實(shí)踐驗(yàn)證結(jié)論探

作者簡(jiǎn)介：趙向榮（1978—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

[摘 要] “三角形的內(nèi)角和”作為蘇科版七年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，與小學(xué)知識(shí)銜接緊密，其中的內(nèi)角和定理是幾何推理的重要依據(jù). 教學(xué)中教師要注重論證過程，設(shè)計(jì)豐富的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探究論證. 文章圍繞定理核心，開展說理論證，探討教學(xué)實(shí)踐.

[關(guān)鍵詞] 三角形;內(nèi)角和;定理;證明

三角形的內(nèi)角和是初中數(shù)學(xué)三角形部分的重要內(nèi)容，是后續(xù)角度推理、計(jì)算的依據(jù). 學(xué)生在小學(xué)階段通過觀察操作已經(jīng)了解到三角形的內(nèi)角和為180°，而初中階段教學(xué)的重點(diǎn)是探索證明三角形的內(nèi)角和定理，即引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到深層的理性認(rèn)識(shí). 因此教學(xué)的重點(diǎn)是關(guān)于定理的推理與證明過程，下面開展教學(xué)探討，探究活動(dòng)設(shè)計(jì).

設(shè)計(jì)豐富活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知

“三角形的內(nèi)角和”章節(jié)知識(shí)銜接了小學(xué)與初中知識(shí)，同時(shí)學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的相關(guān)知識(shí). 關(guān)于三角形的內(nèi)角和定理教學(xué)，教師可以從如下兩方面來引入：一是直接給出三角形，讓學(xué)生回顧三角形內(nèi)角和的度數(shù)，喚起舊知;二是展示實(shí)際問題，讓學(xué)生提出解題思路，具體如下.

1. 知識(shí)回顧，調(diào)動(dòng)舊知

如圖1所示，△ABC是我們所熟悉的三角形，那你們還記得三角形的內(nèi)角和是多少度嗎？

設(shè)問：對(duì)于三角形內(nèi)角和的結(jié)論，大家有哪些證明方式？

學(xué)生在小學(xué)階段通過裁剪、拼接得到了“三角形的內(nèi)角和為180°”這一結(jié)論，教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧此方法，通過小組討論，展示更多的拼接方法.

2. 實(shí)例引入，啟發(fā)思考

問題：如圖2所示，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).

設(shè)問：求∠ADB的度數(shù)時(shí)，具體的求解思路是什么？請(qǐng)說理理由.

教學(xué)引導(dǎo)：根據(jù)已知條件，我們可以得到，在△ADB中，∠B=75°，∠DAB=20°，所以需要借助三角形的內(nèi)角和來進(jìn)行計(jì)算. 此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考求解依據(jù)，從而引出三角形的內(nèi)角和知識(shí).

立足學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)構(gòu)建新知，喚醒學(xué)生的認(rèn)知，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究熱情. 在教學(xué)中，教師要注重說理引導(dǎo)，即讓學(xué)生思考如何證明，為后續(xù)的推理探究做鋪墊.

實(shí)踐探究說理，完成定理證明

三角形的內(nèi)角和定理是初中幾何重要的定理，對(duì)于定理的說理教學(xué)，建議教學(xué)時(shí)分三個(gè)階段來開展：第一階段，直觀的幾何感知;第二階段，實(shí)踐幾何體驗(yàn);第三階段，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀握撟C.

1. 直觀感知

“直觀感知”環(huán)節(jié)需要教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，初步做出判斷. 故教學(xué)中學(xué)生可借助量角器來測(cè)量角. 如教師給出如圖3所示的△ABC紙板，讓學(xué)生用量角器分別測(cè)量三個(gè)內(nèi)角，計(jì)算角度之和，并完成表1.

實(shí)際測(cè)量是驗(yàn)證三角形內(nèi)角和最為直接的方法，學(xué)生可直觀感知結(jié)論，但測(cè)量存在誤差，教學(xué)中教師要注意引導(dǎo)學(xué)生小組交流，共享結(jié)論并做出判斷.

