零點問題取點技巧的教學探究

［摘 要］零點問題的解析常運用零點存在定理，涉及關鍵的取點分析，準確取點是解題的關鍵。教師應重點指導方法技巧。文章從問題出發，啟發學生思考，深入探索零點問題的取點技巧，并結合實例強化，提出相應的教學建議。

［關鍵詞］零點問題；取點技巧；教學

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0004-03

利用零點存在定理判斷零點的個數是高考命題考查的熱點，該知識點也是學生學習的難點。在使用零點存在定理時，學生需要找到函數值異號的兩個點，而準確取點是解題的關鍵，具有一定的難度和技巧性。教學中，教師需要講解方法原理，引導學生掌握對應技巧，同時立足問題，引導學生感知問題，逐步掌握方法技巧。

一、由問題引發的思考

問題：已知函數[f（x）=cosx-xx2]，[x∈（0，+∞）]，試證明函數[f（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一個零點。

解析：證明函數[f（x）]在固定區間上有且只有一個零點，基本思路是借助導數的相關知識，結合零點存在定理來探索。

令[f（x）=cosx-xx2=0]，可得[cosx-x=0]，再令[g（x）=cosx-x]，要證明函數[f（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一個零點，即證明[g（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一個零點。

而[g（x）=-sinx-1lt;0]，則函數[g（x）]在[（0，+∞）]上單調遞減。進一步分析有[gπ6=cosπ6-π6gt;0]，[gπ2=cosπ2-π2lt;0]，則[gπ6·gπ2lt;0]。

根據零點存在定理可知，函數[g（x）=cosx-x]在[（0，+∞）]上有且只有一個零點。

教學引導：教師在過程解析后引導學生重點關注函數[g（x）=cosx-x]的判斷方法，顯然是采用特殊值法，即取函數上的特殊值：[gπ6]和[gπ2]，根據其異號判斷對應兩點位于[x]軸的上、下方不同位置，進一步結合函數的單調性完成證明。教學中教師需要讓學生進一步明晰：準確取點是函數零點問題的破解關鍵，需要詳細總結方法技巧，在此基礎上構建教學專題，結合問題進行取點技巧的探索。

二、取點技巧的初步教學

（一）教學指導

上述簡單地呈現了利用“特殊值”法取點的過程，這里的“取點”并不是“瞎猜胡蒙”，而是基于一定的理論分析，所取的點均為三角函數的特殊位置，便于計算。教學中教師需要引導學生明晰該方法的兩大關鍵：一是特殊位置點，考慮區間的端點以及特殊值點，當解析式中含有指數、對數或三角函數時，考慮取其中的參數無關點；二是含參點，取點的基本原則為將解析式中的含參項去參為常數，若無法實現，則先簡化其中的含參項，再配合不含參項變式調整。

（二）解題指導

［例1］當[0lt;alt;1e]時，試討論函數[f（x）=lnx-ax]的零點個數。

過程指導：先判斷函數的單調性，再結合零點存在定理得出零點個數，其中第二步需要進行取點判斷。

先對函數[f（x）]求導，即[f（x）=1x-a]，[x∈（0，+∞）]，分析可知函數[f（x）]在[0，1a]上單調遞增，在[1a，+∞]上單調遞減。而[f1a=-1-lnagt;1-1=0]，當[x→0]時，[f（x）→-∞]；當[x→+∞]時，[f（x）→-∞]，從而可判斷函數單調區間上的分界點，顯然就是在[0，1a]和[1a，+∞]上進行取點。

再對函數取點分析：分析可知[1agt;e]，易知[1∈0，1a]， [f1=-alt;0]，而[f1agt;0]，因此函數[f（x）]在[0，1a]上有一個零點。

下一步需要在[1a，+∞]上找到滿足函數值小于零的點，因為[1agt;e]，所以可以考慮[1a]加一個正數或乘一個大于1的數，但不便于后續運算。考慮到[1agt;1]，故[1a2gt;1agt;1]，而[f1a2=-2-1alt;-2-elt;0]，顯然在[1a，+∞]上有一個零點，從而可得出結論：函數在定義域上有兩個零點。

解后思考：采用特殊值法進行取點分析，為簡化含參[ax]項，故取點的出發點為[f1a]，根據題目要求來確定與[f1a]異號的點，從而確定了探索方向。運用特殊值法取點分析時，應關注區間的端點以及適當放縮后的特殊點。

