適應(yīng)度步長的全局局部協(xié)同優(yōu)化算法

摘要： 針對現(xiàn)有優(yōu)化算法求解精度低的問題， 提出一種適應(yīng)度步長的全局局部協(xié)同優(yōu)化算法. 該算法通過均衡化個體適應(yīng)度， 動態(tài)分配每次迭代中個體的全局搜索步長和局部搜索步長， 實現(xiàn)了算法在解空間內(nèi)全局搜索和局部搜索的有效協(xié)同， 進而提升了求解精度. 實驗結(jié)果表明， 該算法在基準(zhǔn)函數(shù)測試中展現(xiàn)了較高的精度和良好的穩(wěn)定性， 并通過仿真實驗驗證了其在解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題中的有效性.

關(guān)鍵詞： 優(yōu)化算法； 均衡化適應(yīng)度值； 適應(yīng)度步長； 協(xié)同搜索； 工程優(yōu)化

中圖分類號： TP301""文獻標(biāo)志碼： A""文章編號： 1671-5489（2024）06-1419-07

Global-Local Cooperative OptimizationAlgorithm with Fitness Step Size

CHU Yali1， HAN Xuming^2，3， WANG Yanze2， L Shuai2

（1. School of Mathematics and Statistics， Changchun University of Technology， Changchun 130012， China;

2. College of Information Science and Technology， Jinan University， Guangzhou 510632， China;

3. Engineering Research Center of Trustworthy AI of Ministry of Education， Guangzhou 510632， China）

Abstract： Aiming at "the problem of low solution precision in existing optimization algorithms， we proposed a global-local cooperative optimization algorithm with fitness step size.

The algorithm achieved "effective collaboration between global and local search in "the solution space by balancing "individual fitness and dynamically allocating global and local search step sizes during each iteration，

thereby enhancing the solution precision. Experimental results show that "the proposed algorithm has "high precision and stability in benchmark function tests， and its effectiveness in solving complex

engineering optimization problems is verified through simulation experiments.

Keywords： optimization algorithm; normalized fitness value; fitness step size; cooperative search; engineering optimization

優(yōu)化問題因其變量數(shù)量多且約束條件復(fù)雜， 導(dǎo)致計算復(fù)雜度較高， 搜索空間也隨之變得極其復(fù)雜^［1］， 制約了傳統(tǒng)優(yōu)化算法在尋找全局最優(yōu)解方面的效率和準(zhǔn)確性. 群體智能優(yōu)化算法具有較強的魯棒性和通用性， 在實際應(yīng)用中優(yōu)勢顯著^［2-4］. 目前， 已構(gòu)建了基于個體間信息共享和合作機制的群體智能優(yōu)化算法， 在一定程度上緩解了優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)解的問題^［5-7］. 但現(xiàn)有部分群體智能優(yōu)化算法的求解性能仍不足， 主要體現(xiàn)在探索廣闊搜索空間時算法難以保持足夠的多樣性， 種群中個體搜索步長難以自適應(yīng)調(diào)節(jié)， 進而導(dǎo)致在逼近最優(yōu)解時全局搜索與局部搜索能力失衡.

為克服上述問題， 本文提出一種適應(yīng)度步長的全局局部協(xié)同優(yōu)化（GLCOFS）算法. 該算法通過均衡化適應(yīng)度值， 以自適應(yīng)動態(tài)設(shè)置個體在解空間中的搜索步長， 即適應(yīng)度步長， 有

效協(xié)同全局搜索和局部搜索， 平衡算法的勘探和開發(fā)能力. 在全局搜索中， GLCOFS算法利用全局適應(yīng)度步長指導(dǎo)個體圍繞當(dāng)前全局最優(yōu)解進行精細(xì)搜索， 提升算法的開發(fā)能力以逼近更優(yōu)解； 在局部搜索中， 個體以其當(dāng)前位置為基點， 結(jié)合局部適應(yīng)度步長以及全局最優(yōu)個體和隨機個體信息， 拓寬搜索范圍， 挖掘潛在優(yōu)秀解， 增強算法的勘探能力. GLCOFS算法在每次迭代中靈活調(diào)配個體的搜索行為， 實現(xiàn)全局與局部搜索的緊密協(xié)同， 有助于種群跳出局部極值， 提升優(yōu)化問題解的精度.

