關于“全等三角形”的教學探討

作者簡介：孫鍇（1989—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學與研究工作.

[摘 要] “全等三角形”這一章節的內容是幾何知識體系的重要組成部分，教學中，教師需要準確定位核心知識，圍繞知識重點合理設計教學環節，引導學生逐步感知、探索體驗，歸納總結，自然而然地完成知識生成，掌握定理. 文章圍繞“全等三角形”開展教學探討，針對學生的能力提升與素質培養提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 全等三角形;概念;生成

“全等三角形”是蘇教版八年級上冊的內容，是幾何知識體系構建的關鍵，教師需要引導學生掌握全等三角形的定義、性質、判定條件等內容. 本章節內容的探究性極強，教學中教師需要準確定位知識核心，合理設計教學環節，讓學生的知識與能力獲得同步提升，下面進行深入探討.

章節梳理中定位核心知識

“全等三角形”編排在教材的第十八章，課標從知識內容與情感能力上均對學生提出了要求. 教師需要在探究中引導學生梳理章節內容，開展知識定位，讓學生把握知識重點. 對于“全等三角形”，教學中教師要把握兩條主線，如圖1所示. “橫向主線”是關于全等三角形的“概念生成”到“實際應用”，而“縱向主線”是全等三角形的性質、定理串聯，是探究應用的重要思路. 教材采用主線交錯構建的方式，實現了概念與性質定理的融合. 這種編排方式是基于“教學生成”與“學生學情”的雙重考慮，同時為后續的探究教學提供了參考.

“橫向主線”以“全等形→全等三角形→解決問題”來展開，概念教學是重點，學生已經掌握了線段、角、相交線、平行線等與三角形相關的知識，這就為全等三角形的學習儲備了知識基礎. 教學中，教師需要引導學生關注生活中的全等，以全等圖形作為切入點，引導學生關注全等圖形的特征，并逐步過渡到全等三角形的概念，完成概念的生成，掌握全等三角形的相關知識，達到知識應用的效果，故“從生活中來，到生活中去”是該知識主線的核心.

“縱向主線”圍繞全等三角形的概念，將性質定理和判定定理串聯在一起，這是常見圖形關系探究的核心知識，對后續幾何知識的學習有借鑒作用. 在實際教學中，教師要立足概念，開展性質探究和判定定理探究，使學生掌握定理的基本證明過程，指導學生掌握基本的推理證明方法，提升學生的推理思維. 同時，其中隱含的“全等證明→性質推導”思路，對學生后續的探究解題有重要的參考意義.

基于上述章節知識剖析，教學中教師要將全等三角形的要素、性質特征作為重點，圍繞判定定理開展知識探究. 同時，探究過程要注重提升學生的探究能力，培養學生的幾何直觀，要讓學生養成主動探究、勤于思考的習慣.

探究活動中生成知識

“全等三角形”的概念、性質、定理是教學的重、難點，教學中建議教師采用活動探究、知識生成的方式，即引導學生參與探究活動，體驗探究過程，自然而然地領悟知識，掌握性質定理.

對于概念與性質教學，建議教師分“實踐觀察”和“變換探究”兩個階段，從生活中提取全等素材，讓學生觀察圖形，辨析特征，直觀感知全等，以此為基礎給出“全等”的概念. 同時利用圖形變換活動來引導學生深入體會全等三角形的性質.

1. 實踐觀察——感知概念

教學中教師可給出如圖2所示的生活圖案，讓學生指出圖案中形狀和大小相同的圖形，并進一步列舉生活中相似的圖形，從而引導學生感知生活中的“全等”. 在此基礎上，教師設置實踐活動，讓學生準備一張紙，先對折，再在紙上畫一個三角形，用剪刀將三角形剪下來，觀察兩個三角形的形狀和大小有何關系. 教學中，教師還要引導學生總結圖形的形狀、大小，從而引出圖形全等的概念，給出三角形全等的概念.

2. 變換探究——體會性質

在“變換探究”中，教師要引導學生從圖形平移、翻折、旋轉等視角直觀感知全等的性質，可設計側重圖形動態變換的活動. 教學時，教師可先從平移入手，演示三角形平移，即如圖3所示，平移△ABC，得到△DEF;再引導學生進行三角形翻折，即如圖4所示，在圖紙上任意作△ABC，將△ABC沿著直線AB翻折后得到△ABD;最后，可結合多媒體，動態展示△ABC繞著點B旋轉的過程，如圖5所示.

