雙圓弧諧波減速器剛輪插刀有效長度分析與優化

摘要：為預估和延長雙圓弧諧波減速器剛輪插齒刀有效長度，論文建立了雙圓弧剛輪齒廓數學模型，根據運動學法，建立了插刀加工數學仿真模型；根據齒廓法線法，建立了砂輪磨削加工數學模型，推導了刃磨后插刀的等效齒形與加工誤差，確定了插刀的有效長度。在此基礎上，論文通過優化砂輪齒形與插刀齒數，延長了插刀有效長度。結果表明：優化前55齒插刀有效長度為2.1 mm，0截面插刀加工出剛輪齒形誤差為2 μm；優化后0截面插刀加工出剛輪齒形誤差的最大值為0.14 μm。優化后插刀齒數越多，插刀有效長度越長；優化后42齒、55齒、68插刀有效長度分別增加了4.8%、52%、81%。

關鍵詞：雙圓弧諧波減速器；剛輪；磨削；插刀；砂輪；有效長度

中圖分類號：TH132.43

文獻標志碼：A文章編號：1000-582X（2023）03-032-013

Analysis and optimization of the effective length of the slotting cutter for

circular spline in double-circular-arc harmonic drive

WANG Shipu1，2， SONG Chaosheng1， LI Xinzi1， SUN Jianquan3， ZHU Caichao1

（1. State Key Laboratory of Mechanical Transmissions， Chongqing University， Chongqing 400044，

P. R. China; 2. Zhengzhou Research Institute of Mechanical Engineering Co. Ltd.， Zhengzhou 450052，

P. R. China; 3. Shenzhen Institute of Advanced Technology， Chinese Academy of Sciences， Shenzhen，

Guangdong 518055， P. R. China）

Abstract："" In order to predict and prolong the effective length of the slotting cutter of the double-circular-arc harmonic circular spline， several models are established： 1） the mathematical model of the circular spline tooth profile; 2） the mathematical simulation model of slotting the circular spline by the kinematic method; 3） the mathematical simulation model of grinding the slotting cutter by the tooth profile normal method， to obtain the equivalent tooth profile and the machining error and predict the effective length of the slotting cutter. Based on these models， the effective length of the slotting cutter is prolonged by optimizing the tooth profile of the grinding wheel and the tooth number of the slotting cutter. The results show that before optimization， the effective length of the slotting cutter with 55 teeth is 2.1 mm and the tooth profile error of the circular spline slotted by the 0-cross section slotting cutter is 2 μm. After optimizing the tooth profile of the grinding wheel， the maximum of the tooth profile error of the circular spline slotted by the 0-cross section slotting cutter is 0.14 μm. The effective length of the slotting cutter increases as the number of slotting cutter tooth increases 4.8% for 42 teeth， 52% for 55 teeth， and 81% for 68 teeth.

Keywords：" double-circular-arc harmonic reducer; circular spline; grinding; slotting cutter; grinding wheel; effective length

與采用漸開線齒形的諧波減速器相比，雙圓弧齒形諧波減速器具有承載能力大、嚙合齒數多、扭轉剛度高、嚙合側隙小、傳動精度高等特點，在工業機器人、醫療器械與航空航天等領域得到了廣泛應用［1-3］。然而插刀有效長度短且難以預估，剛輪的生產成本高，試切次數多，因此在分析刃磨后插刀加工精度的基礎上，通過優化砂輪齒形與插刀齒數，延長插刀有效長度，對減少試切次數、降低剛輪生產成本具有重要意義。

