基于水平視角的小學生量感素養培養探究

作者簡介：周素云，1972年生，廣西柳州人，本科，一級教師，主要研究方向為小學數學教學；廖樹山，1971年生，廣東梅州人，本科，正高級教師，主要研究方向為教育測量。

摘 要：由《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的量感內涵可以提煉出量感素養培養的三個水平層次，即直觀感知、測度體驗和測算結合。基于“教—學—評”一致性，在培養學生量感素養的教學中，教師可以通過設計直觀感知活動幫助學生積累感性經驗、通過設計測度體驗活動幫助學生積累度量經驗、通過設計測算結合活動發展學生的量化思維，從而達成對學生量感素養的遞進培養目標。

關鍵詞：水平視角；量感素養；直觀感知；測度體驗；測算結合；小學數學核心素養

中圖分類號：G62 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）16-0108-05

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）首次提出了“量感”這個核心概念，把它作為數學核心素養的主要表現之一，并作為小學生學會用數學的眼光觀察現實世界的數學抽象能力之一。量感素養的培養，為小學數學教學帶來了新的挑戰。如何正確地認識和理解量感素養，并基于“教—學—評”一致性、“教—學—評”一體化在教學實踐中有效培養和發展學生的量感素養，成為我們的重要研究課題。

一、量感素養的培養維度解析

《2022年版數學課標》指出：“量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。知道度量的意義，能夠理解統一度量單位的必要性；會針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量，會在同一度量方法下進行不同單位的換算；初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計度量的結果。”［1］7從“教—學—評”一致性角度分析量感素養的培養維度及量感素養發展的水平層次，有利于教師有效實踐“教—學—評”一體化。

首先，量是可感的。量感反映人們對事物量的屬性的直觀感知，比如長度給人一種距離感，面積給人一種大小感，體積給人一種空間占有感；量感還反映人們對事物大小關系的直觀感知，比如人可以直觀感知桌面比床面小一些、比凳子的面大一些、比書本的面大很多。也就是說，事物的量首先具有可感性，人們量感素養的習得，首先表現為對事物量的屬性和大小關系的直觀感知。由此我們可以提煉出學生量感素養的第一個水平層次“直觀感知”，這也是小學生量感素養形成的基礎水平。

其次，量是可測量的。事物的量是有大小、多少、長短之分的，也就是說量是可測量的。針對量的可測量屬性，我們可以提煉出量感素養的第二個水平層次“測度體驗”。與第一個水平層次的“直觀感知”用定性的模糊語言描述量的屬性和大小關系相比，第二個水平層次的“測度體驗”開始要求用定量的精確語言描述量的大小，對學生提出了更高的要求：學生要先知道事物的量是可測量的，度量的意義是要精確描述事物的大小、多少、長短等客觀屬性；然后才考慮選擇合適的度量單位、制造度量工具、用度量工具對事物的可測量屬性進行精確度量。在教學實踐中，教師要指導學生經歷度量的全過程，包括認識統一度量單位的必要性、確立單位量的表象、經歷真實度量的過程，讓學生在頻繁的度量體驗中，積累度量經驗，逐漸發展量感。由此可以看出，第二個水平層次的量感素養，是小學生量感素養形成的關鍵。

最后，量是可計算的。《2022年版數學課標》指出：建立量感有助于養成用定量的方法認識和解決問題的習慣，是學生形成抽象能力和應用意識的經驗基礎［1］7。定量的方法可以理解為量化思維，由此可以看出量的可算性，于是我們提煉出量感素養的第三個水平層次“測算結合”。“測算結合”要求學生學會運用“測量+計算（推理、轉化等）”的方法去獲得度量的結果，比如要測算圖形的面積，可以先測量邊的長度，再運用各邊的數量關系去計算出該圖形的面積；要稱一個較大物體的質量，可以用等量代換法先把大的物體拆解成若干個小件逐一稱重，再用“部分量+部分量=總質量”的算法獲得度量的結果。這一量感水平體現了學生已經達到在數理抽象層面理解量、理解量與量之間關系的能力水平［2］。可以這樣說，這個水平層次的量感素養培養，可以將學生的量感由低級的直觀認識水平通過進一步的抽象上升到高級的數理認識水平，因此它也是學生量感素養發展的最高水平。

