逐漸深入研究，借助問題翻轉

王玉娟

“分層抽樣”是湖南教育出版社遵循《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》確立的基本理念和目標要求，2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的數學（必修第一冊）第6章“統計學初步”中第二節部分6.2“抽樣”中第二節課的內容，對于統計數據的收集與應用起到關鍵作用。

一、教學內容分析

（一）地位與作用

分層抽樣是在學習了簡單隨機抽樣的基礎上，主要介紹分層抽樣的概念以及如何實施分層抽樣。綜合兩種不同的抽樣方法，為統計數據的收集與應用提供條件，為學習數據的典型性和代表性奠定了基礎。這也為后續統計知識的學習起到承上啟下的作用。

（二）重點、難點

重點：正確理解分層抽樣的定義以及對應的操作步驟，并會選取恰當的抽樣方法來解決統計中的一些現實抽樣問題。

難點：掌握分層抽樣的實施步驟；會計算總體平均數；兩種抽樣方法的比較及選擇。

二、學情分析

學生已學習過簡單隨機抽樣，但對設計合理的抽樣方法，以使樣本具有良好代表性的意識還不強。學生對于分層的標準理解不清晰，一定程度影響著教學目標的完成。

三、教法學法分析

教法：啟發探究、互動討論。

學法：自主探究、合作交流、歸納總結。

四、教學過程

（一）教學流程設計

（二）教學過程設計

◆環節一：回顧舊知，引入新課

問題1：回顧簡單抽樣的概念、特點和常用方法。

概念：簡單隨機抽樣的概念（略）。

特點：樣本中的總體個數有限，逐個進行抽取，機會均等抽樣；不放回抽取。

常用方法：抽簽法和隨機數法。

注意：抽樣調查最核心的問題是樣本的代表性，簡單隨機抽樣是使總體中每一個個體都有相等的機會被抽中，但因為抽樣的隨機性有可能會出現比較“極端”的樣本。

（設計意圖：通過復習上節所學知識，引入本節新課。建立知識之間的聯系，提高學生的概括、類比推理能力）

問題2：在上節課的情境三《1936年美國大選》中，當地雜志對候選的結果產生錯誤的預測，究其原因是民意測驗的樣本不具有代表性，出現了“壞”樣本。

（設計意圖：由生活中的問題出發，提出真實獲取數據中存在的“壞”樣本，引發學生對“壞”樣本的討論）

◆環節二：問題探究，建構新知

問題3：在上節課對樹人中學高一年級學生身高的調查中，會不會出現樣本中50個學生大部分是高個子或矮個子的情形？

師生活動：學生思考后回答，教師指出此類樣本為“極端樣本”。

（設計意圖：分析簡單隨機抽樣出現“極端樣本”的原因，讓學生感受到改進抽樣方法的必要性，為引入分層抽樣做鋪墊）

問題4：為什么簡單隨機抽樣會出現這種“極端樣本”？

師生活動：學生思考并討論，探究簡單隨機抽樣出現“極端樣本”的原因。教師引導：因為抽樣過程是隨機的，所以結果具有隨機性，有可能抽到“極端樣本”。在樹人中學高一學生身高調查中，抽到50個學生大部分是高個子或者矮個子的情況是有可能發生的。這種“極端樣本”的平均數會大幅度偏離總體平均數，從而使估計出現誤差。因此，簡單隨機抽樣存在不足，有改進的空間。

（設計意圖：通過探討“極端樣本”出現的原因，提高學生對樣本隨機性的認識，同時對總體情況進行分析，為改進抽樣方法提供思路）

問題5：如果能將身高差不多的學生放進一個類中，從中隨機抽取一些個體就可以較準確地了解該類的身高信息，但是因為我們要調查的就是身高信息，所以我們無法提前得知具體的身高數據，顯然無法根據身高進行分類。能不能通過其他信息或是指標對學生進行分類，使同類學生身高差異盡可能小？

師生活動：學生自由回答，教師引導學生認識影響身高的因素有很多，性別是一個主要因素且較容易獲取。高中男生普遍高于女生，而相同性別的身高差異相對較小。所以我們就可以利用性別和身高的這種關系，把高一年級學生分成男生和女生兩個身高有明顯差異的子總體，再分別對兩個子總體進行簡單隨機抽樣，可以在一定程度上避免出現“極端樣本”。