諧波減速器的剛柔輪的齒形與結構參數對諧波減速器嚙合性能至關重要。辛洪兵［3-4］利用改進的運動學法研究了諧波齒輪傳動嚙合原理，提出了雙圓弧諧波減速器插齒刀的設計方法；陳曉霞等［5-6］提出了新的雙圓弧諧波減速器設計方法，研究了其參數變化對剛柔輪嚙合間隙的影響，并建立了諧波減速器柔輪齒圈有限元模型，分析了周向應力隨齒根倒圓的變化規律；董慧敏等［7］提出了基于輪齒瞬心線的雙圓弧齒形設計方法，從理論上避免了諧波傳動齒頂干涉，提高了諧波減速器的嚙合性能；杜雪松等［8］根據描述諧波減速器剛柔輪之間復雜空間運動關系的三維數學模型，擴展了共軛齒廓區域1.21倍；宋朝省等［9］基于支撐函數建立了諧波減速器的波發生器輪廓數學模型，通過有限元方法，分析了波發生器輪廓對諧波減速器柔輪與波發生器的裝配應力；姜歌東等［10］提出了基于諧波減速器剛柔輪齒形的雙圓弧雙向共軛設計方法，實現了諧波減速器的多點嚙合，降低了諧波減速器的嚙合力，提高了諧波減速器的使用壽命。

同時，國內外學者針對諧波減速器剛輪加工制造進行了相關研究。Lai等［11］通過系統化的CAD/CAM幾何造型技術，縮短了插齒刀的設計周期，提高了插齒刀的加工精度；Yamazaki等［12-13］對非漸開線小齒輪刀具的設計和制造方法進行了精確的分析，研究了刃磨量與刀具齒廓誤差之間的關系；Kawalec等［14］建立了螺旋齒插齒加工數學模型，通過有限元分析的方法，增強了齒根強度；Lin等［15］討論了漸開線插齒刀的設計原理和模型，提出了反包絡法等刀具設計方法，提高了插削刀具的精度和壽命；Máté等［16］推導了插齒刀前刀面的理論刃形，提出了一種消除插刀理論誤差的設計方法，減小了刃磨后插刀的加工誤差，提高了插刀的使用壽命；景艷等［17］建立了雙圓弧剛輪插刀齒面數學模型，揭示了雙圓弧插刀結構參數對插刀可刃磨長度與加工精度的影響規律；李佳等［18］通過齒廓共軛理論，提出了無理論刃形誤差插刀設計方法，從理論上完全消除了插刀的加工誤差，但未考慮磨削插刀的過程。

綜上所述，針對雙圓弧諧波減速器剛柔輪結構參數與插齒刀的齒形設計方法已較為成熟。但針對刃磨后的插刀加工誤差、插刀有效長度分析與延長的研究較少。

筆者從雙圓弧諧波減速器剛輪齒形出發，采用運動學法，建立了插刀加工仿真數學模型，推導了插刀理論齒形，計算了刃磨多次后，插刀加工出剛輪的齒形誤差，以3 μm剛輪齒形誤差為標準，確定了插刀的有效長度；將插刀理論齒形作為插刀等效齒形，優化了插刀原始截面齒形的設計方法，延長了插刀的有效長度。

1 雙圓弧插齒刀齒面建模

1.1 雙圓弧諧波減速器剛輪齒廓數學模型

以一款采用雙圓弧齒形的諧波減速器為例，其剛輪齒數zr=102，模數m=0.25，齒形如圖1所示，由齒頂過渡段、凸齒廓段、公切段、凹齒廓段、齒根過渡段5部分組成，各齒廓段之間相切。剛輪各段圓心坐標如表1所示。

