基于動態剩余S-N曲線的線性疲勞壽命預測模型

摘要：為估算結構在變幅載荷下的疲勞壽命，在動態剩余S-N曲線的基礎上，結合材料的退化規律，對材料受載過程中的累積疲勞損傷進行了量化，提出了一種預測變幅載荷下線性疲勞損傷預測模型。根據熱軋16Mn鋼和20Cr2Ni4A標準圓柱齒輪多級載荷下疲勞壽命試驗數據，對提出模型的疲勞壽命預測能力進行了驗證。結果表明：基于強度退化的線性疲勞壽命預測模型相對傳統Miner法則和材料記憶退化累積模型的預測結果更接近試驗結果，具有較高的預測精度。

關鍵詞：動態剩余S-N曲線;退化規律;壽命預測;彎曲疲勞試驗

中圖分類號：TH114

文獻標志碼：A文章編號：1000-582X（2023）03-084-010

A linear fatigue life prediction model based on dynamic residual S-N curve

ZHANG Tuo1， LIU Kun1， HE Aiming2， SUN Yizhong2， SHI Wankai1

（1．State Key Laboratory of Mechanical Transmissions， Chongqing University， Chongqing 400044，

P. R. China; 2．Nanjing High Speed Gear Manufacturing Co.， Ltd.， Nanjing 211100， P. R. China）

Abstract："" In order to estimate the fatigue life of structures under variable amplitude loading， based on the dynamic residual S-N curve， the cumulative fatigue damage of materials under loading was quantified combined with the degradation law of materials， and a linear fatigue damage prediction model under variable amplitude loading was proposed. According to the fatigue life test data of hot-rolled 16Mn steel and 20Cr2Ni4A standard cylindrical gear under multistage load， the fatigue life prediction accuracy of the proposed model was verified. The results show that the prediction results of the linear fatigue life prediction model based on strength degradation is closer to the experimental results than those of the traditional Miner’s rule and material memory degradation accumulation model， showing higher prediction accuracy.

Keywords：" dynamic residual S-N curve; degradation rule; life prediction; bending fatigue test

疲勞破壞是機械結構部件和零件的主要失效形式，在實際工程中，這些部件通常要承受不同強度的周期性波動載荷，評估損傷程度具有巨大的難度和挑戰性［1-4］。而建立部件可靠的累積損傷模型，可以有效提高疲勞壽命的預測精度，且有助于提前更換損傷元件和指定合理的維護策略，具有重要的研究意義。

目前，國內外學者對疲勞壽命預測從多方面進行了研究，薛齊文等［5］基于疲勞驅動力能量損傷參數，對相鄰載荷間的交互因子進行修正，建立改進的非線性疲勞壽命預測模型，對焊接結構進行了疲勞壽命預測。Zhu等［6］提出了一種基于單軸疲勞數據的能量等效損傷參數，用于預測多軸疲勞載荷下的疲勞壽命，并利用試驗對該模型及參數的有效性進行了驗證。吳博偉等［7］在現有的非線性疲勞損傷累積模型微動疲勞壽命預測模型的基礎上分析航空發動機榫連接結構在不同溫度下的微動疲勞壽命。但大多數研究均是基于非線性損傷理論，在處理復雜載荷譜時需要對不同級別的載荷進行大量的等效折算，計算量較大，且估算過程比較復雜。S-N曲線作為反映材料疲勞強度的特性曲線，可以表示外部加載應力水平與材料試樣疲勞壽命之間的關系，近年來，用S-N曲線法建立疲勞損傷模型的報道相當集中［8-9］，并受到越來越多的關注。謝里陽等［10］提出了剩余S-N曲線的表達形式，通過對原始曲線進行平移可以獲得材料的剩余S-N曲線。彭兆春等［11-12］在剩余S-N曲線的基礎上提出了剩余S-N曲線的表達形式，對剩余S-N曲線進行旋轉，根據材料在不同損傷度的剩余S-N曲線的關系，建立疲勞損傷累積模型。

筆者在動態剩余S-N曲線的基礎上，結合材料的退化規律，利用動態剩余S-N曲線的特點，利用坡度比的變化評估材料的疲勞損傷狀態，并結合材料的退化規律，對材料受載過程中的累積疲勞損傷進行了量化，提出了一種預測變幅載荷下線性疲勞損傷預測模型。為進一步對模型的有效性和可靠性進行驗證，設計了三級載荷下的齒輪彎曲疲勞壽命循環壽命試驗并結合文獻提供的熱軋16Mn鋼二級載荷下疲勞壽命實測數據，與其他傳統的壽命預測結果進行了對比，驗證了模型的有效性。