（設計意圖：引導學生思考如何將總體分成幾個子總體，劃分標準要與所研究的指標信息密切相關，這樣子可以有效地避免“極端樣本”的出現）

問題6：如果按照男生、女生兩個子總體抽取樣本，那么怎樣抽取男生、女生的樣本量才有利于反映總體呢？為什么？

師生活動：學生容易聯想到，按照男生、女生在全體學生中所占比例來進行分配：

這樣無論是男生還是女生，每個學生都有相同的可能性被抽到。

追問：在每個子總體中是否一定要按照比例分配樣本量？如果不是，能否舉例說明？

師生活動：引導學生思考樣本量分配的多種方式。例如：某市有民營企業9000家，該市稅務局計劃抽取90家了解其營業額等項目，現按一、二、三產業對其進行分組，每組各取30家。

（設計意圖：用問題引導學生思考樣本量的分配方式，進一步明確分層抽樣的操作過程）

問題7：某中學高一年級有712名學生，其中男生有326名，女生有386名。我們要從中抽取一個容量為50的樣本，請問男生和女生各抽取多少人？

師生活動：先讓學生分組或是獨立進行計算，再通過提問的方式，結合教師的總結，得出相應的結論。

（設計意圖：通過具體問題與實例，為進一步引入分層抽樣的定義以及具體的數學運算提供理論基礎與條件）

問題8：以上問題中，用到的不是已經學過的簡單隨機抽樣，而是具有自身特色的一種抽樣方法。我們能否給出相應的定義，以及歸納出該抽樣方法的具體操作步驟呢？

師生活動：教師通過提問學生，讓學生進行合理嘗試并歸納，在此基礎上教師進行引導并板書：

分層抽樣定義：當總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，把總體中各個個體按照某種特征或某種規則劃分為互不交叉的層，然后對各層按其在總體中所占比例獨立進行簡單隨機抽樣，這種抽樣方法稱為分層抽樣。

比例分配的分層抽樣的步驟：

（設計意圖：從分層抽樣的定義入手，結合內涵概括對應的應用步驟，對于相應的數學運算問題有很好的應用）

◆環節三：實踐操作，深化探究

例1．（教材第212頁例1）某網絡音樂平臺就網絡用戶對某一特色欄目的喜愛程度進行調查，參與網絡投票的總人數為50000。網絡用戶對欄目的評價如下表所示：

該音樂平臺為進一步了解用戶的具體想法和意見，打算從上述50000人中抽取100人進行電子郵件形式的調查，應怎樣進行抽樣？

具體的分析過程與解答過程略。

（設計意圖：借助具體分層抽樣的應用，對于保證樣本中含有各種特征的抽樣單位，以及樣本與總體兩者之間結構的一致性，特別對于提高樣本的代表性以及數據的典型性等有非常重要的作用）

例2．（教材第213頁例2）下列問題中，采用哪種抽樣方法較為合理？

（1）某微波爐廠質量檢查組為了解某批次1 000臺微波爐的使用壽命。

（2）每年6月6日是“全國愛眼日”。某縣衛生部門要調查該縣中小學生視力保護情況，已知該縣有小學生12000名，初中生10000名，高中生6000名。

（3）某校要調查該校九年級400名學生的身高和體重情況，以供該校營養師參考進而指導食堂伙食營養搭配。

具體的分析過程與解答過程略。

問題9：通過以上不同抽樣方法的選擇，不同抽樣方法之間存在哪些特點？有哪些適用范圍以及共同點呢？

歸納表格如下：

（設計意圖：讓學生認識到樣本的隨機性，特別是分層抽樣與簡單隨機抽樣兩者之間的差異，以及在具體應用問題中的合理選取與應用）

◆環節四：新知應用，鞏固內化

◇課堂小結

分層抽樣的優點、公式、注意事項，具體略。

（設計意圖：通過總結，讓學生進一步鞏固本節課所學內容，提高概括能力）

◇新知應用

具體問題這里省略。

（設計意圖：考查學生對于分層抽樣、簡單隨機抽樣的區別與聯系的學習，使其能夠在實際應用中選取最合適的抽樣方法，并會利用分層抽樣加以數學運算）

五、教學反思

通過大背景的“串聯”，從大背景中不斷提出新問題，從而通過問題鏈探究學習合理選擇抽樣方法的必要性并掌握分層抽樣方法，從而提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學建模的核心素養。教學中要注重學生的主體地位，調動學生的學習積極性，使數學教學成為數學活動的教學。

在具體教學過程中，可以多考慮以實際生活情境為切入點，尤其多融入社會主義經濟建設的成果，提出問題，激發學生的好奇心，促進學生學習的積極性。讓學生自主經歷數據的收集、整理、描述、分析、推斷、獲得信息，從而提升學生的數據分析能力。

編輯：曾彥慧

注：本文系白銀市教育科學“十四五”規劃2023年度課題“微課在高中數學翻轉課堂教學中的應用研究”（課題編號：BY［2023］G261）的研究成果。