基于圖論的共軸主減速器輕量化設計方法

摘要：主減速器是直升機傳動系統的重要部件，其質量指標對整機性能有著重要影響。以共軸反轉直升機的主減速器為對象，提出了一種基于圖論的主減速器構型設計方法。1）通過對現有共軸主減速器資料的歸納，得到連接規律、邊界條件和齒輪單元；2）建立主減速器對應鄰接矩陣的自動生成方法，并將鄰接矩陣轉換為改進的圖論模型；3）生成方案集合并建立篩選規則，得到主減速器的可行方案集合；4）利用序列二次規劃算法建立基于齒輪強度約束的優化程序，對可行方案的齒輪質量進行篩選，得到齒輪總質量最小的主減速器方案。為驗證此方法的合理性，給出了三級圓柱齒輪構型主減速器方案的設計過程，篩選出一種可行方案。

關鍵詞：直升機；共軸主減速器；圖論；構型設計方法；輕量化

中圖分類號：D460

文獻標志碼：A文章編號：1000-582X（2023）03-022-010

Lightweight design method of coaxial main reducer

based on graph theory

ZENG Li1，HU Minghui1，CHEN Guangyan2

（1. State Key Laboratory of Mechanical Transmissions， Chongqing university， Chongqing 400044，

P. R. China; 2. AVIC Hunan Power Machinery Research Institute， Zhuzhou，Hunan 412002， P. R. China）

Abstract："" Main reducer is an important component of helicopter drivetrain， and its quality has a crucial impact on the whole transmission. In this paper， taking coaxial counter rotating helicopter’s gearbox as objective， a design method of main reducer configuration based on graph theory is proposed. Firstly， connection laws， boundary conditions and gear units are obtained by review of existing literature of the reducer. Then， automatic generation of adjacency matrix corresponding to main reducer is realized before transforming adjacency matrix to model of graph theory. After setting up rules and screening schemes to yield feasible solution set of the reducer， an optimization procedure， which aims at screening gear weight of feasible solutions and obtaining the solution of the lightest gear weight， is built by SQP （sequential quadratic programming algorithm） method based on gear strength constraints. Finally， to verify the rationality of this method， the designing and screening processes of 3-stage main gearbox schemes of cylindrical gear configuration are listed.

Keywords：" rotorcraft; coaxial main reducer; graph theory; design method of configuration; light weight

直升機高速化是未來的發展趨勢之一，俄羅斯、美國等陸續推出了高速直升機計劃［1］，其中，剛性共軸雙旋翼+推進尾槳直升機（共軸直升機）得到了大力發展。以美國西科斯基的X-2為例，其巡航速度高達463 km/h［2］，遠遠超過傳統的單旋翼直升機。共軸直升機利用上下2副共軸反轉旋翼實現扭矩平衡，2根旋翼輸出軸采用內軸穿過外軸的布置方式，由于輸出軸特殊的布置和運動方式，使其主減速器結構更為復雜；并且共軸反轉主減速器的構型種類豐富，按共軸部分的結構可分為復合輪系共軸構型［3］、簡單齒輪共軸構型［4-6］和定軸輪系共軸構型［7-8］。

國內對共軸減速器構型的設計研究尚處于起步階段，國內外公開的資料都較為有限。其中，嚴岳勝、倪德等［9-10］對差動輪系、圓柱齒輪、錐齒輪等為主干的減速器構型的特點、現狀進行了分析；石萬凱、徐步德、張世飛等［11-13］對差動輪系共軸減速器構型的功率流向特點和分析方法進行了研究。單旋翼直升機主減速器的設計方法對共軸主減速器有著借鑒意義。對現有直升機傳動系統的輪系結構、軸承布置、齒輪參數等進行的改進和優化［14-16］是一大主流設計方法，但其創新性不足。唐歲迎等［17］建立了基于圖論的直升機傳動系統方案設計方法，創新性好，但設計流程不完善。Pi等［18］利用汽車功率分流變速器的設計方法，通過比較可靠性、質量等指標來選擇直升機減速器的可行方案，可操作性強。