參考雙圓弧諧波減速器柔輪齒廓的建模方法［19］，在與剛輪固連且原點和剛輪回轉中心重合的坐標系Sr（xroryr）中。

以下為剛輪各段齒廓的參數方程。

齒頂過渡段

u∈0，π2-β1，

β1=tan-1y1-y2x1-x2，

x=x1+r1sinu，

y=y1+r1cosu，（1）

式中：r1為齒頂過渡段圓弧半徑；x1為齒頂過渡段圓心橫坐標；y1為齒頂過渡段圓心縱坐標。

凸齒廓段

u∈0，β1-β2，

β2=tan-1y3-y2x3-x2，

x=x2+r2cos（u+β2），

y=y2+r2sin（u+β2），（2）

式中：r2為凸齒廓段圓弧半徑；x2為凸齒廓段圓心橫坐標；y2為凸齒廓段圓心縱坐標。

公切段

u∈0，β2-β3，β3=tan-1y3-y4x3-x4，

x=x3+r3cos（u+β3），

y=y3+r3sin（u+β3）。（3）

式中：r3為公切段圓弧半徑；x3為公切段圓心橫坐標；y3為公切段圓心縱坐標。

凹齒廓段

u∈0，β4-β3，

β4=tan-1y4-y5x4-x5，

x=x4-r4sinπ2-β4+u ，

y=y4-r4cosπ2-β4+u ，（4）

式中：r4為凹齒廓段圓弧半徑；x4為凹齒廓段圓心橫坐標；y4為凹齒廓段圓心縱坐標。

齒根過渡段

u∈0，π2-β4，

x=x5-r5sinu，

y=y5-r5cosu，（5）

式中：r5為齒根過渡段圓弧半徑；x5為齒根過渡段圓心橫坐標；y5為齒根過渡段圓心縱坐標。

1.2 插削加工數學仿真模型

建立與插齒刀固連且原點與插刀回轉中心重合的坐標系Sc（xcocyc）、固定坐標系Sxoy，結合與剛輪固連的坐標系Sr（xroryr），構成了插削加工數學仿真坐標系，如圖2所示。

在剛輪的插削過程中，剛輪每轉過φr時，插齒刀轉動φc，二者的中心距為

ec=rr-rc，（6）

式中：rc為剛輪半徑；rr為插齒刀半徑。

剛輪與插齒刀的嚙合方程為

nr·Vcrr=0，（7）

式中：nr剛輪齒廓法向量；Vcrr為剛輪坐標系中插齒刀與剛輪的相對速度。

其中插刀轉角φc與剛輪轉角φr的關系為

icg=φcφr=zrzc，

φ=φc-φr，（8）

式中：icg為剛輪與插齒刀的傳動比；zr為剛輪齒數；zc為插齒刀齒數。

在與剛輪固連的坐標系Sr（xroryr）中，剛輪的齒廓的位置矢量為

pr=xrir+yrjr。（9）

聯立公式（7）（9），齒廓上滿足兩者的點就是嚙合點。通過坐標變換將嚙合點由剛輪坐標系Sr（xroryr）轉換至插齒刀固連的坐標系Sr（xroryr）中，則插齒刀齒廓為

pc=mcr·pr。（10）

由坐標系Sr（xroryr）到Sc（xcocyc）的坐標轉換矩陣mcr為

cosφsinφ-ecsinφc

-sinφcosφ-eccosφc

001。（11）

利用坐標轉換，插齒刀在剛輪坐標系下的速度為

Vcr=mrc·Vcc，（12）

式中：mrc為mcr的逆矩陣；Vcc 為插齒刀在Sc（xcocyc）中的線速度。

由此Vcrr的表達式為

Vcrr=Vrr-Vcc，（13）

式中，Vrr為剛輪在Sr（xroryr）中的線速度。

利用運動學法求得的插刀理論齒形如圖3所示。

2 刃磨后插刀切削刃數學模型

插刀本質為由砂輪變位磨削出的變厚齒輪。砂輪磨削插刀可視為齒輪與齒條嚙合［20］，其中插刀相當于齒輪，砂輪相當于齒條。論文根據插刀理論齒形，通過齒廓法線法，建立了砂輪磨削加工數學磨削，推導了砂輪齒廓，最后通過變位磨削求出了不同截面插刀的等效齒形。