二、基于水平視角的量感素養培養實踐

事物的可測量屬性客觀上可以對應不同的量，因此，培養學生量感素養的方式方法和承載介質也會有所不同。但是，從整體上看，不同量感的形成和發展過程基本相似，都要經歷一個“認識量—感知量—度量量—發展量”［3］的過程。其中，“認識量”指的是對事物的數量、大小、長短等屬性的認識和理解；“感知量”指的是通過觀察和實踐，對事物的大小、重量、長度等進行感知和體驗。因此，“認識量”和“感知量”可一并歸入量感素養培養的第一個水平層次“直觀感知”。“度量量”指的是如何使用具體的度量單位描述和比較不同的量，并掌握度量工具的使用方法。因此，“度量量”可歸入量感素養培養的第二個水平層次“測度體驗”。“發展量”指的是在量的認識、感知和度量方面的能力和素養的逐步發展和提升。因此，“發展量”可歸入量感素養培養的第三個水平層次“測算結合”。下面我們基于“教—學—評”一致性、“教—學—評”一體化理念，結合教學實踐闡述培養學生三個水平層次量感素養的策略。

（一）直觀感知是形成量感素養的基礎，可以幫助學生積累感性經驗

學生量感素養的培養始于對事物可測量屬性和大小關系的直觀感知。史寧中教授說過，“對數量多少的感知和對距離遠近的感知”［4］是人的先天本能，這兩個先天本能是人能夠理解和研究數學的思維基礎。正如教育家杜威所說，一切理性思維都是以身體經驗為基礎的。從具身認知理論的角度看，人的認知活動是生理體驗激活心理感知，強調人們在認識事物時，使用身體的肢體動作以及身體的感覺器官接受外界的信息刺激，從而獲得相關的信息體驗并將這種信息體驗轉化為相關的認知行為。量是事物自然存在的各種屬性，不同的屬性對應不同的量，一種屬性對應一種量。在基于量感素養培養的小學數學教學中，教師應讓學生清楚地知道什么是“事物的量”，有些“事物的量”是可測量的。在小學數學教學中，教師運用具身認知理論培養學生的量感，就是要讓學生的感覺器官充分參與到基于量感素養培養的相關數學體驗活動當中。

例如，在教學長度單位前，教師應讓學生明白長度是事物的客觀屬性之一，同時也是一維空間的度量，指的是點到點的距離。與長度屬性對應的量包括厘米、分米、米等。但是這些概念對于低年級的小學生來說過于抽象、難以理解，于是教師便可以讓學生通過實物操作體驗來理解長度概念的本質，感知其可測量屬性。比如讓學生先觀看一只螞蟻沿著一片樹葉邊緣走一圈的視頻，然后問螞蟻走了多長的路線，以此觸發學生的思考；繼而引導學生嘗試用一根細線去比畫樹葉邊緣的長度，再將細線拉直成為一條線段。操作體驗到此為止，那么這條細線拉成的線段有多長呢？學生此時已經知道可以用刻度尺來測量了：用刻度尺的0對著線段的一端，另一端在刻度尺上對應的數值便是線段的長度值。于是，線段可測量，螞蟻走過的路線也可以測量，這便是事物的可測量屬性；測量線段兩段的距離，也就是測量線段兩端的長度，可以得到線段長度的量，也就是螞蟻走過的路線長度的量。在這個案例中，學生通過視覺觀察和手部操作（用細線去比畫樹葉邊緣、拉直細線）去感知、通過思考測量方法判斷事物（螞蟻所走路線長度）的可測量屬性的過程，便是初步感知“事物的量”可測量、如何測量的過程。