1 動態剩余S-N曲線

對變幅載荷試驗進行分析，首先材料在應力幅值為σ1的載荷下循環加載n1次，隨后轉入應力幅值為σ2的載荷下循環加載，當加載到n2次時，材料發生破壞，則該材料的S-N曲線、動態剩余S-N曲線和動態剩余S-N曲線可以按照圖1的形式進行表示。

S-N曲線的冪函數形式［13］可表示為

σmNf=C，（1）

式中：Nf為在應力水平σ下發生失效時的加載循環次數；m和C為材料常數。

對式（1）兩邊取對數得

log（σ）=a+blog（Nf）。（2）

可看出S-N曲線在雙對數坐標系下是一個如圖1所示的關于log（σ）和log（Nf）的直線方程，式中a為直線的截距（a=log（C）/m），b為直線的斜率（b=－1/m）。

謝里陽等［10］通過試驗研究發現：材料的剩余S-N曲線是原始S-N曲線經過平移作用結果，其剩余壽命與材料的損傷狀態有關。當材料處于結構完好的狀態時，其在應力幅σ1下的剩余壽命為Nf1，即該材料的剩余壽命可利用S-N曲線進行表征。當材料存在初始損傷，且該初始損傷有應力幅σ1下加載循環n1次引起時，則該材料的剩余壽命曲線可用圖1所示的剩余S-N曲線表示，其中其在應力幅σ1下的剩余壽命為Nfr1=Nf－n1，可表征為材料的剩余壽命與外部加載的關系，則剩余S-N曲線的數學表達形式可表示為

log（σ）=a′+blog（Nr）。（3）

式中a′為剩余S-N曲線對應截距。

而當材料發生損傷劣化時，其內部狀態發生變化，實時S-N曲線應當發生改變，故在剩余S-N曲線的基礎上可提出動態剩余S-N曲線的概念，即材料的剩余S-N曲線是原始S-N曲線經過平移和旋轉疊加作用結果，其斜率應當為一個與載荷加載狀態相關的變量，通過斜率的變化可動態表征構建累積損傷增長過程。如圖1所示，動態剩余S-N曲線的數學表達形式可描述為

log（σ）=a″+Δblog（Nr），（4）

式中a″和Δb分別為動態剩余S-N曲線對應截距和斜率。

當材料在初始狀態時，Nfr1=Nf，Δb=b，曲線與S-N曲線重合；加載狀態下，材料的剩余壽命逐漸減小，曲線斜率Δb逐漸增大；當材料在臨界狀態時，材料趨于破壞狀態，曲線斜率Δb→SymboleB@，通過斜率的變化，可以表征材料從初始狀態向臨界狀態變化的過程，即可通過斜率的變化可定性的描述材料的狀態變化過程。

通過定義斜率比br=b/Δb描述材料的損傷過程，初始狀態時，b/Δb=1，材料無損傷破壞；加載過程中，b/Δb∈0，1；當材料臨界狀態時，b/Δb=0，材料趨于破壞，因此通過研究斜率比br的演化規律，可以建立材料的疲勞損傷累積模型。

2 材料退化規律分析

為定量分析動態剩余S-N曲線斜率的變化規律，需要對試件使用過程中的強度退化規律進行分析。周杰［14］從心理學的角度提出了材料記憶的概念，賦予材料記憶和遺忘的功能，根據艾賓浩斯遺忘曲線，將時間函數替換為循環載荷，得到了材料記憶的函數

M=Am－Bme－ndm+Bm。（5）

式中：M為材料記憶性能；Am為記憶因子；Bm為漸進線；dm為遺忘因子倒數，取dm=Nf。

根據材料退化的特點，在載荷作用的初期，循環載荷產生缺陷對結構強度影響較小，此次材料性能退化呈現較為緩慢的趨勢，隨著時間的推移，材料裂紋開始擴展，導致退化趨勢隨載荷的增加而加劇，當接近極限載荷Nf時刻時呈現“突然死亡”的特點［15-16］，其強度退化曲線如圖2所示。