筆者提出了一種基于圖論的共軸反轉主減速器設計方法。首先，根據現有構型資料提取齒輪單元、連接規律和邊界條件，并對三者進行推導；其次，建立設計對象的鄰接矩陣集合，生成改進的圖論表達模型；隨后建立篩選規則，得到可行方案集合，利用序列二次規劃算法，以齒輪強度為約束條件，以齒輪質量為目標，優化并篩選得到質量最小的構型方案。最后，給出了三級傳動方案的設計算例，驗證此方法的合理性。

1 圖論模型的建立

圖論模型元素包括節點和邊，文中節點主要指軸，邊主要指齒輪傳動單元（嚙合關系）。為了更好地表示模型元素之間的關系，需要改進圖論模型的表示方法。

1）為了表示減速器功率的流向，采用帶有箭頭的有向圖［19］表示；2）為了模型的直觀和簡潔，模型還應具有平面圖，具有無交叉邊、簡單圖，無重復邊的特點，該類圖對應鄰接矩陣的非零元素為1；3）由于2根輸出軸在空間上高度重合，將其視為1個同軸節點。

1.1 信息歸納

根據現有共軸反轉主減速器的結構，提取軸數目的邊界范圍、軸的連接關系、齒輪單元種類。將結構簡圖轉換為圖論模型，以單動力源的2級傳動運動簡圖，如圖1所示。將軸視為節點，并編號1，2，…，7。按照軸的連接關系，將節點用邊進行連接，形成1個圖論模型，并將圖分為1～5層。照此處理，可獲得現有主減速器的分層圖論模型。通過分層的圖論模型可以觀察到每層的節點數目，根據調研，每層節點數目一般為2x個，x為非負整數，從而確定節點數目的邊界。

連接規律即指節點和節點如何連接。節點間的連接規律通過現有共軸反轉主減速器資料獲得，也可對連接規律適當推導。提取規律的步驟如下：

1）將節點的連接關系用矩陣進行表達。如圖1所示，第1層節點1和第2層節點2連接，鄰接矩陣節點1所在第1行與節點2所在第2列交叉位置的元素為1，表示有連接；同理，第2層節點2和第3層節點3和4有連接，鄰接矩陣節點2所在第2行與節點3、4所在第3、4列交叉位置的元素為1；以此類推，可得到完整的矩陣。

2）將第1層節點1所在行與第2層節點2所在列交叉位置的元素提取，以矩陣形式保存，定義該矩陣為特征矩陣C；將第2層節點2所在行與第3層節點3、4所在列交叉位置的元素提取，以矩陣形式保存；重復以上操作，將每層節點所在行與一層節點所在列交叉位置的元素提取出來。該圖例的節點連接規律則提取完畢，如圖2所示。

此外，以齒輪傳動的方向作為分類依據，齒輪單元可分為平行單元、換向單元和共軸單元，如表1所示。共軸單元是傳動軸與旋翼輸出軸的連接單元；剛性連接用于旋翼與輸出軸，動力源與輸入軸的連接。

1.2 建模過程

圖論表達模型的建立主要分為2步：1）建立設計對象的鄰接矩陣，實現鄰接矩陣的自動生成；2）將鄰接矩陣轉換為圖論模型，并標注。鄰接矩陣是圖論中的重要工具，用于表示節點與節點之間的連接關系，第i個節點對應矩陣中的第i行和第i列，如果第i個節點功率流向第j個節點，那么第i行第j列則會出現元素1，表示i和j節點連接。