1"GLCOFS算法

1.1"種群初始化

GLCOFS算法初始化種群， 先生成一個均勻分布的隨機群體X={X1，…，Xi，…，XN}， 其中N表示種群中個體數(shù)量， Xi={Xi，1，…，Xi，d，…，Xi，dim}表示第i個個體， dim為優(yōu)化問題的維度. 然后用下式獲得初始群體：

Xi，d=Xmin+r1（Xmax-Xmin），（1）

其中Xi，d為種群中第i個個體在第d維搜索空間的位置， r1為0～1內(nèi)的隨機數(shù)， Xmin和Xmax分別為優(yōu)化問題的下限和上限.

1.2"種群動態(tài)劃分

GLCOFS算法在每次迭代中將種群動態(tài)隨機劃分為兩組： X^t，G1和X^t，G2， 分別側(cè)重于全局搜索和局部搜索. 第t時刻種群劃分如下：

X^t，G1=randSelect（Xt，N^t，G1），X^t，G2=Xt-X^t，G1，（2）

其中： Xt表示t時刻的種群； randSelect（·）表示從種群中隨機選擇出N^t，G1個體作為X^t，G1中成員， 剩余個體加入第二組X^t，G2. 第t時刻X^t，G1和X^t，G2中個體數(shù)量為N^t，G1=r2×N，N^t，G2=N-N^t，G1，（3）其中r2為［0，1］內(nèi)的一個隨機數(shù)， 用于控制每次迭代中第一組個體數(shù)量； N為種群中個體總量. ·為獲取不大于符號內(nèi)實數(shù)的最大整數(shù).

1.3"適應(yīng)度步長的全局局部協(xié)同搜索

1） 均衡化適應(yīng)度. 其目的是通過消除每次迭代中個體適應(yīng)度之間的量綱差異， 使個體能自適應(yīng)調(diào)整搜索步長， 從而有效指導(dǎo)個體進行多樣化搜索. 均衡化是將每次迭代中種群內(nèi)所有個體的適應(yīng)度值映射至［0，1］內(nèi)， 計算公式為

FnormStep（Xti）=F（Xti）-FminFmax-Fmin，（4）

其中Fmax和Fmin分別為t時刻種群中的最大適應(yīng)度值和最小適應(yīng)度值； F（Xti）表示種群中t時刻第i個個體的適應(yīng)度值. 均衡化適應(yīng)度融入全局搜索與局部搜索中， 以動態(tài)調(diào)整不同個體的移動步長并引導(dǎo)搜索行為.

2） 適應(yīng)度步長引導(dǎo)全局搜索. 第一組個體X^t，G1利用其在當(dāng)前時刻的適應(yīng)度步長， 在種群全局最優(yōu)解鄰域進行全局搜索. 第一組中第i個個體X^t，G1i的全局適應(yīng)度步長計算公式為

μgStep=cosFnormStep（X^t，G1i）×r3×π×tT，（5）

其中r3為［0，1］內(nèi)的一個隨機數(shù)， T表示最大迭代次數(shù). 在全局搜索中， 通過μgStep確定每個個體在下一時刻的搜索步長. 對于遠(yuǎn)離全局最優(yōu)解的個體，

μgStep值較大， 個體以較大步長搜索解空間； 而對于接近全局最優(yōu)解的個體， 則減小步長進行精細(xì)搜索， 計算公式為

X^{t+1，G1}i，d=X^t，bestd+μgStep（X^t，bestd-X^t，G1i，d），r4lt;0.5，X^t，bestd+μgStepSrand，其他，（6）

其中X^{t，best}d為種群在第t時刻的全局最優(yōu)解， Srand為搜索空間中隨機位置， r4為［0，1］內(nèi)的一個隨機數(shù).