2.1 砂輪磨削加工數學模型

根據嚙合原理可知插刀與砂輪的嚙合方程為

nc·vscc=0，（14）

式中：nc為插刀上嚙合點的齒廓法向量；vscc為在插刀坐標系中砂輪與插刀嚙合點的相對速度。

如圖4所示，分別建立與砂輪、插刀固連的坐標系Ssxsosys、Scxcocyc以及固定坐標系Sxoy。

設插刀齒廓上任一點m（xm，ym）處的切線與xc軸的夾角γ為

tanγ=dycudxcu。（15）

插刀轉角φc為

cosψ=xmcos γ+ymsin γrc，

φc=π2-（γ+ψ）。（16）

在坐標系Scxcocyc中，插刀齒面接觸點的位矢為

rrl=xci2+ycj2。（17）

把嚙合線坐標從坐標系Scxcocyc轉換到坐標系Ssxsosys中，則砂輪齒廓為

rg=Msc·rrl，（18）

其中，從插刀坐標系轉到砂輪坐標系的變換矩陣Msc為

Msc=cosφc-sinφcrcφc

sinφccosφc-rc

001。（19）

砂輪齒廓方程為

xs=xccos φc-ycsin φc-rcφc，

ys=xcsin φc+yccos φc-rc。（20）

砂輪齒廓如圖5所示。

由圖5可知，磨削插刀的砂輪齒廓同樣由齒頂圓弧段、凸齒廓段、公切段、凹齒廓段以及齒根過渡段組成。

2.2 插刀切削刃數學模型

插刀切削刃為空間齒形，以插刀回轉軸作為zc軸，將與插刀固連的坐標系擴展為空間坐標系Scxcyczc。插刀切削刃在Scycoczc內的投影如圖6所示。

由圖可知插刀切削刃上任一點D對應的變位系數為x1，其中zc坐標與變位系數的關系為

x1m=z1tanαe，（21）

式中，m為插刀模數。

因此插刀前刀面切削刃上各點對應的半徑為

r21=rc-z1tanαe。（22）

由此插刀切削刃各點求解方程為

xc=xscosφc+yssinφc+r211，

yc=-xssinφc+yscosφc+r212，

r211=r21（-φccosφc+sinφc，

r212=r21（cosφc+φc sinφc。（23）

則刃磨后插刀的等效齒形，如圖7所示。

3 插刀有效長度分析

3.1 刃磨后插削加工數學仿真模型

刃磨后，插刀前角不變，外徑減小，與剛輪嚙合時中心距減小，如圖8所示。刃磨一次后，插刀前刀面由A-A截面變為了B-B截面，插刀基面從Ⅰ截面變為Ⅱ截面，變位系數由x0變為x1。插刀與剛輪嚙合時的中心距ec1為

ec1=ec+x1-x0m，（24）

式中：ec為未刃磨時插刀與剛輪嚙合時的中心距；x0為未刃磨時插刀基面內齒形的變位系數；x1為插刀刃磨一次后插刀基面內齒形的變位系數。

由此插刀刃磨后，由坐標系Sr（xroryr）到Sc（xcocyc）的坐標轉換矩陣mcr為

cosφsinφ-ec1sinφc

-sinφcosφ-ec1cosφc

001。（25）

3.2 不同截面插刀的等效齒形

設插刀切削刃上任一點D的坐標為xd1，yd1，zd1，插刀頂點A的坐標為xa，ya，za，則插刀前刀面切削刃在Scycoczc內投影直線的數學模型為

kd1=tanγ+π2，

y=kd1z-za+ya，（26）

式中：kd1為切削刃投影直線斜率；γ為插刀頂刃前角。

刃磨后，插刀與剛輪之間的中心距改變，通過刃磨后插削加工數學仿真模型可求出刃磨后插刀頂點A的坐標。

刃磨后插刀縱坐標最大值ymax為

ymax=ya，（27）

刃磨后，插刀的前角與后角不變，插刀上任一點D的y坐標、z坐標與變位系數之間的關系為

zd1=ymax-yd1tanγ，

xdm=zd1tanαe，（28）

式中，xd為D點所在截面插刀齒形的變位系數。

則根據嚙合方程與公式（26）（27）與（28），可建立插刀切削刃的數學模型，而后根據切削刃的橫縱坐標，可求出不同截面插刀的等效齒形。

3.3 剛輪齒形誤差分析

按照小模數插刀的行業標準：JB/T 3095—2006。當插刀精度要求為AA級時，如插刀模數為0.1～0.5 mm以內，要求插刀的齒形誤差應該不大于3 μm。因此以3 μm剛輪齒形誤差為標準評判插刀的有效長度。

當插刀齒數為55時，以插刀原始截面為基面的插刀為0截面插刀，刃磨后插刀基面距離原始截面β mm的截面為β截面插刀，β為正值時，插刀基面位于原始截面右側；β為負值時，插刀基面位于原始截面左側。根據不同截面插刀的等效齒形，通過插削加工數學仿真磨削，可求出不同截面插刀加工出剛輪的實際齒形，通過對比剛輪實際齒形與理論齒形可得到55齒不同截面插刀加工出剛輪的齒形誤差如圖9所示。