基于該特點，可以得出材料與載荷循環次數相關的強度退化函數為

R（n）=σe+σb－σee－1+σe－σb1+eendm。（6）

式中：R（n）為材料剩余強度；σb為材料初始強度；σe為材料在破壞時刻的剩余疲勞強度；dm為退化因子倒數，這里取dm=Nf。

引入一個退化系數表征材料在加載過程的退化程度，定義

α=Rn－RNfR0－RNf=e-enNfe－1。（7）

式中α為一個與載荷循環比相關的材料退化系數，范圍為［0，1］。

初始時刻時n=0，R0=σb，α=1;材料無損傷破壞；加載過程中n∈0，Nf，材料開始損傷，剩余強度逐漸降低，α較少，α∈0，1;當材料臨界狀態時，n=Nf，α=0，材料趨于破壞，可以退化系數α表征材料從初始狀態向臨界失效狀態轉換的過程。

3 線性疲勞損傷預測模型

3.1 二級載荷加載預測模型

為研究材料疲勞損傷預測模型，對兩級循環加載的過程進行分析，材料首先下一級應力σ1下加載n1次，然后循環加載轉入二級應力σ2，此時損傷曲線轉換為動態S-N曲線，加載n2次時材料發生破壞，不同加載次序下動態剩余S-N曲線的變化規律如圖3所示。利用材料退化系數α對動態剩余S-N曲線斜率比的演化規律進行量化，建立疲勞損傷預測模型。

對圖3中S-N曲線進行分析，點ANf1，σ1，BNf2，σ2應滿足剩余式2，即：

logσ1=a+blogNf1，logσ2=a+blogNf2。（8）

整理可得

logσ1σ2=blogNf1Nf2。（9）

同理，對圖中剩余S-N曲線進行分析，點CNfr1，σ1，Bnp2，σ2應滿足剩余式（4），即：

logσ1=a″1+ΔblogNf1－n1，logσ2=a″1+Δblognp2，（10）

整理可得

logσ1σ2=ΔblogNf1－n1np2。（11）

式中：np2為模型預測剩余壽命，利用材料退化系數α對動態剩余S-N曲線斜率比的演化規律進行量化，受到二級載荷時，動態剩余S-N曲線變化的斜率比可描述為

br1=bΔb1=α1=e-en1Nf1e－1。（12）

聯立式（9）（11）（12）可得

np2Nf2=1－n1Nf1Nf1Nf21－α1=1－n1Nf1Nf1Nf21－e-en1Nf1e－1。（13）

當采用先高后低的加載次序時，Nf1lt;Nf2，根據式（13）可得

n1Nf1+n2Nf2=n1Nf1+1－n1Nf1Nf1Nf21－αlt;1。（14）

高應力下使裂紋形成，低應力使裂紋擴展。同理，當采用先低后高的加載次序時，Nf1gt;Nf2，可得

n1Nf1+n2Nf2=n1Nf1+1－n1Nf1Nf1Nf21－αgt;1。（15）

裂紋形成時間發生了推遲，與大多數疲勞損傷試驗結果相吻合，說明該預測模型符合載荷加載時序對材料疲勞壽命影響的規律。

3.2 多級載荷加載預測模型

將二級載荷預測模型向多級載荷進行推導，在三級載荷作用下，不同加載次序下動態剩余S-N曲線演化規律如圖4所示。

同理，點BNf2，σ2，GNf3，σ3應滿足剩余式（2），即

logσ2=a+blogNf2，logσ3=a+blogNf3，（16）

整理可得

logσ2σ3=blogNf2Nf3。（17）

根據式（13），點D的坐標點為np2，σ2，則點E和F可表示為np2－n2，σ2和np3，σ3。根據式（4），可得

logσ2=a″2+Δb2lognp2－n2，logσ3=a″2+Δb2logn3，（18）

整理可得

logσ2σ3=Δb2lognp2－n2n3。（19）

受到三級載荷時，動態剩余S-N曲線變化的斜率比可描述為

br2=bΔb2=α2=e-en1Nf1+n2Nf2e－1。（20）

聯立式（9）（11）（12）可得

np3Nf3=np2Nf2－n3Nf2Nf2Nf31－α2，（21）

同理，根據式（20）（21）可將疲勞損傷預測模型推廣至多級載荷加載，即

αn－1=e-en－1i=1niNfie－1，（22）

npnNfn=np（n－1）Nf（n－1）－nnNf（n－1）Nf（n－1）Nfn1－α（n－1）。 （22）

3.3 模型驗證分析

為驗證提出的線性疲勞損傷預測模型的有效性，根據文獻［17］提供的熱軋16Mn鋼二級載荷下疲勞壽命實測數據，對本文的預測模型、文獻［11］提出的材料記憶退化累積模型以及傳統Miner法則的壽命預測結果進行了對比分析。