（二）測度體驗是形成量感素養的必經過程，可以幫助學生積累度量經驗

人除了具有“對數量多少的感知和對距離遠近的感知”兩個先天本能，還具有抽象能力和想象能力這兩種特殊的能力，人可以借助這兩種特殊的能力把兩種先天本能延伸到對事物的某些指標進行量化以及對量化順序的感知上，這便觸及了度量的本質［5］。從量感素養的第一個水平層次過渡到第二個水平層次，意味著數學認知發展開始從定性比較量的大小向定量刻畫量的大小轉變。定量刻畫需要以單位量為基礎，因此理解“單位”產生和統一的必要性成為度量的前提，建立單位量的表象成為度量的關鍵，經歷度量的過程是幫助學生積累度量經驗不可或缺的過程。

1.讓學生真正理解度量單位產生和統一的必要性

度量源于生活的需要。無單位不度量。在人類歷史長河中，在數學史的發展過程中，度量單位經歷了從多元化到統一化、從自發化到標準化的發展過程。在教學實踐中，為了促進學生的認知發展，教師可以讓學生具身經歷度量單位產生的過程，從中理解度量單位產生和統一的必要性。例如，執教人教版數學二年級上冊“認識厘米”一課，教師可以先讓學生用身體尺中的“一拃”“一腳”或者用學具中的鉛筆、橡皮等作為度量單位來度量桌子等物體的長度，再逐步過渡到用厘米、分米、米等單位來度量物體的長度，使學生在實際操作測量工具進行測量的過程中慢慢體會到統一單位對于文明發展、促進交流的重要性和必要性。同樣的學習內容，青島版數學一年級下冊先是呈現了一個“阿福的新衣”繪本故事，故事中的師傅用自己的手拃去度量阿福的身體，徒弟用自己的手拃去度量布匹，做出來的衣服卻小了，阿福穿不了。使用青島版教材教學這個內容，教師可以先讓學生講講這個繪本故事，再引導學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，得出用同一個人的拃長來“統一”度量單位的必要性。學生在有趣的故事情境中很容易理解拃長的長度單位意義，并從中明白了統一長度單位的必要性。

度量源于生活的需要，新的度量單位的產生則源于尋找適合的度量單位的需要。例如，執教人教版數學三年級上冊“測量”一課，教師讓學生估一估數科書的長、寬、厚各是多少厘米。學生們估出的結果都不是整厘米數，甚至估出的教科書的厚度都不到1厘米。這時教師可提醒學生：如果想得到比較精準的結果，就應該有一個比厘米更小的計量單位。于是憑借之前的學習經驗，學生認為可以將1厘米平均分成10份，從而順利引出了毫米單位的概念。這樣的學習過程，可以促進學生對新單位產生過程的自主認識，使他們明白當原有的度量單位不能滿足新的度量需要時便應該制造一個新的適合的度量單位。也就是說，新的度量單位的產生是為了滿足“更適合”的度量需要。

2.讓學生學會運用多種方法建立“單位量”的表象

度量就是以單位量為標準，實測待測事物含有多少個單位量。因此，度量的關鍵是建立單位量的表象。度量不同的量，度量的單位量不同。通常來說，單位量可以分為兩類，一類是基于體感的基本單位量，另一類是基于數感的衍生單位量。

以重量單位為例，主要是學習感知克、千克和噸的重量。人對于重量的體感，其實就是“手感”，“千克”比較適合用手來感知，而“克”因其太輕而不適合用手來感知，“噸”因其太重身體無法承受。因此，重量單位中的基本單位量就是“千克”。比如，將兩包鹽定量刻畫為1千克，教學時，學生可以用手先掂一掂兩包鹽，初步產生1千克的體感；再猜一猜某件大約為1千克的物體，然后掂一掂該物體，和腦中初步建立的1千克體感作比較，調整腦中所猜1千克物體的重量，使之與標準的1千克體感逐漸靠近，從而逐步建立起1千克的表象。