3） 適應(yīng)度步長引導(dǎo)局部搜索. 第二組個體X^t，G2旨在結(jié)合自身適應(yīng)度步長， 在解空間進行局部搜索， 其局部適應(yīng)度步長計算公式為

μlStep=FnormStep（X^t，G2j）×tT.（7）

第二組個體X^t，G2通過與全局最優(yōu)個體和隨機個體進行信息共享， 并利用其適應(yīng)度步長， 在當(dāng)前個體領(lǐng)域展開搜索， 計算公式為

X^t+1，G2j，d=X^t，G2j，d+μlStep（X^t，bestd-X^t，G2j，d）

，r5lt;0.5，X^t，G2j，d+rn（X^t，randd-X^t，G2j，d），其他，（8）

其中X^{t，best}d和X^{t，rand}d分別表示全局最優(yōu)解和隨機個體在t時刻d維中的位置， rn為服從正態(tài)分布的隨機數(shù)， r5為服從［0，1］內(nèi)均勻分布的隨機數(shù).

1.4"計算時間復(fù)雜度分析及算法流程

GLCOFS算法的復(fù)雜度取決于種群數(shù)量N、 最大迭代次數(shù)T和問題的維度dim. GLCOFS算法的主循環(huán)執(zhí)行T次迭代， 每次迭代中， 種群中N個個體分為兩組： 第一組個體X^t，G1采用全局搜索解空間， 第二組個體X^t，G2對解空間進行局部搜索， 其算法流程如圖1所示. 因此， GLCOFS算法的時間復(fù)雜度為O（GLCOFS）=O（T（O（全局搜索）+O（局部搜索）））=O（T（N^G1dim+N^G2dim））=O（TNdim）.（9）

2"實驗及結(jié)果分析

2.1"實驗配置

1） 基準(zhǔn)函數(shù)： 選取如表1所示的CEC2017^［8］中的15個復(fù)雜函數(shù)， 并設(shè)定搜索空間維度為100進行測試， 以評估并驗證GLCOFS算法在解決優(yōu)化問題上的性能與效果.

2） 對比算法： 將GLCOFS算法與4種最新的群智能優(yōu)化算法HO，GKSO，COA，MGO進行比較.

3） 參數(shù)設(shè)置： 所有算法的種群個體數(shù)量為30， 最大評估次數(shù)為30 000， 以確保實驗的可比較性. 對每種算法獨立執(zhí)行30次， 以減少隨機因素對測試結(jié)果的影響.

4） 實驗環(huán)境： 所有對比實驗均在64位版本的Windows 10操作系統(tǒng)下使用MATLAB R2020a軟件進行實驗. 硬件平臺配置為運行頻率為3.20 GHz的英特爾酷睿i7-8700處理器， 8 GB內(nèi)存.

2.2"優(yōu)化結(jié)果與分析

在100維基準(zhǔn)函數(shù)上， 比較GLCOFS算法與4種先進優(yōu)化算法的性能， 對比適應(yīng)度值的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差值， 并給出每種算法根據(jù)適應(yīng)度值平均值的排名， 結(jié)果列于表2. 由表2可見，

GLCOFS算法達(dá)到了最高的平均求解精度， 而其平均適應(yīng)度值在所有對比算法中均位列第一， 在14個函數(shù)上， GLCOFS算法的適應(yīng)度標(biāo)準(zhǔn)差最小， 表明了GLCOFS算法在解決復(fù)雜優(yōu)化問題上的有效性.

圖2為GLCOFS算法與對比算法在部分基準(zhǔn)函數(shù)上的收斂曲線. 由圖2可見， GLCOFS算法在基準(zhǔn)函數(shù)上的收斂性能均優(yōu)于其他對比算法. 這一優(yōu)勢主要歸因于GLCOFS算法采用了個體均衡化適應(yīng)度值以協(xié)同全局搜索

和局部搜索， 使得在處理包含多個局部最優(yōu)解的復(fù)雜優(yōu)化問題時， GLCOFS算法展現(xiàn)了較強的搜索能力， 有效平衡了算法的探索和開發(fā)能力.

