“及時小結”：啟發式教學的重要環節

摘要：我國著名數學教育家鐘善基先生在上個世紀末進行的全國初中數學優秀課展評活動上指出，啟發式教學要重視“及時小結”．具體落實在新授課教學中，則要在復習引入時、新知生成時、例題講評時、變式訓練時、課堂小結時、當堂反饋時等環節重視“及時小結”．

關鍵詞：及時小結；啟發式教學；新授課

近期讀鐘善基[1]先生的一篇舊文《從教師的角度談數學教學對教師的幾項基本要求》，文中特別提到要重視啟發式教學，并指出啟發式教學的一個重要環節——及時小結．筆者深有共鳴，結合初中數學新授課教學活動中的一些“及時小結”，筆者整理出對不同教學活動中“及時小結”的初步思考，以供交流討論．

1 復習舊知時的“及時小結”

“復習舊知，引出新知”是很多新授課開課階段的教學環節，既可以反饋學生對之前所學內容的掌握情況，又可將舊知的情境作為生長點，引申出新知的學材．而復習舊知環節時的“及時小結”，往往能更好地引出新知．比如，為了研究“一元二次方程根與系數的關系”（即“韋達定理”），開課階段一般都會安排幾道簡單的解一元二次方程（二次項系數為1）的訓練題，在學生求出它們的解之后，教師需要“及時小結”，提出兩個小結問題.

小結問題1 請同學們觀察這些一元二次方程的兩個根與各自方程的系數有怎樣的關系？（學生往往能觀察發現規律：兩根之和等于一次項系數的相反數，兩根之和等于常數項.）

小結問題2 若關于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（p，q為常數）的兩實數根分別為x1，x2，你能否根據上面的觀察和發現，寫出兩根之和、之積與系數之間的關系，并證明你發現的規律．

設計意圖：這兩個針對復習舊知的“及時小結”問題，就是探究發現新知的情境．在此基礎上，學生從特例出發，發現了一元二次方程根與系數的關系，為繼續“一般化研究”提供了鋪墊和基礎．

2 新知生成時的“及時小結”

在師生對教學情境完成解讀、探究、分析之后，學生可歸納概括出新知，這時教師應開展“及時小結”.具體包括對所得新知進行更加規范嚴謹的文字概括、必要的板書，對所對應的圖形語言或符號語言進行準確表達，等等，使得新知以更加豐富的面貌呈現在學生面前．如，學習“等腰三角形的性質”時，學生經過猜想并運用不同的輔助線證明得到“等邊對等角”之后，教師就可有序進行如下“及時小結”．

第一步：板書定理.等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．

第二步：符號語言表達.如圖1，因為AB＝AC，所以∠B＝∠C．

第三步：擴大成果．繼續提問學生——剛剛在證明過程中，同學們有不同的輔助線添加方式（如作頂角的平分線，作BC邊上的高，作BC邊上的中線），最終都能證明三角形全等，實現問題的解決．分析發現“這三條線段”應該是同一條線段，即它們互相重合，那么我們就能得到等腰三角形又一個重要的性質——“三線合一”．同學們能用完整的語言敘述該性質嗎？（等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合.）接下來教師板書“三線合一”性質的符號語言．

設計意圖：探究等腰三角形“等邊對等角”的性質時，學生的主要任務是先完成“一題多證”，教師在此基礎上“及時小結”，規范定理的表述并進行多種數學語言的示范講授，通過追問，將成果擴大到“三線合一”這一性質上．這種針對新知生成階段的“及時小結”，本質上也是新知探究和生成環節中教師主導作用的體現．

3 例題講評時的“及時小結”

數學新授課在新知生成之后，往往都會安排例題講評，主要是鞏固和運用新知．在例題講評的最后進行“及時小結”，有點類似著名數學教育家波利亞指出的“解后回顧”．比如，三角形中位線性質定理探究生成之后，安排學生探究并證明有關“中點四邊形”的例題．

例題 已知四邊形ABCD的四邊中點分別為E，F，G，H，順次連接這四個點，得到四邊形EFGH，猜想并證明四邊形EFGH的形狀．

教學組織：學生一般經過5分鐘左右就能猜想出四邊形的形狀并獨立探究出不同的證明方法，包括添加四邊形ABCD的一條對角線或兩條對角線，進而運用三角形中位線性質定理、平行四邊形的判定方法得到證明．在證明成功之后，教師可以進行如下“及時小結”．