由圖9可知，55齒插刀加工出的剛輪齒形誤差變化趨勢隨截面變化而變化，0截面插刀加工出剛輪的齒形誤差從齒頂過渡段至齒根過渡段逐漸增加至最大。負截面插刀加工出剛輪的齒形誤差從齒頂過渡段至齒根過渡段先減小后增加至最大；負截面插刀加工出剛輪的最大齒形誤差為負值，位于齒根過渡段，最小齒形誤差位于齒頂過渡段與凸齒廓段的交界處；-0.7截面插刀加工出齒形誤差為-3 μm的剛輪。正截面插刀加工出剛輪的齒形誤差在齒頂過渡段逐漸增加，在凹齒廓段與公切段內先減小后增加，在凹齒廓段與齒根過渡段逐漸減小；正截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為正值，位于凹齒廓段與公切段的交界處，1.4截面插刀加工出齒形誤差為3 μm的剛輪。因此以剛輪齒形誤差為3 μm作為標準，插刀有效長度為2.1 mm。

4 雙圓弧剛輪插刀有效長度優化

4.1 砂輪齒形優化

當插齒刀的頂刃前角γgt;0°時，刀具的前刀面為圓錐面，前刀面和齒形表面（雙圓弧螺旋面）的交線（切削刃）為空間齒形，由于插齒刀頂刃和側刃都有后角，插刀切削刃上各點對應的不同端剖面中的齒形相當于不同變位系數齒輪的齒形，因此切削刃在基面中的投影不是插刀的理論齒形［17］。為使插刀在基面的投影齒形為理論齒形，論文將插刀切削刃離散為點，計算切削刃上各點所在端剖面內齒形的變位系數，根據變位系數，通過變位磨削加工數學模型，反求砂輪齒廓。由于頂刃后角的存在，插刀切削刃上任一點D對應的節圓半徑為

rd1=rc-zd1tanαe，（29）

則從插刀坐標系變換到砂輪坐標系的變換矩陣Msc為

cosφc-sinφcrd1φc

sinφccosφc-rd1

001。（30）

優化后砂輪齒廓數學模型為

xs=xccos φc-ycsin φc-rd1φc，

ys=xcsin φc+yccos φc-rd1。（31）

優化后的砂輪齒形如圖10所示。

由圖10可知，優化后砂輪齒形縱坐標增加，齒形位置上移，在齒根過渡段，變化最大。

根據砂輪磨削數學模型可求解出優化后不同截面的插刀等效齒形；根據優化后不同截面的插刀等效齒形可求出剛輪齒形。優化后不同截面插刀加工出剛輪的齒形誤差如圖11所示。

由圖11可知，優化后55齒插刀加工出剛輪的齒形誤差變化趨勢隨截面變化而變化，0截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為0.14 μm。負截面插刀加工出剛輪的齒形誤差在齒頂過渡段逐漸增大，在凸齒廓段逐漸減小，在公切段先減小后增大，在凹齒廓段先增大后減小，在齒根過渡段逐漸減小；負截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為負值，位于凹齒廓段；-2.1截面插刀加工出了齒形誤差為-3 μm的剛輪。正截面插刀加工出剛輪的齒形誤差在齒頂過渡段逐漸增加，在凹齒廓段與公切段內先減小后增加，在凹齒廓段與齒根過渡段逐漸減小；正截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為正值，位于凹齒廓段與公切段的交界處，1.1截面插刀加工出齒形誤差為3 μm的剛輪。因此優化后插刀有效長度為3.2 mm。相對未優化時插刀有效長度2.1 mm，延長了1.0 mm，增加了52%的有效長度。