當穩固建立起“千克”這一基本單位量的表象之后，教師就可以沿著數感這條路徑，運用分分合合的思想，衍生出超小量“克”和超大量“噸”這兩個單位量的表象了。教學時，教師可以運用“分”的思想，通過平均分大米的實物演示和不斷增加鹽包數量的實物演示，幫助學生逐漸建立起這兩個衍生量的概念表象。如：將1 000克大米平均分成10份，每份是100克；再將100克大米平均分成10份，每份是10克；繼續平均分，將10克大米平均分成10份，得到1克。1克的“體感”就這樣借助1 000克的數感，在不斷平均分的過程中得以形成。同理，教師可以運用“合”的思想，將兩包鹽的重量定量刻畫為1千克以后，通過逐漸增加鹽包的數量，最終用2 000（數感）包鹽的重量便可定量刻畫出1噸這個單位量的表象。可見，學生建立“單位量”的表象，源于實實在在的體感加上有根有據的數感推演。

3.讓學生在經歷度量實操的過程中明晰度量的本質

度量這個概念時常被人們誤解為簡單地用工具測量，其實這只是度量的形式，而度量的本質是單位量的累積，也就是用單位量與待測物體進行比較，來確定待測物體含有多少個單位量，然后用“數+量”的形式去表達度量的結果。正如教育家杜威所說，一盎司的經驗勝過一噸的理論。學生的數學活動經驗通常來自直接經驗和間接經驗兩種，且間接經驗需要以直接經驗為基礎。

以一維長度為例，學生可以通過度量獲得直接的量感經驗。如：用1分米長的紙條去貼米尺，用了10根紙條貼完了1米長的米尺，同時體會到米和分米之間的進率是10；接著學生用1米長的米尺去度量教室的長，用了10根米尺量出教室的長為10米。學生經歷了度量的實操，體會到測量工具其實就是將多個一致的單位量組合在一起，方便測量，以便快速得出測量結果，同時也體會到，使用工具不當會使測量結果產生誤差。

以二維面積為例，學生可以通過度量一維長度的直接經驗來獲得二維面積的間接經驗。如測量一個長4分米、寬3分米的長方形，教師可以通過課件演示，先沿著長邊鋪了4個1平方分米的小正方形，再沿著寬邊鋪了3個1平方分米的小正方形，直到把這個長方形鋪滿，一共是12個1平方分米。同理，教師還可以演示三維體積的度量過程（過程略）。

學生通過多次對物體大小與對應數量的聯結感知［3］，可以獲得或直接或間接的度量經驗，并在獲取經驗的過程中進一步理解度量的本質就是單位量的累積。

（三）測算結合是形成量感素養的關鍵，可以有效發展學生的量化思維

學生的量感發展不能停留在直觀感知和測度體驗的水平，最終必須上升到數理層面去研究量以及量與量之間的關系，也就是量感素養培養的第三個水平層次——測算結合，它是量感素養發展的最高水平——抽象水平，最終目的是讓學生形成量化思維。

1.基于量感體驗發展學生測算結合的多元視角

在量感素養培養的第二個水平層次上，學生已經積累了豐富的度量經驗，建立了單位量的表象，明晰了度量的本質。接下來的量感素養發展便是打破這種通過度量體驗獲得度量結果的單一“量感”視角，發展測算結合的多元視角，有效提升學生的量感水平，促進學生形成量化思維。例如，基于前面二維面積的度量體驗，教師可以讓學生改用測算結合的方法，先度量一維的長度，再利用長度量和面積量之間的關系，計算出二維面積的數與量；針對三維體積的度量，也可以在面積量的基礎上，利用面積量和體積量之間的關系，計算出體積的數與量。探究路程問題中“路程=速度×時間”這個關系式，可以發現路程的單位量是千米，速度的單位量是千米/時，時間的單位量是小時，這三個看似不同類的量，如何能在一起進行計算呢？上升到數理層面進行解釋，那就非常清楚了。比如速度表示單位時間里所走的路程，時間表示有幾個這樣的單位路程，根據乘法的意義就可以把它們累加在一起，獲得度量的結果，于是復合量感和單一量感達到了完美的一致，順利回歸了度量的本質，即單位量的累積。

