基于GGB動態數學軟件的高中數學可視化教學實踐

劉寧

一、GGB數學軟件概述

GeoGebra數學建模軟件（簡稱GGB），可拆分為“Geo”+“Gebra”，是幾何（Geometry）與代數（Algebra）名稱的組合，是2002年由美國佛羅里達州亞特蘭大學的數學教授Markus Hohenwarter以及其國際開發團隊共同開發的，是全世界的學校都可以免費使用的動態數學軟件。這款軟件可以有效實現數、參數方程、圖形的相互轉化和動態顯示，并且可以很好地將其中的關系表達出來，幫助學生理解。教師利用這個軟件可以將數學知識以圖形的形式呈現出來，幫助學生在腦海中形成可視化的直觀形象，促進學生數形結合思維能力的發展。GGB建模軟件涵蓋了許多功能，在每個功能區都有獨特的功能，完善了各功能區之間的關聯和協作性能。

GGB建模軟件主要分為六個功能區，即代數區、繪圖區、運算區、電子表格區、3D繪圖區以及概率與統計繪圖區等，各個區域對高中數學知識的可視化呈現發揮著至關重要的作用。在代數區，主要呈現的是不同圖形的參數方程，將其參數、坐標等繪制出來，如平面圖形、空間圖形、圓錐曲線等；在繪圖區，可以通過手動輸入參數方程的形式，在這個區域自動生成圖形；在運算區，可以輸入相應的運算法則，從而快速進行代數運算，并且計算出正確的結果；而在電子表格區、3D繪圖區以及概率與統計繪圖區，可以根據相關的數學知識，通過系統的深度學習功能實現智能化生成圖形的目標。

二、GGB數學軟件應用于高中數學可視化教學的可行性分析

以溧陽市光華高級中學為例，筆者通過對高中數學教學實際進行分析并對高中部學校進行實地考察可知，當前，雖然許多學校的高中數學教學獲得了廣泛的多媒體教學技術支持，但是很多高中數學教師在教學過程中仍然使用傳統教學模式。對于一些抽象的幾何問題，教師在講解過程中只是進行語言講解，無法將其具體、形象地表達出來，學生只能憑空想象這些知識點。這種方式對缺乏抽象思維能力的學生來說，具有一定的學習難度。在這種教學方式的影響下，學生缺乏發散性思維，只能對知識點進行死記硬背、簡單套用。而高中數學的題型豐富多樣，這就導致學生在日常的學習過程中無法靈活運用知識解決問題，數學思維和實際運用能力較差。

隨著科學技術的發展，許多方便、快捷、高效的教學軟件應運而生，如GGB數學軟件。在高中數學學習過程中，學生可以自己動手拖動圖形、觀察圖形，通過實際操作和直接觀察理解數學知識，增強學生對數學知識的理解，提升學生的思維能力。此外，教師以動態的方式呈現數學知識，可以充分調動學生學習數學的積極性和主動性，將抽象、晦澀的數學知識生動、形象地呈現給學生，幫助學生深入理解這些數學知識，在一定程度上提升學生對數學知識的理解能力，充分激發學生的主動性和創造性，更好地解決高中數學教學中的重難點，促進學生數學核心素養的提升。

三、GGB軟件動態化教學的優勢

高中數學知識比較抽象，邏輯性強，對學生的空間想象能力和邏輯思維能力要求比較高。利用GGB軟件開展動態化教學，能夠使抽象的數學知識更加形象化，通過這種直觀的方式幫助學生構建更加完整的知識體系，增強學生的邏輯思維能力，提高學生的數學素養。教師在高中數學教學過程中應用GGB軟件，不僅可以向學生展示直觀、靜態的圖形，還可以利用動畫生成圖形變化的過程，使學生在觀察圖形的動態變化過程中理解抽象的數學知識。動態化的呈現形式可以幫助學生積極思考圖形和代數理論之間的關系，以繪圖的形式進行代數轉換，使學生深刻認識數學知識之間的邏輯關系，從而提高學生的自主探究能力以及抽象思維能力，促進學生全面發展。

四、GGB軟件動態數學可視化教學設計

（一）教材分析

“直線與圓的位置關系”這節內容選自新人教A版高中數學選擇性必修第一冊第二章的第5小節。本節內容旨在利用代數方法研究直線與圓的位置關系，在學生對初中幾何中直線和圓的形狀有一定認識的基礎上，挖掘兩者之間“數”的關系，進一步提升學生理解和解析幾何數學知識的能力，有效實現幾何問題和代數問題的轉化能力提升。

（二）學情分析

學生經過初中幾何知識的學習，已經基本了解直線與圓相交、相切、相離的位置關系，并且學會了判斷位置關系的兩種方法。在本章前4節的內容中學習了直線的傾斜角與斜率、圓的方程、直線方程以及直線的交點坐標與距離公式等知識，為本節內容的學習做了基礎準備。學生基本上已經掌握了利用方程組確定直線的交點的方法，并且具有運用坐標法研究點與圓的位置關系的基礎，以及一定的數形結合思想，但是其抽象思維和空間想象能力需要進一步提升。