小結問題：在證明例題的“中點四邊形”為平行四邊形的過程中，哪一步最為關鍵？你們是怎么想到“連接對角線”這樣的輔助線作法的？

回答預設：連接對角線，構造出三角形中位線的基本圖形，運用三角形中位線性質可溝通不同三角形中兩條中位線之間的數量關系和位置關系．基于兩個中點想到連接對角線可以出現第三邊，帶來三角形中位線的基本圖形，是添加輔助線的念頭．

4 變式訓練時的“及時小結”

課堂教學進入“下半場”時，常常要針對例題教學開展變式或拓展提升的練習，這類訓練對于促進學生進一步理解新知、靈活運用新知能起到重要作用．由于變式或拓展練習的難度要顯著高于例題，學生很容易遇到解題障礙，忽視易錯點，因此進行必要的“及時小結”就顯得尤為重要了．比如，在學習“完全平方公式”后，習題訓練常常是將（3x－2y）2進行“二項式的展開”，學生一般會直接運用公式（a－b）2＝a2－2ab＋b2展開；進一步，我們還可提出變式追問“能否通過恰當時改寫或變形，運用公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展開呢？”啟發學生將（3x－2y）2變形為[3x＋（－2y）]2的形式，再展開．在隨后的變式練習中，可進一步給出（x－2y＋3z）2，讓學生展開，由于之前視為整體的“鋪墊追問”，學生容易想到將（x－2y＋3z）2變形為[（x－2y）＋3z]2，再運用完全平方公式展開．學生成功解題之后，教師要進行“及時小結”，提醒學生靈活運用整體處理的解題策略，這樣往往能夠化繁為簡、突破思路．如果學生在展開過程中出現錯誤，要將其作為“生成性資源”投影展示到大屏幕上，開展糾錯與究錯教學，提醒學生積累經驗、反思教訓，這也是變式訓練環節“及時小結”的重要內容．

5 課堂小結時的“及時小結”

觀摩一些公開課教學，發現有些課堂小結經常是“通用幾句話”：本課學到了什么？本課你有哪些收獲？你感悟了哪些思想方法？你還有哪些困惑？等等．個別優秀學生配合回答，然后就完成了課堂小結．但筆者認為，課堂小結在課前一定要加強設計，所設計的小結問題一定要精準針對本課所學，不要出現上述“通用幾句話”的小結現象．以“有理數的加法”第1課時教學為例，課堂小結時可預設以下“小結問題”．

小結問題1 根據本課所學的有理數加法法則，兩個有理數相加時，你們會怎樣處理？有哪些關鍵步驟？哪一步要優先考慮？可舉例說說．

小結問題2 初中階段兩個有理數相加時，關鍵是符號問題，你在確定符號上積累了哪些經驗？

小結問題3 本節課有多道計算題，其中少數同學出現了計算錯誤，你對哪道錯題印象較深，你認為糾錯的關鍵是什么？怎樣避免這類錯誤的發生？

設計意圖：通過以上3個小結問題，引導學生先自主小結，再小組內交流，然后每個小組推薦代表在全班進行匯報．可見，這個環節教師并不需要過多干預，教師的功夫應花在課前對小結問題的設計上．

6 課堂反饋時的“及時小結”

七八年級的不少新授課中，很多教師經常在課堂小結之后安排5分鐘左右的當堂檢測，以進行課堂反饋．一般會設計3～5道小題，學生練習時，教師在小組行間巡視、及時批閱，隨后開展講評．講評之后，也要進行“及時小結”．比如，由于最后階段是限時練習，有些速度較慢的學生可能還沒來得及全部完成，講評時教師可以針對具體習題的特點，請已完成的學生分享他們的解題經驗，為什么能直接“看出答案”？為什么能快速想到“某條輔助線”，實現了問題證明？等等．為了引導優秀學生課后圍繞某道習題繼續思考、挑戰，教師還可提出一些挑戰問題或拓展問題，供學生課后繼續思考．

7 寫在最后

本文是筆者研習鐘善基先生的一篇舊文引發的隨感．事實上，由筆者的閱讀經歷發現，很多老一輩數學教育學者的真知灼見、精彩觀點，并沒有隨著年代的更替而褪色．反觀當下形形色色的教學主張、理念、模式、口號，更多地卻是翻著花樣在“玩概念”“造名詞”．像鐘善基先生用質樸的話說著我們這些普通教師都能理解的“教師要重視及時小結”，需要我們在實踐中去落實、去修煉，并不斷精進我們的專業功夫．讓我們共同努力，少一些口號，多一些務實的舉措［1］．

參考文獻：

[1]鐘善基．從教師的角度談數學教學對教師的幾項基本要求[J]．中學數學教學，1997（1）：1-5.