2.通過延展運用所學知識發展學生的量化思維

數學知識與方法的習得，需要在實踐應用中得到鞏固和強化。量感素養的培養也不例外。教師通過引導學生延展運用不同種類的量感知識，促進學生綜合思維的發展，使學生可以更加全面、深入地理解和分析各種有關量的問題，進一步感悟度量的本質，發展量化思維，同時培養創新意識和實踐能力，使學生可以靈活運用量感知識，創造性地解決復雜問題。為了靈活地發展學生的量化思維，教學實踐中，教師要善于創設真實情境，引導學生運用已有的量感經驗，解決生活中的實際問題。比如可以讓學生結合“李麗1分鐘約走80米”的經驗，估測“她從家走到學校有1千米，大約需要多少分鐘？”；可以借用“同學們做早操，1平方米大約站1個人”的經驗，引導學生去分析和解決“1公頃可以站多少人？”“平方米和公頃之間有什么關系？”等實際問題。

教學實踐中，“變與不變”的數學思想通常是學生比較難理解的。巧用量化思維，可以幫助學生有效突破這個學習難點。比如平行四邊形的面積公式，就是采用等積轉化的量化思維將平行四邊形變成了長方形，由長方形面積公式推導出來的。同理，三角形、梯形、圓的面積公式也是如此得來的。對照兒童認知心理學家皮亞杰關于量的守恒規律，如果學生能夠理解等積轉化的現象，就說明學生的認知水平已經達到了具體運算階段，而這一階段是發展學生量化思維的最佳時機。

三、量感素養培養中的常見問題及解決對策

鑒于量感素養是《2022年版數學課標》新提出的一個概念，教師在培養學生量感素養的過程中出現了一些不容忽視的問題，從而在一定程度上影響了學生量感素養的發展和量化思維的形成。首先，學生對一些常見的“事物的量”的概念理解不清晰是一個普遍問題。受年齡特點和認知水平限制，小學生通常難以準確理解和把握一些“事物的量”的概念，如長度、重量、時間等，從而無法準確地感知和判斷事物的可測量屬性及大小關系。其次，學生缺乏豐富的實踐體驗是量感素養形成和發展中的重要阻礙。量感素養作為一種從感官發展而來的基礎素養，需要學生在豐富的實踐活動中通過親身體驗來感知和理解。然而，在教學實踐中，受教學條件和時間因素等的限制，學生往往缺乏足夠的實踐機會，這便直接導致了他們難以形成準確、豐富的量感經驗。最后，教師忽視對學生量感素養的培養也是一個不容忽視的問題。在傳統教學中，一些小學數學教師通常更加注重數學知識和技能的傳授，為的是幫助學生應對各種各樣的卷面考試，而忽視了對學生量感素養這種感知經驗的培養。這種教學傾向會導致學生在解決實際問題時缺乏量感支持，難以快速做出準確的判斷。

針對以上問題，我們認為教師可以從以下三個方面入手，加強對學生量感素養的培養。首先，教師應加強對“事物的量”的概念教學，通過生動的案例和豐富多彩的實踐活動，幫助學生深入理解各種“事物的量”的概念，提高學生在生活中感知“事物的量”的興趣。其次，教師應注重實踐教學，為學生提供更多的綜合實踐學習機會，讓他們在實踐中感知和理解“事物的量”，產生準確的量感，形成和發展量感素養。最后，教師應充分認識到學生量感素養培養的重要性，將其納入教學目標和教學內容，運用適合的教學策略和方法，有效培養學生的量感素養。

綜上所述，量感素養對小學生數學核心素養的形成和發展具有奠基意義。小學數學教師應充分認識學生量感素養培養的重要性，通過引導學生在直觀感知、測度體驗和測算結合中經歷“認識量—感知量—度量量—發展量”的過程，幫助學生逐漸積累量感的感性經驗和度量經驗，進而形成量化思維。只有當學生能夠用量化的方式去認識和解決問題時，才能認定他們在量感素養方面已經得到了充分的發展，達到了“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”的要求。

參考文獻

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［5］娜仁格日樂，史寧中.度量單位的本質及小學數學教學［J］.數學教學學報，2018，27（6）：13-16.

注：本文系柳州市教育科學“十四五”規劃課題“基于‘美的課堂’標準下小學數學量感培養的典型教學案例研究”（2022C17）的階段研究成果。

（責編 白聰敏）