三、取點技巧的深入教學

（一）教學指導

在對零點問題進行取點時，還可以采用內點效應。教學中教師需要引導學生明晰內點效應的概念，再結合實例進行指導。

內點效應的概念：函數[g（x）]和[h（x）]在區間（a，b）上，若[g（a）gt;h（a）]，則取任意的[m∈（h（a），g（a））]，則不等式組[g（x）gt;m，h（x）lt;m]有解，且這個解集中所有的[x]都滿足[g（x）gt;h（x）]；若[g（a）lt;h（a）]，則取任意的[m∈（g（a），h（a））]，則不等式組[h（x）gt;m，g（x）lt;m]有解，且這個解集中所有的[x]都滿足[g（x）lt;h（x）]。

分析上述概念，顯然利用內點效應可將一個不可解的不等式轉化為一個可解的不等式處理；靈活利用內點效應，可以幫助我們在使用零點存在定理判斷根的存在性時進行取點分析。

（二）解題指導

［例2］已知函數[f（x）=lnx-x+1x-1]，判斷函數[f（x）]在定義域上零點的個數。

過程指導：第一步，先引導學生判斷函數的單調性，并初步判斷在區間上可能的零點個數情況。

根據題意可知，函數的定義域為（0，1）∪（[1，+∞]），理由如下：[f（x）=lnx-x+1x-1=lnx-2x-1-1]，顯然函數[f（x）]在（0，1）和（[1，+∞]）上單調遞增，因此每個區間上的零點個數最多為1。

第二步，進行取點，分步討論函數在[（0，1）]和[（1，+∞）]上的零點個數。

①討論（0，1）上的零點個數。由“[x→0]時[f（x）→+∞]；[x→1]時[f（x）→-∞]”可判斷函數[f（x）]在（0，1）上應該有一個零點。下面再利用內點效應取點判斷符號。

[f（x）lt;0?lnxlt;x+1x-1]，令[g（x）=lnx]，[h（x）=x+1x-1]。

當[x→0]時，[g（x）→-∞]，且[h（0）=-1]，分析可知[m]取值的區間為[（-∞，-1）]，可取[m=-2∈（-∞，-1）]，則不等式組[g（x）lt;-2，h（x）gt;-2?lnxlt;-2，x+1x-1gt;-2?0lt;xlt;1e2]，取[x1=1e2]，則[f1e2=3-e2e2-1lt;0]。

當[x→1]時，[g（1）=0]，[h（x）→-∞]，分析可知[m]取值的區間為[（-∞，0）]，可取[m=-1∈（-∞，0）]，則不等式組[g（x）gt;-1，h（x）lt;-1?lnxgt;-1，x+1x-1lt;-1?1elt;xlt;1]，取[x2=1e]，則[f1e=-21-egt;0]。

顯然函數在（0，1）上有一個零點。

②討論[（1，+∞）]上的零點個數，參考上述的方法思路。

當[x→1]時，[g（1）=0]，[h（x）→+∞]，故取值區間為[（0，+∞）]，可取[x3=e]，則[f（e）=1-1+ee-1lt;0]；

當[x→+∞]時，[g（1）=+∞]，[h（x）→1]，故取值區間為[（0，+∞）]，可取[x4=e2]，則[f（e2）=2-1+e2e2-1=e2-3e2-1gt;0]。

顯然函數在[（1，+∞）]上有一個零點。

綜上可知，函數[f（x）]在定義域內有2個零點。

解后思考：從上述的取點分析過程來看，內點效應起到了關鍵的“中介”作用，將常規的“猜點”轉化為有跡可循的分析推導過程，通過轉化生成簡單的不等式再求解，確保準確取點。另外，對于零點問題，若可以將其轉化為兩個函數圖象的交點問題，且函數為“一定一動”，也可以先初步判斷函數零點的個數和位置，再進行取點分析。

四、取點技巧的拓展教學

（一）教學指導

零點問題的“取點”技巧，除上述兩種外，還有一種特殊的方法技巧，即融合了放縮思想的“放縮取點”法。其原理易懂，即無法直接取點時可以對函數適當放縮，將其放縮成一個易解方程的函數，使用時需注意論證在規定的定義域。