（三）教學目標

1.利用GGB軟件演示直觀性的圖象，以此引發學生對直線與圓的位置關系的思考，打破學生在之前學習中對直線與圓的思辨模式，幫助學生更快地形成完整、系統的知識框架。

2.學生可以在GGB軟件的動態演示下，概括出直線與圓的位置關系的代數形式，同時幫助學生掌握不同位置關系的圖象形式。

3.提升學生的觀察、分析、思辨等數學核心素養，更進一步掌握數形結合的思維方式，提升學生的抽象思維能力。

（四）教學重點及難點

1.教學重點：學生掌握直線與圓的位置關系的分類判斷和應用。

2.教學難點：將直線與圓的位置關系由幾何圖形轉化為代數形式；建立直線與圓的方程，利用方程組的解來研究直線與圓的位置關系以及圓的幾何性質的應用。

（五）教學方法

教師以GGB數學軟件構建模型，以直觀性教學法、啟發性教學法以及合作探究等教學方法為主導，引導學生在GBB軟件支持下能夠更好地學習和理解直線與圓的位置關系的代數表達形式，提升學生的空間想象力、抽象思維培養以及邏輯思辨能力。

（六）教學過程

1.情境創設，問題驅動

基于當前學生對直線與圓的位置關系有著基本的幾何關系掌握的學情基礎上，基本掌握了直線與圓相切、相交、相離的位置關系。因此，教師利用GGB軟件繪制出一個直線與圓無限接近的情況（如圖1所示），并且請大家思考和討論圖中直線與圓的位置關系。

教師：請大家觀察圖中直線和圓的位置，并且思考圖中直線和圓的關系，談談你們的想法。

生A：直線與圓相切。

生B：圖中沒有直接給出直線和圓的切點，所以并不能直接判定直線是與圓相切的。

師：既然同學們對圖片上直線和圓的位置有不同的看法，那么我們利用GGB數學軟件將該圖進行局部放大之后，大家觀察這條直線是否和圓出現交點。

利用GGB數學軟件將圖片中直線與圓的位置無限接近處進行放大（如圖2所示），發現圖中直線與圓的位置的確如學生B說，直線與圓并沒有相切或相交。

教師：通過觀察圖2，我們可以發現學生B說的沒錯，圖中的直線并沒有與圓相切。由此我們知道，單純通過觀察圖片并不能得到真實的數據信息，圖象只能作為片面的參考，想要獲取精確的直線與圓的位置關系，我們就要明白：直線和圓的位置關系不僅僅體現在圖象上，還需要利用代數公式進一步進行直線與圓位置關系的判斷。

（設計意圖：利用GGB軟件的直觀性優勢，直接引入本節內容的教學重點，通過圖象中看似相切，實則相離的直線與圓的位置關系來引發學生的討論，并且引導學生思考如何才能更加精準地判斷直線與圓的位置關系，提升學生自主探究、自主學習的積極性。）

2.動態模擬，構建知識架構

教師利用GGB數學軟件繪制出既定條件：點O（x0，y0）、直線l：x0x+y0y=r2以及圓C：x2+y2=r2下的圖象，并且在軟件中不斷給x0、y0以及r賦值，將制作的圖象展示給學生（如圖3所示）。

教師在教學過程中，通過滑動圖形中設定r及F點，以此改變圓的大小及直線的位置，并且讓學生合作探究、觀察思考直線與圓的位置關系變化。

師：同學們，現在老師保持圓的直徑不變，拖動F點的位置，大家觀察直線與圓的位置關系是怎么樣呢？

生C：當F點保持在圓C外時，無論怎么滑動r按鈕，直線l和圓C始終相交并且有兩個交點；而當F點在圓C上時，直線l與圓C只有一個交點，但是當F點在圓C內時，直線l和圓C沒有交點。

教師：對，在不斷改變F點位置的過程中，對應的直線l和圓C的位置就會產生相應的變化。這三種對應的位置關系可以分為相切、相離、相交，而利用直線方程將圖中三個位置關系的變化表示出來，可以表示為：x0x+y0y=r12，當r12=r2時，直線與圓相切；當r12＞r2時，直線與圓相離；當r12＜r2時，直線與圓相交。這就是直線與圓的位置關系在代數上的體現。

（設計意圖：利用GGB軟件設計直線與圓的位置關系，動態演示二者位置關系的變化過程，以直觀、動態的形式讓學生觀察圖片上直線與圓的位置變化，繼而積極思考并總結直線與圓的代數方程形式，從而實現更加準確地表達直線與圓的位置關系。）

（七）家庭作業設計

根據以下給出的條件，判斷直線與圓的位置關系：

（1）l：x+y-1=0，C：x2+y2=4

（2）l：4x-3y-8=0，C：x2+（y+1）2=4

（3）l：x+y-4=0，C：x2+y2+2x=4

（4）l：y=0，C：（x-1）2+（y-1）2=1

（設計意圖：通過設計相關的題目，讓學生在實踐操作中加強對課上所學知識的理解，深刻地認識直線與圓的位置關系的代數表達形式。學生還在此基礎上進一步鞏固了對直線與圓的不同關系的認知，從而對直線與圓的位置關系的代數形式形成完整的應用框架。）

五、結語

綜上所述，GGB數學建模軟件為高中數學教學提供了動態性的輔助教學功能，教師可以利用這個軟件對抽象化的數學知識進行動態化、可視化呈現，讓學生在動態模擬中領會數學知識的內涵，培養學生的空間想象力和邏輯思維能力，提高學生的數學核心素養。

編輯：陳鮮艷