教學中，教師要引導學生實踐操作、觀察猜想，分析三角形平移、翻折、旋轉前后圖形的位置變換，形狀和大小變化，感知全等三角形. 同時，教師要引導學生關注三角形變換前后對應角和對應邊的大小關系. 以圖5的幾何旋轉為例，△A′BC′可視為是△ABC繞點B旋轉而來，教師要引導學生指出兩個三角形中的對應角和對應邊，同時可設置思考問題：如何證明∠A′BA=∠C′BC？

模型分析中訓練思維

在“全等三角形”的判定定理教學中，教師需要訓練學生的推理思維. 全等三角形的判定定理較多，主要有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，以及直角三角形的“HL”. 教學時教師需要關注兩點，一是使學生感知“S”與“A”的對應內容，二是掌握應用技巧. 從實踐應用、思維培養視角來看，立足幾何模型，開展思維訓練，更有利于學生掌握判定定理. 在實際教學中，教師可借助以下幾類模型進行探究指導.

1. 基本模型

基本模型，即常規的全等三角形模型，兩三角形的位置排布較為一般，不存在邊或角的重疊關系：如圖6所示，C是AE的中點，∠A=∠ECD，AB=CD，求證∠B=∠D.

該模型直觀呈現了兩三角形的三邊三角，教學中教師只需要引導學生梳理三個基本條件，根據條件來選取對應的判定定理，進而做出推理證明即可. 教學時，教師要注意引導學生建立“條件分析→全等證明→性質推理”的思維，規范過程.

2. “共邊”模型

“共邊”模型，即兩個全等三角形含有一組公共邊：如圖7所示，對于△ABC和△BAD，AC和BD相交于點E，已知AD=BC，∠DAB=∠CBA，求證AC=BD.

上述模型直接給出的相等要素為兩個，顯然無法直接證明兩個三角形全等，此時需要教師引導學生關注兩三角形的公共邊，即AB，這是隱含的關鍵條件. 進行推理證明時，教師要指導學生將該條件呈現在推理過程中，直觀呈現證明全等三角形的三大條件，進而由判定定理“SAS”完成推導過程.

3.“共角”模型

“共角”模型，即兩個三角形有一組公共角，所以這兩個三角形在位置上具有“疊放”的特點：如圖8所示，在△ADC和△ABE中，點B和點D分別在AC和AE上，且AB=AD，AC=AE，求證∠C=∠E.

該模型同樣隱含了條件，即公共角∠A，與兩個等線段條件相結合可證明△ADC與△ABE全等. 教學時教師要引導學生關注兩個三角形的共角特點，挖掘隱含條件，由判定定理“SAS”完成推導過程.

總之，利用常規的三角形全等模型開展思維訓練，要立足“全等證明→性質推導→應用判斷”的解析思路. 全等證明環節要充分把握定理，由定理構建全等，理清知識原理，逐步培養學生的解析思維.

圖形剖析中培養幾何直觀

幾何直觀在幾何問題解析中有著重要的作用，有利于學生理解圖形，發現特征，其也是幾何內容教學需要重點培養的核心素養. “全等三角形”的章節教學同樣需要注重對學生幾何直觀能力的培養. 教學中教師可從如下兩個方面來培養學生的幾何直觀能力：一是實踐操作聯想探究;二是利用輔助線分析問題.

在定理探究的實踐操作環節，教師可以培養學生的幾何直觀能力. 以三角形為基礎作平行四邊形為例，教學中教師先示范用圓規和直尺將三角形補成一個平行四邊形，接著引導學生辨析四邊形對角線所分割的兩個三角形的關系，把握“全等”這一特征. 在此基礎上引導學生思考其他作法. 以圖9為例，已知△ABC，請再找一個點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形. 教學時教師可按如下設問對學生進行思維引導.

設問1：請根據“對邊分別平行的四邊形為平行四邊形”這一定理思考確定點D的方法.

設問2：你還有哪些可以確定點D的方法？請說明理由.

設問3：觀察圖中三角形的特點，思考平行四邊形對角線所分割的兩個三角形是什么關系.

解幾何圖形時，利用輔助線分析問題，同樣是培養學生幾何直觀能力的重要方式. 所以教師在教學中要引導學生靈活運用輔助線思考問題，從而逐步提升思維.

以圖10所示的六邊形為例，已知∠B=∠E，AB=DE，BC=EF，CD=AF，求證：CD∥AF.

教學中教師要引導學生明確已知條件與待證結論，發現其中隱含的條件. 首先，教師要讓學生通過添加輔助線將隱含條件直觀呈現，即連接AC，DF，構建“證明△ABC≌△DEF→推導AC=DF→證明四邊形ACDF為平行四邊形→證明AC∥DF”的解析思路. 教學中，教師要鼓勵學生深度挖掘題目，利用輔助線構建已知與未知的聯系.

總之，“全等三角形”在幾何中有著重要的地位，相關知識、定理較多，教學時，教師要注意做到以下幾點：教學探究要梳理知識，準確定位內容;實踐探究要以知識生成的方式引導教學;要利用幾何模型訓練學生的思維，重視學生幾何直觀能力的培養.