長為14的矩形的一邊長，那么矩形的面積y就可以表示為y=x（7-x）. 對于其他二次函數，你能分別賦予它們一個實際背景嗎（用生活中的實例來描述）？

方式：學生先獨立思考，再在小組內交流，最后全班交流. 教師要求學生課后進一步交流包含二次函數的實例.

（3）因為二次函數是用自變量的二次整式表示的函數，因此二次函數y=ax2+bx+c的自變量取值可以是一切實數. 對以上賦予實際背景的二次函數，自變量的取值范圍分別是什么？

強調：如果二次函數的自變量表示實際問題中的某個數量時，那么它的取值范圍會受到實際意義的限制.

例2 小敏想在自家院子里用24 m長的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養小兔，一邊利用院墻（墻長16 m），如圖3所示. 設長方形生物園的一邊AB長為x（m），面積為S（m2）.

（1）寫出S與x之間的函數表達式及自變量x的取值范圍.

（2）若AB長為6 m，求S的值;若S=54 m2，求x的值.

（3）AB長為多少時，可以使長方形生物園的面積最大？

列表表示長方形生物園的面積隨AB的變化而變化的情況：

[x/m 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x/m2 ]

你能根據表格中數據的變化趨勢做出猜想嗎？

方式：在學生獨立思考的基礎上小組合作，最后全班交流展示. 對于第（3）小題，學生通過列表，不難發現面積的最大值及兩者之間的變化趨勢. 當學生回答“當AB增大時，S先增大再減小”后，教師隨手畫出圖形（如圖4所示）.

點評 通過例1的辨別，強化對二次函數本質的認識，同時適時、自然地將自變量取值范圍的討論融于其中;利用例2巧妙地進行二次函數的圖象、最值和增減性的滲透，用發展的觀點把學生帶到“最近發展區”，啟動了學生的積極思維，而且全面依靠學生自己探究解決. 學生在體驗分析問題、發現結論的探索過程中，直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學建模等素養都得到提升.

環節4 反思總結

圍繞以下問題引領學生思考回顧，并形成知識框圖如圖5所示.

對于二次函數，我們研究了哪些內容？怎么研究的？還要研究哪些內容？如何去研究？

點評 采用“問題化”引領學生對二次函數的定義從本質、方法和過程等方面進行總結，鼓勵學生從獲得知識、形成技能、發展能力等方面談談自己的收獲或體會. 這樣不但把握二次函數的實質，還能用語言刻畫思維過程. 同時，通過類比猜想“二次函數”的其他相關內容，促使學生將已知的內容很自然地遷移到未知的內容上去，不僅提升了學生的思維能力，激發了學生的學習積極性，而且促進了學生自主建構并良好優化的、富有彈性的“森林式”的認知結構，促進了學生的全面發展.

教學思考

1. “二次函數”蘊含的數學核心素養

從數學核心素養的角度來看，“二次函數”內容蘊含了數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學建模等核心素養，它們在發展學生思維能力和優化思維品質方面具有非常重要的價值.

二次函數作為現實生活中普遍存在的數學模型，應該集中起來研究其具有的本質特征，然后根據這些特征歸納出概念，即二次函數概念體系的建立可以培養學生對數學概念表征的抽象能力. 從數學知識之間的內在聯系看，二次函數概念體系的建立，需要以一次函數和一元二次方程為邏輯起點，基于一次函數的本質和一元二次方程，通過遷移類比，初步發展并建構相應的概念體系. 通過遷移聯想，引導學生自主搭建深入學習的支架，形成“拋物線平移”體系，從而培養學生邏輯推理素養.

在描點畫二次函數圖象的過程中，用運動變化的觀點，數形結合的思想，直觀而形象地感受到函數圖象的軸對稱性、圖象的變化趨勢及最高（低）點，強化了函數思想（式、數、形之間的內在聯系）. 用描點法畫二次函數圖象，引導學生觀察發現關于某條直線對稱的點的坐標之間的關系，想象出該直線是二次函數圖象的對稱軸;另外，從函數的視角出發，審視二次函數與方程（組）的關系，根據圖象，直觀地探索拋物線與直線的交點坐標，進而建立二次函數與方程（組）的內在聯系，很好地發展了幾何的直觀性.

二次函數是研究某些變量最優化問題的常用數學模型，教學中通過大量案例，從數量關系分析入手或從圖形中獲取有效信息，把實際問題數學化，進而求出最優解的全過程（如面積最大、利潤最大、能耗最小等）. 在建立二次函數這個數學模型的過程中，拓展了學生的數學知識，提升了數學能力，尤其是有效訓練了學生數學建模素養.

2. 在整體規劃中發展數學核心素養

核心素養的培養具有有序性、系統性、連貫性、整體性和結構性等特點. 這就要求“學材再建構”時遵循初中數學知識邏輯與學生認知規律，以構建學生結構性知識體系與能力發展價值體系為目的，促進學生的整體發展和素養提升[1]. 為此幫助學生用整體的觀點來學習知識的“各部分”，同時在學習“部分”時又明確它在整體中的作用，這對完善學生的認知結構有積極的作用. 即從整體上關注知識、方法、過程、思維、習慣等教學點，從而將數學育人落實到位.

知識、技能碎片化的教學方式，導致了思維和素養提升的碎片化或者得不到落實. 為了將數學核心素養的培養真正落實到課堂中，落實到“二次函數”教學中，重組教材，合理安排“二次函數”整章教學單元顯得尤為重要. 根據教材和課程標準，由學生學習的基礎條件，確定教學目標，并對“二次函數”整章教學進行“整體建構”和單元規劃. 具體可將整章分為三大教學單元：二次函數及其圖象和性質、二次函數與一元二次方程、實際問題和二次函數. 考慮到學生已有知識經驗及整體實現發展數學核心素養的目標，將“二次函數及其圖象和性質”這個大教學單元劃分為三個小教學單元，即二次函數及二次函數y=ax2的圖象和性質、拋物線y=ax2的平移、二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質[2].

特別地，將教材中“5.1 二次函數”和“5.2 二次函數的圖象和性質第1課時”合二為一作為一個教學小單元更為合理. 具體實施時，首先類比一次函數的定義研究二次函數的定義，從而節約研究時間，提高效率;其次二次函數y=ax2的圖象和性質，在研究圖象、性質的過程中，把重點放在強化“數形結合”思想上. 學生在深刻理解函數圖象及性質的本質，并掌握了研究方法的前提下，加快了研究進程，提高了學習效率. 顯然，這是注重了知識的結構和體系，有利于學生從整體上把握. 當然，這樣的過程尤其突出研究方法的引導，引導學生通過類比的方法自主研究，并通過“問題”引領學生積極思考，養成良好的思維習慣.

顯然，對“二次函數”整章教學進行“整體建構”和單元規劃，將相關教學點納入一個結構或框架中形成模塊化體系，學生收獲的不僅僅是數學知識，而是基于舊知生長新知的過程中，學習方法、學習方式、數學思想和活動經驗等都有收獲. 這樣，學生的理性思維、學科能力、人文素養、核心價值觀等都會得到同步發展，育人成效得到明顯體現. 這樣的再建構才有可能將核心素養的培養進行整體規劃、逐步實現.

參考文獻：

[1]施俊進. 基于“原有基礎”，引導“整體架構”，促進“協同發展”——“二次根式”教學實踐與反思[J]. 中學數學，2013（02）：4-7.

[2]施俊進. 學材再建構，在結構中教與學——以“一元二次方程”單元教學設計為例[J]. 中國數學教育，2018（Z3）：12-15.