2. 實(shí)踐體驗(yàn)

“實(shí)踐體驗(yàn)”環(huán)節(jié)可同樣借助紙板裁剪拼接的方式，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作來做出準(zhǔn)確的判斷. 當(dāng)然，學(xué)生拼圖的方式存在一定的差異，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比思考.

活動(dòng)：請(qǐng)將如圖3所示的△ABC的三個(gè)內(nèi)角撕下，然后將三個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)拼接在點(diǎn)B處.

設(shè)問：（1）所形成的新角的兩邊是否在同一條直線上？你有何猜想？（2）拼圖的本質(zhì)是什么？

實(shí)踐操作時(shí)，學(xué)生可能會(huì)拼出如圖4所示的兩種圖案. 教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注pvBjQ+rMOeWapGJbvMOBww==新角的兩邊在同一條直線上，故可驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°. 教師還可以讓學(xué)生在任意頂點(diǎn)處進(jìn)行拼接，從中獲得啟示. 此外，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注拼圖的本質(zhì)，即三角形內(nèi)角的等角轉(zhuǎn)移，在平面內(nèi)的同一點(diǎn)處構(gòu)成平角.

3. 嚴(yán)謹(jǐn)論證

“嚴(yán)謹(jǐn)論證”環(huán)節(jié)需要教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的公式定理、方法思路來加以證明. 該環(huán)節(jié)同樣需要依托上述裁剪拼接實(shí)驗(yàn)，通過作輔助線、設(shè)點(diǎn)的方式來構(gòu)建模型，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化. 故教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生作輔助線，把握?qǐng)D形的關(guān)鍵點(diǎn)，并進(jìn)行邏輯推理.

活動(dòng)：根據(jù)圖4來作輔助線，并設(shè)定新角的頂點(diǎn)，作出如圖5所示的數(shù)學(xué)模型. 思考圖5模型中有哪些等角，如何證明三角形的內(nèi)角和為180°.

教學(xué)時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生從拼圖中獲得等角關(guān)系，再借助模型中的平角推得結(jié)論. 基于圖4所示的兩種方案，學(xué)生可以得到對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形特征即可進(jìn)行證明. 教學(xué)時(shí)教師可針對(duì)圖5引導(dǎo)學(xué)生逐個(gè)分析.

證法1：如圖5①所示，過點(diǎn)B作AC的平行線EF. 因?yàn)锳C∥EF，所以∠CBF=∠C，∠ABE=∠A. 因?yàn)椤螩BF+∠ABC+∠ABE=∠EBF=180°，所以∠C+∠ABC+∠A=180°，即△ABC的內(nèi)角和為180°.

證法2：如圖5②所示，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，再過點(diǎn)B作BF∥AC. 已知BF∥AC，所以∠CBF=∠C，∠FBE=∠A. 因?yàn)椤螦BC+∠CBF+∠FBE=∠ABE=180°，所以∠ABC+∠C+∠A=180°，即△ABC的內(nèi)角和為180°.

上述針對(duì)剪裁拼接構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型，利用幾何的分析方法和思路構(gòu)建了證明過程，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注過程中的邏輯關(guān)系和推理步驟，即由“圖案”抽象“模型”，由“特性”提取“條件”，由“已知”推導(dǎo)“未知”，過程分析要有理有據(jù).

以上述“證法2”的推理過程為例，教師要讓學(xué)生針對(duì)每一步進(jìn)行說理，使學(xué)生充分理解其中的數(shù)理邏輯.

第一步，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，再過點(diǎn)B作BF∥AC——作圖過程.

第二步，已知BF∥AC——作圖所得.

第三步，可得∠CBF=∠C——兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;∠FBE=∠A——兩直線平行，同位角相等.

第四步，因?yàn)椤螦BC+∠CBF+∠FBE=∠ABE=180°——平角的定義.

第五步，所以∠ABC+∠C+∠A=180°——等量代換.