文中鄰接矩陣按層數建立。假設，每個圖層僅有1個節點，k級傳動意味著有k條動連接的邊（節點之間用邊連接，軸之間通過齒輪單元嚙合進行連接），節點應有k+1個，即圖層k+1個，考慮動力源節點和旋翼節點，節點還要+2，圖層應為k+3個。于是1個k級傳動方案對應圖層數目為k+3層，則鄰接矩陣的維數為k+3，預先生成1個維數也為k+3的零矩陣A。隨后確定每層節點數量。根據調研，每層節點數目一般為2x的指數關系，利用隨機組合的方法確定每層可能的節點數目；將每層節點可能的數目與其他層節點可能的數目進行組合，從而形成1個k+3層圖論模型所可能的節點數目矩陣N，其層數等于圖層數，每層元素代表該層的節點數目。其次，判斷N相鄰層節點數目，確定節點的連接關系，找到對應的特征矩陣C，將矩陣A相應位置的元素用C置換，最終得到鄰接矩陣A。這些步驟可以自動實現，從而實現鄰接矩陣的自動生成。利用MATLAB中digraph函數即可將鄰接矩陣轉換為圖論模型。

共軸直升機多采用1個或者2個動力源，以2個動力源為例。主減速器為了確保安全冗余度，2個動力源到輸出端的傳動結構都是一致的（對稱性），并且單個動力源在傳動過程中由于分扭而出現多個運動鏈時，這些運動鏈的結構也一致（不含惰輪結構時）；僅需標注一條運動鏈的節點和邊，完成圖論模型的生成工作。

2 方案生成和篩選

以對稱的主減速器方案為例，只需對其圖論模型的邊指定相應的齒輪單元，利用表1中各個齒輪單元進行隨機標注，即可生成對應的傳動方案。為保證模型和方案的合理性，在已知傳動單元和節點的連接情況下對圖和方案進行篩選，得到可行方案集合。這里的邊是帶有箭頭的，表示功率的流向，指向某一節點邊的數量即為入度。文中所用入度指的是箭頭指向同軸節點（2根旋翼軸）的關聯邊的數量，用來表示方案的功率分支數目，以便區分各個方案。比如，只有1條邊指向同軸節點時（入度為1），表示方案為1條單支路方案，以此類推。

篩選規則如下：

1）確保與動力端（旋翼、動力源）節點關聯的邊為剛性連接，確保與同軸節點關聯的邊為同軸單元。

2）根據模型中

同軸節點的入度確定同軸單元，確定該圖模型對應的構型種類。如，入度為2時，排除共軸復合輪系單元10和11；入度為1時，排除共軸圓柱齒輪單元。

3）確定同軸單元之后，進行軸線的判定，依據方案中的傳動單元，觀察是否匹配給定的輸出軸和輸入軸的軸向。

4）若動力軸向垂直于輸出軸向，則在傳動路徑中必然存在換向單元。由于一些同軸結構本身具有換向功能，需要判定同軸結構是否具備換向功能，將不滿足此條件的傳動方案刪除。

5）若相鄰層節點數目均不相等，則連接2個節點的傳動單元不能為行星輪系。

6）保證傳動方案的傳動比等于給定傳動比。

7）若上層節點數大于2，下層尾端節點僅與上層2個節點連接時，考慮到需要分給尾端較大功率，此種連接使得尾端僅分得部分功率，需排除不合理連接，如圖3所示。

3 優化篩選

通過圖論設計和相關的篩選可以得到連接合理的可行方案集合，但符合設計要求的主減速器方案還需要進一步篩選。利用基于齒輪強度約束的優化算法對可行方案的齒輪質量進行單目標優化，齒輪質量的優化是一個非線性問題，采用二次規劃算法進行優化篩選，即通過比較各個方案的齒輪質量來選擇構型。

3.1 目標函數

根據調研，齒輪單元以圓柱齒輪、螺旋錐齒輪和行星輪系為基礎。假設，齒輪采用的材料一致，由于質量與體積成比例關系，以方案中所有齒輪副體積和作為目標函數。文中給出了基本的齒輪副體積公式。

圓柱齒輪副體積采用以分度圓為底，齒寬為高的圓柱體積公式為

Vcylindrical=0.25πφdmz3（1+i2）。（1）

螺旋錐齒輪副體積以中點齒頂圓為直徑、齒寬為高的圓柱體［20］進行計算：

Vspiral=0.785 39bRmRe 2D2za1+D2za2cos（0.5βm） 。（2）

行星齒輪體積由太陽輪、行星輪、齒圈體積［21］組成：

Vplanetary=0.25πb（mzs）2+0.25nπb（0.5m（zr－zs））2+0.25πb（16m2zs+64m2），（3）

其中，m為齒輪模數；z為齒數；zs為太陽輪齒數；zr為齒圈齒數；i為速比；b為齒寬；φd為齒寬系數；n為行星輪個數；Rm為中點錐距；Re為大端錐距；βm為中點螺旋角；Dza1為小錐齒輪輪齒頂圓直徑；Dza2為大錐齒輪齒頂圓直徑。