放縮法取點的關鍵有兩個：一是明晰放縮對象；二是根據增減的速率合理選取放縮的方法，基本原則為不改變函數的變化趨勢。

教學中教師需要指導學生掌握放縮取點的方法技巧，常用的有以下三種：

①根據函數的有界性來放縮，把握定義域范圍下函數的取值范圍。

②根據曲線情形來放縮，實則為“化曲為曲”，即當函數圖象為曲線時，不可將其放縮為直線。常見的放縮不等式有[exgt;x2]，[ex=ex22gt;x22=x24]，[exgt;-1x（xlt;0）]，[lnxlt;x]。具體選擇哪種，需靈活依題而定。

③根據切線放縮，將指數函數、對數函數放縮為一次函數，即“化曲為直”。常見的放縮不等式有[ex≥x+1]，[ex≥ex]，[lnxlt;x-1]，[lnx≤xelt;xk（0lt;klt;e）]。

（二）解題指導

［例3］已知函數[f（x）=ae2x+（a-2）ex-x]，試回答下列問題：

（1）討論函數[f（x）]的單調性；

（2）如果函數[f（x）]有兩個零點，試求[a]的取值范圍。

過程指導：第（1）問為單調性討論，實則也是為了便于第（2）問的零點討論。通過求導即可確定結論：若[a≤0]，則[f（x）lt;0]，所以[f（x）]在（-∞，+∞）單調遞減；若[agt;0]，則[f（x）]在[（-∞，-lna）]上單調遞減，在[（-lna，+∞）]上單調遞增。

對第（2）問進行取點指導，同樣需要考慮[a]的取值范圍。

當[a≤0]時，可知[f（x）]至多有一個零點；當[agt;0]時，則當[x=-lna]時，[f（x）]取得最小值，且最小值為[f（-lna）=1-1a+lna]。如果函數有兩個零點，則需[1-1a+lnalt;0]，可得[0lt;alt;1]。

分析函數的變化趨勢，可知：當[x→+∞]時，[f（x）→+∞]；當[x→-∞]時，[f（x）→+∞]。顯然只需要在[（-∞，-lna）]和[（-lna，+∞）]內取點，即可滿足函數值大于零。

因為[-2∈（-∞，-lna）]，且[f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2gt;-2e-2+2gt;0]，所以[f（x）]在[（-∞，-lna）]內有一個零點。

又因為[f（x）=ae2x+（a-2）ex-xgt;ae2x+（a-2）ex-ex=ex（aex+a-3）]，令[aex+a-3=0]，可得[x=ln3a-1gt;ln1a=-lna]，從而可判斷[fln3a-1gt;0]。

綜上，[a]的取值范圍為（0，1）。

解后思考：上述取點過程采用了放縮法，且是根據切線來進行的放縮，將函數放縮為常規的一次函數，實現“化曲為直”，進而完成取點，確定零點情況。教學中教師需要指導學生明晰每一種放縮法的實質，以及對應的放縮原則，避免無效放縮或錯誤放縮。

五、教學指導建議

導數零點問題是高中數學的重難點問題，對學生的運算能力、知識運用能力以及邏輯推理能力有著較高的要求。導數零點問題的解析過程較為繁復，涉及眾多步驟，教師若僅關注其基本思路的講解，而忽視關鍵的細節、方法講解，則不利于學生學習，也難以顯著提升學生的能力。教師應將重點放在零點分析的每一個過程中，尤其是取點技巧的講解，可結合實例指導學生掌握取點技巧。

在具體教學中建議按照如下流程來開展：技巧釋義→示例指導→解后思考→自主練習。在“技巧釋義”環節，重點講解方法技巧的含義、使用過程、適用問題，并深入探究其本質；“示例指導”環節，注意結合針對性問題，講解使用過程，包括分析思路、邏輯推理過程等；“解后思考”環節，引導學生進一步反思解題過程，深化探索，讓學生明晰每一步的分析思路；“自主練習”環節，讓學生獨立思考解題，從而鍛煉學生的自主學習能力。

總之，對于高中數學的重難點綜合性問題，復習教學的設計要精細到具體的過程，針對解題步驟來開展教學指導，讓學生掌握解題方法、積累解題經驗。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 張文妍.淺析啟發式教學在高中數學復習中的實施[J].數學教學通訊，2023（6）：75-77.

[2]" 管良梁.例談證明函數零點唯一性問題的有效策略[J].中學數學，2023（3）：81-82.

[3]" 劉目勇.對導數零點問題中“找點”的解題探索[J].中學數學教學參考，2023（12）：23-25.

（責任編輯 黃春香）