下面給出所有算法在基準(zhǔn)函數(shù)上運行30次后獲得的最佳適應(yīng)度值的分布， 以分析各算法的穩(wěn)定性. 圖3為GLCOFS算法與對比算法在部分基準(zhǔn)函數(shù)上的箱型圖.

由圖3可見， GLCOFS算法的箱型圖面積相對較小， 最佳適應(yīng)度值位于較低水平， 表明GLCOFS算法在多次運行中能產(chǎn)生更集中的解. GLCOFS算法在上邊緣外

異常值（圖中“+”處）的頻率遠(yuǎn)低于其他算法， 進一步表明GLCOFS算法能在復(fù)雜優(yōu)化問題下穩(wěn)定地找到近似最優(yōu)解.

3"GLCOFS算法應(yīng)用

工程設(shè)計問題因其具有復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)和大量約束條件而很難求解. 為進一步驗證GLCOFS算法的實用性和有效性， 下面在有代表性的高約束工程優(yōu)化問題壓力容器設(shè)計中進行實驗對比.

壓力容器設(shè)計的主要目標(biāo)是以最低的成本制造出一個合格的壓力容器^［9］. 該問題需要確定以下4個設(shè)計變量： 殼體厚度x1、 封頭厚度x2、 內(nèi)半徑x3和忽略頭部的圓柱截面長度x4. 壓力容器設(shè)計的數(shù)學(xué)模型為min f（X）=0.622 4x1x3x4+1.778 1x2x23+3.166 1x21x4+19.84x21x3，s.t. g1（X）=-x1+0.019 3x3≤0，""g2（X）=-x2+0.009 54x3≤0，""g3（X）=-πx23x4-43πx33+1 296 000≤0，""g4（X）=x4-240≤0.（10）

在對比實驗中， 各算法獨立求解同一問題30次， 通過收集優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)值、 平均值、 標(biāo)準(zhǔn)差和中位數(shù)全面評估GLCOFS算法. 實驗參數(shù)與基準(zhǔn)函數(shù)實驗保持一致.

表3列出了不同算法解決壓力容器設(shè)計問題的對比結(jié)果.

由表3可見， GLCOFS算法可有效求解壓力容器設(shè)計問題， 且有較好的收斂性， 如圖4所示. GLCOFS算法獲得了低于其他算法的最優(yōu)值， 展示了其出色的優(yōu)化能力， 且其標(biāo)準(zhǔn)差較低， 揭示了算法運行結(jié)果的高度集中性， 即多次求解間波動小. 此外， GLCOFS算法的中位數(shù)較低， 進一步驗證了算法的穩(wěn)定性和高效性.

綜上所述， 針對現(xiàn)有優(yōu)化算法求解精度低的問題， 本文提出了一種適應(yīng)度步長的全局局部協(xié)同優(yōu)化（GLCOFS）算法. 該算法基于均衡化適應(yīng)度值動態(tài)調(diào)整全局與局部搜索步長， 實現(xiàn)了全局搜索與局部搜索的有效協(xié)同； 通過協(xié)同搜索機制， 有效緩解了優(yōu)化問題中算法易陷入局部最優(yōu)解的問題， 顯著提高了求解問題的精度. 實驗結(jié)果表明， 在多組復(fù)雜的多峰、 混合和組合型基準(zhǔn)函數(shù)上， GLCOFS算法在收斂精度和穩(wěn)定性方

面均優(yōu)于其他最新優(yōu)化算法. 在處理含有多個局部最優(yōu)解的復(fù)雜問題時， GLCOFS算法能穩(wěn)定地找到全局近似最優(yōu)解， 有實際工程應(yīng)用價值.

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（責(zé)任編輯： 韓"嘯）