3.2 約束條件

優化篩選的約束條件分為2種類型，一是線性不等式約束，例如，變量的上下界范圍；二是非線性不等式約束，其主要的約束包括齒輪齒面接觸強度、齒根彎曲強度、齒輪齒面膠合溫度、重合度、速比誤差等。

各優化變量的上下界范圍如表2所示。

為了確保平穩性，圓柱齒輪端面重合度應大于1.2；螺旋錐齒輪端面重合度應大于1.3，并且節線速度不應超過110 m/s。為了保證齒輪具有足夠的強度，參考AGMA標準，建立了圓柱齒輪和螺旋錐齒輪在接觸、彎曲、膠合3個方面的強度約束條件，其強度計算值應小于許用值，如表3所示。

由于篇幅所限，表中各系數的定義和取值詳見AGMA制定的圓柱齒輪［22-23］和螺旋錐齒輪［24-25］相關標準。

3.3 優化方法

考慮強度等的齒輪參數優化是一個非線性問題，利用MATLAB優化工具箱中的Fmincon求解器調用序列二次規劃算法進行求解。

基本求解格式為

［x， fval］ = fmincon （@objfun， X0， A， b， Aeq， beq， bl， bu， @noncon）

其中：x為優化后的齒輪參數向量；fval為優化后的齒輪體積；objfun為體積目標函數文件；X0為初始迭代值向量；A，b，Aeq，，beq為線性約束矩陣，A·x≤b 和Aeq·x=beq的系數矩陣和向量，bl，bu分別為優化參數的上、下界向量，noncon為非線性優化約束條件文件。

4 算例驗證

給出由圓柱齒輪和錐齒輪組成的圓柱齒輪共軸構型主減速器方案（不含惰輪）從建模到篩選的設計過程。設計的主要參數條件，如表4所示。

根據文中設計方法利用MATLAB編程可以自動生成36個圖論模型，部分模型和相應的鄰接矩陣，如圖4所示。

經過篩選，得到3個圓柱齒輪構型的圖論模型和其對應的主減速器簡圖，如圖5所示。

利用序列二次規劃算法對上述3種構型進行優化，得到優化后的質量如表5所示。由表可知，四支路圓柱齒輪構型二的質量最小，為最佳方案。

5 結 論

文中提出了一種基于圖論的直升機共軸減速器設計方法。根據現有資料，進行信息歸納總結得到齒輪單元、連接關系和節點數目；給出了主減速器圖論模型對應的鄰接矩陣自動生成方法，并利用該矩陣生成改進的圖論模型；通過提出的傳動方案的生成方法、篩選規則，得到了可行方案集合；隨后利用序列二次規劃算法對可行方案集合進行基于齒輪強度約束的質量篩選得到齒輪質量最小的方案。為了驗證設計方法的合理性，給出了以三級圓柱齒輪構型方案為例的簡要設計流程，得到了一種齒輪質量最小的主減速器方案。

此方法可以實現共軸主減速器方案的快速生成和篩選，得到齒輪質量最小的主減速器方案，以提高方案的創新性和設計效率，對于以減重等為目標的直升機主減速器設計和選擇具有一定的指導意義。

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（編輯 陳移峰）

收稿日期：2021-07-05" 網絡出版日期：2021-12-08

基金項目：國家自然科學基金資助項目（52072053）。

Supported by National Natural Science Foundation of China （52072053）.

作者簡介：曾利（1995—），男，碩士研究生，主要從事傳動系統設計研究。

通信作者：胡明輝，男，教授，博士生導師，（E-mail）minghui_h@163.com。