開展多樣實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)結(jié)論一般化

三角形的內(nèi)角和定理是幾何中的重要定理之一，在前面的教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過拼圖推理完成了證明，但從探究過程來看，并不具有一般性，學(xué)生很容易產(chǎn)生“是否其他三角形的內(nèi)角和不符合180°”“三角形中邊的長(zhǎng)度變化是否會(huì)影響其內(nèi)角和”等疑惑. 故實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師有必要設(shè)計(jì)豐富的探索活動(dòng)，讓學(xué)生深入感悟三角形的內(nèi)角和定理. 實(shí)踐教學(xué)時(shí)建議教師從如下兩方面來進(jìn)行探究：一是對(duì)三角形進(jìn)行拼接組合;二是改變?nèi)切沃羞叺拈L(zhǎng)度.

1. 疊圖組合，一般性探究

活動(dòng)：將一張長(zhǎng)方形紙片按照?qǐng)D6所示的方式對(duì)折兩次，再在紙片上繪制一個(gè)一般的三角形，如圖7所示，剪下后可獲得如圖8所示四張形狀、大小相同的三角形紙片.

思考：用圖8所示的四張小三角形紙片能否拼成一個(gè)大的三角形？這個(gè)大的三角形的內(nèi)角和是否依然是180°？請(qǐng)說明理由.

教學(xué)引導(dǎo)：教師引導(dǎo)學(xué)生將四張三角形紙片按照?qǐng)D9所示的方式拼接. 由于四張三角形紙片完全相同，故其內(nèi)角相當(dāng)于由四張小三角形紙片的內(nèi)角組合而成，從而使學(xué)生感知到任意三角形的內(nèi)角和均為180°.

教學(xué)中教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上述組合思路來作圖，即過△ABC三邊上任意一點(diǎn)作另外兩邊的平行線，將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到頂點(diǎn)均在邊上的一點(diǎn)處，從而構(gòu)建平角，如圖10所示. 探究驗(yàn)證時(shí)，教師可利用平行線的性質(zhì)來等角轉(zhuǎn)化，使學(xué)生感知到：任意三角形的三個(gè)內(nèi)角均可以構(gòu)建平角，即任意三角形的內(nèi)角和為180°.

2. 動(dòng)態(tài)探索，拓展性思考

如圖11所示，△ABC的邊AC所在直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中射線AC與射線BC分別交于點(diǎn)C1，C2，C3，…

設(shè)問1：在直線AC的旋轉(zhuǎn)過程中，三角形的哪些內(nèi)角大小發(fā)生了變化？

設(shè)問2：度量∠BAC1和∠AC1B并求它們的和，度量∠BAC2和∠AC2B并求它們的和……大家有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)問3：當(dāng)直線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與直線BC平行時(shí)（即旋轉(zhuǎn)到圖11中的AC′位置時(shí)），度量∠BAC′的度數(shù)，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注旋轉(zhuǎn)過程中，三角形的兩個(gè)內(nèi)角變化，即∠BAC逐漸變大，∠ACB逐漸變小，但兩角之和始終保持不變. 而當(dāng)直線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與直線BC平行時(shí)（即旋轉(zhuǎn)到圖11中的AC′位置時(shí)），∠BAC′的度數(shù)與前面兩角之和相等.

對(duì)于動(dòng)態(tài)變化中三角形的內(nèi)角和為180°這一結(jié)論的證明，教師可以采用幾何推理的方式，即當(dāng)AC′∥BC時(shí)，有∠CAC′=∠C，∠BAC′+∠B=180°. 因?yàn)椤螧AC′+∠B=∠BAC+∠B+∠C，所以∠BAC+∠B+∠C=180°，從而完成證明.

用運(yùn)動(dòng)變換的觀點(diǎn)來探究證明三角形的內(nèi)角和，更貼近實(shí)際，演繹推理合情合理. 旋轉(zhuǎn)過程中三角形的內(nèi)角會(huì)發(fā)生變化，但結(jié)論一致，這能讓學(xué)生更加深刻地體會(huì)定理. 同時(shí)，這種探究方式可以幫助學(xué)生積累探究經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.