4.2 插刀齒數優化

當插刀齒數zc變化時，插刀分度圓半徑rc、插刀與剛輪的中心距ec為

rc=mzc，

ec=mzr-zc2。（32）

根據前文所述理論，優化后43齒與68齒插刀加工出剛輪的齒形誤差，如圖12與圖13所示。

由圖12可知，優化后42齒插刀加工出剛輪的齒形誤差變化趨勢隨截面變化而變化。0截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為0.14 μm。負截面插刀加工出剛輪的齒形誤差在齒頂過渡段逐漸增大，在凸齒廓段逐漸減小，在公切段先減小后增大，在凹齒廓段與齒根過渡段逐漸減小；負截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為負值，位于凹齒廓段與公切段的交界處；-1.3截面插刀加工出了齒形誤差為-3 μm的剛輪。正截面插刀加工出剛輪的齒形誤差在齒頂過渡段逐漸增加，在凹齒廓段內先減小后增加，在公切段逐漸增加，在凹齒廓段與齒根過渡段逐漸減小；正截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為正值，位于凹齒廓段與公切段的交界處，0.9截面插刀加工出齒形誤差為3 μm的剛輪。優化后42齒插刀有效長度為2.2 mm，延長了0.1 mm。

由圖13可知，優化后68齒插刀加工出剛輪的齒形誤差變化趨勢隨截面變化而變化。0截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為0.14 μm。負截面插刀加工出剛輪的齒形誤差在齒頂過渡段增大，在凸齒廓段逐漸減小，在公切段先減小后增大，在凹齒廓段先減少后增大，在齒根過渡段逐漸減小；負截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為正值，位于凸齒廓段與齒頂過渡段的交界處；-2.5截面插刀加工出了齒形誤差為-3 μm的剛輪。優化后正截面插刀加工出剛輪的齒形誤差在齒頂過渡段逐漸增加，在凹齒廓段內先減小后增加，在公切段逐漸增加，在凹齒廓段與齒根過渡段逐漸減小；正截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為正值，位于凹齒廓段與公切段的交界處，優化后1.3截面插刀加工出齒形誤差為3 μm的剛輪。因此優化后68齒插刀有效長度為3.8 mm。相對未優化時55齒插刀有效長度2.1 mm，延長了1.7 mm。

綜上，優化前后不同齒數插刀的有效長度如圖14所示。

由圖14可知，優化后42齒、55齒、68齒插刀有效長度分別為2.2、3.2、3.8 mm，因此插刀齒數越大，插刀有效長度越長。優化前55齒插刀有效長度為2.1 mm，其齒數大于42齒插刀，但有效長度小于2.2 mm，因此論文提出的砂輪齒形優化方法有效延長了插刀有效長度。同樣增加13齒，插刀有效長度增加的長度并不相同：42齒到55齒，有效長度增加1.1 mm，55齒到68齒，有效長度增加0.6 mm。

5 結 論

文中建立了基于剛輪齒廓的插削加工數學模型與砂輪磨削數學模型，分析了插刀的有效長度，并通過優化砂輪齒形與插刀齒數延長了插刀的有效長度。主要結論如下：

1） 插刀加工出的剛輪齒形誤差變化趨勢隨截面變化而變化；優化前0截面插刀加工出剛輪的齒形誤差為2 μm，優化后0截面插刀加工出剛輪的齒形誤差趨于0。

2） 優化后正截面插刀加工出剛輪的齒形誤差最大值為正值，位于凹齒廓段與公切段的交界處；負截面插刀加工出剛輪的齒形誤差齒數較少時為負值，齒數較大時為正值。

3） 砂輪齒形優化后，隨插刀齒數增加，插刀有效長度逐漸增加；優化后68齒插刀有效長度相對于未優化時55齒插刀有效長度延長了1.7 mm，延長了81%。

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（編輯 詹燕平）

收稿日期：2021-08-27" 網絡出版時間：2022-04-02

基金項目：廣東省重點領域研發計劃資助項目（2019B090917002）。

Supported by the Research and Development Plans in Key Areas of Guangdong（2019B090917002）.

作者簡介：王仕璞（1994—），男，碩士研究生，主要從事諧波減速器加工刀具研究，（E-mail）598534484@qq.com。

通信作者：宋朝省，男，教授，博士生導師，（E-mail）chaoshengsong@hotmail.com。