聚焦專題選編題

作者簡介：胡君妍（1992—），本科學歷，中小學一級教師，從事初中數學教學工作.

[摘 要] 以等邊三角形為背景的補圖綜合題是一類高頻考題，文章選取一些相關考題并將其改編成3組“問題串”，開展專題教學，使得聚焦專題開展訓練. 教學過程中，教師要舍得花時間讓學生獨立思考、補全圖形，因為“補圖不準”，后續繼續求解則無意義.

[關鍵詞] 專題教學;等邊三角形;補圖問題;關鍵步驟

最近一次中考模擬練習時，學生對一道以等邊三角形為背景的補圖綜合題適應性不好. 為了做好講評工作，筆者選取等邊三角形為背景的多道綜合題，將其改編成3組“問題串”，研發成一節專題課，在學校備課組內集中開展了聽評課活動，取得較好的教學效果. 本文整理該課主要教學活動和設計意圖，提供課例研討.

活動1：在等邊三角形的內部

補圖探究

問題1 如圖1所示，在等邊三角形ABC中，D，E是BC邊上的兩個動點（不與B，C重合），點D在點E的左側，且AD=AE.

（1）請提出一個問題并解決，然后小組內交流;

（2）設點F在邊AC上，且CF=CE，點M為AE的中點，連接FM并延長交AB于點G，連接DF，DG. 依題意將圖1補全，猜想△DFG的形狀，并證明.

設計意圖 第（1）問是開放式問題，學生可能會提出“求證BD=CE”“求證∠BAD=∠CAE”之類具有對稱性的問題，其能促進學生對題干條件下的問題進行準確的理解. 解決第（2）問時，先讓學生獨立補圖，得到圖2后，再證明△DFG為等邊三角形. 如果學生沒有思路，教師要啟發學生由條件“CF=CE”想到輔助線“連接EF”，得到等邊三角形CEF，這對于后續證明“△AGM≌△EFM”起到了重要的作用. 接著，當得到AG=EF=FC=CE=BD之后，再證△DFG為等邊三角形就是之前教材上曾經練習過的一道基礎題了.

活動2：基于等邊三角形的補圖

與對稱最值探究

問題2 如圖3所示，△ABC是等邊三角形，D為BC邊的中點，點E在中線AD上運動（E不可取A點，可取D點），點E關于直線AC的對稱點是點F. 連接AF，EF，BF.

（1）在圖3中補全圖形，并證明△AEF是等邊三角形;

（2）當BF為最大值時，先找出點F，并連接AF，BF，BF與AC交于點P. 在AF上存在一點Q，使PQ+QC的值最小，比較該最小值與線段BP的大小;

（3）在邊AC上存在一點M，同時滿足BM-ME的值最大且BM+ME的值最小，請指出此時MC與AC的數量關系，并說明理由.

設計意圖 第（1）問是基礎題，學生容易補圖成圖4，能初步感知題干條件. 對于第（2）問，學生需要先分析出∠BAF是直角，△ABF是直角三角形，當斜邊BF最大時，AB為定長，則只需AF最大即可，而根據對稱性質，AF=AE，故當AE=AD時AF取得最大值，于是可構造出圖5. 再運用“光線的鏡面反射性質”（也稱“將軍飲馬”），在圖5的基礎上構造出圖6進行分析，PQ+QC的值最小時即PC′的長，結合對稱性質可得到圖6中△ACC′也是等邊三角形，從而PC′=BP. 第（3）問需要分步理解，先構造圖7分析，滿足BM-ME的值最大時，應該延長BE交AC于點M;而滿足BM+ME的值最小時點E關于AC的對稱點F. 連接BF交AC于點P，當P，M重合時同時滿足上述條件，即圖8的情形，此時點B，E，M，F四點在同一直線上，容易看出MC與AC的數量關系是AC=2MC.

活動3：圍繞等邊三角形的不同

位置關系補圖與求值問題

問題3 如圖9所示，△ABC為等邊三角形，過點A作AB的垂線l，點D在該垂線l上，連接CD，以CD為邊在其右側作等邊三角形CDE，連接AE，BD.

（1）在圖9中找出與△ACE全等的三角形，并說明理由;

（2）設AB=a，求△CDE的面積的最小值（用含a的式子表示）;

（3）若AD=，AE=. ①求△ABC的周長;②求△CDE的邊長.

設計意圖 第（1）問，在圖9中容易看出△BCD與△ACE全等. 第（2）問求△CDE的面積的最小值，想CD取得最小時，符合要求. 即過點C作CD⊥l，垂足為D. 此時CD=AC=a，相應地S的最小值為a2. 第（3）問需要考慮點D不同位置的圖形（如圖10、圖11所示）. 根據（1）中兩個三角形全等的解題進展，可得BD=AE=. 在Rt△ABD中（如圖10、圖11所示），都有BD2=AB2+AD2，可解得AB=2，即△ABC的周長為6. 如圖10所示，當點D在點A右邊時，過點C作CH⊥l于點H，由∠HAC=30°，可得CH=AC=，AH=AC=3，則DH=AH-AD=，在Rt△CDH中運用勾股定理可解出△CDE的邊長CD=;如圖11所示，當點D在點A左邊時，類似地可得CD=.

活動4：課堂小結

小結問題1：本課關注的等邊三角形綜合題探究，不少問題都需要先補全圖形，你在補圖過程中積累了哪些經驗？

小結問題2：以等邊三角形為背景的綜合題探究過程中，有時準確、快速識別出繁雜圖形中的特殊三角形，往往能快速打開思路. 你在本課學習時，哪道習題中的哪個特殊三角形形給你留下了較深的印象？說說你是如何理解的.

小結問題3：有些補圖問題如果忽略分類討論，則會漏解. 你覺得本課“問題3”中要想嚴謹解題，在閱讀題干條件時要重視哪些關鍵詞句？