根據文獻，當單獨熱軋16Mn鋼施加大小為394 MPa和345 MPa的載荷時，其疲勞壽命分別為9.35×104和4.022×105次，二級載荷疲勞試驗結果如表1所示。

結合表1試驗數據，根據式（13），可以預測出材料在二級載荷下的疲勞壽命，不同預測模型對應的二級載荷疲勞壽命預測結果如表2和圖5所示。

4 試驗驗證

設計了三級載荷下的齒輪彎曲疲勞壽命循環壽命試驗，對提出的壽命預測模型在多級加載工況下的預測精度進行了進一步驗證。

4.1 疲勞試驗方法

在常溫條件下，利用高頻拉壓疲勞試驗機對齒輪進行彎曲疲勞加載試驗，試驗機的結構和齒輪的加載方式分別如圖6和圖7所示，主要性能參數為：加載頻率50～150 Hz，最大平均載荷150 kN，最大交變載荷150 kN。

試驗對象選擇標準圓柱直齒輪，材料20Cr2Ni4A，表面磨削，滲碳淬火層深0.8 mm，表面硬度60HRC，齒輪模數為4，齒數23，壓力角20°。按照《GB/T 14230—1993 齒輪彎曲疲勞強度試驗方法》，利用升降法和成組法擬合出試驗齒輪疲勞特性曲線，可以得出試驗齒輪在分別單獨施加大小為477.418，516.711，582.396 MPa載荷時，其疲勞壽命分別為4.065×105，3.041×105，1.339×105次。

4.2 試驗結果

對齒輪進行多級加載，在應力級別σ1，σ2，σ3分別為477.418，516.711，582.396 MPa的3個應力水平下連續加載直至齒輪發生失效，根據加載順序設計了3種加載模式，各模式下應力加載順序和試驗結果如表3所示。

4.3 試驗數據分析

結合表3試驗數據，根據式（13），對齒輪在三級循環載荷下疲勞壽命進行預測，并與記憶退化模型和Miner法則預測結果進行對比，其壽命預測結果如表4和圖8所示。

根據表4和圖7顯示的結果，在低高加載模式下，3種預測模型與試驗結果比較接近，在高低加載模式和隨機加載模式下，提出的基于強度退化的線性疲勞壽命預測模型相對傳統Miner法則和材料記憶退化累積模型的預測結果更接近試驗結果，具有更高的預測精度，進一步驗證了提出的模型具有較高的正確性和較好的適用性。

5 結 論

1）在動態剩余S-N曲線的基礎上，結合材料的退化規律，利用動態剩余S-N曲線的特點和坡度比的變化評估材料的疲勞損傷狀態，并結合材料的退化規律，對材料受載過程中的累積疲勞損傷進行了量化，提出了一種預測變幅載荷下線性疲勞損傷預測模型。

2）結合熱軋16Mn鋼二級載荷下疲勞壽命實測數據，將預測結果與傳統Miner法則和材料記憶退化累積模型進行對比，提出的模型具有較高的預測精度。

3）根據齒輪彎曲疲勞壽命循環壽命試驗結果，筆者提出的基于強度退化的線性疲勞壽命預測模型相對傳統Miner法則和材料記憶退化累積模型的預測結果更接近試驗結果，進一步證明了該模型具有更高的預測精度。

4）基于強度退化的線性疲勞壽命預測模型保留了Miner法則形式上的簡易性，可用于預測機械部件的高周疲勞壽命。該模型考慮了載荷歷程中所有載荷的壽命水平以及此前載荷的損傷狀態，使壽命預測精度得到顯著提升，可有效地對多級載荷情況下機械部件的壽命進行定量分析，且物理意義更加明確。

5）筆者主要研究單軸應力下機械構件的疲勞壽命預測，如需分析構件在多軸應力狀態下的疲勞壽命，需要將多軸載荷狀態下的應力應變等效為單軸載荷下的應力應變后進行壽命預測分析。

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（編輯 鄭 潔）

收稿日期：2021-05-12 "網絡出版日期：2021-06-08

基金項目：國家重點研發計劃資助項目（2018YFB2001605）。

Supported by National Key Research and Development Plan （2018YFB2001605）.

作者簡介：張拓（1994—），男，博士研究生，主要研究方向為齒輪傳動，（E-mail）ttuo_zhang@163.com。

通信作者：石萬凱，男，教授，博士生導師，（E-mail）wankai_shi@cqu.edu.cn。