高中函數教學中逆向思維能力培養的策略研究

摘 要：本文先梳理國內相關文獻，研究數學逆向思維的背景；然后，對兩所高中的學生和教師進行了問卷調查和試卷測試；最后，根據調查結果和理論研究，提出高中函數教學中培養學生逆向思維能力的策略，并得出：學生對逆向思維了解不足、教師對學生逆向思維的培養不夠重視、課堂教學中對逆向思維的滲透不足等結論.

關鍵詞：高中函數；逆向思維；能力培養；邏輯能力

傳統數學教育注重知識，學生通過死記硬背和題海戰術應對問題，導致對數學思想方法理解不足.在新課標的背景下，學生要學會運用數學思維，發現并解決學習與生活中的問題.［1］因此，提升學生的數學思維能力刻不容緩，而其中的逆向思維是較為容易被忽略的.逆向思維在數學方法中常有體現，如反證法、反例法和分析法等.它對函數、概率與統計、立體幾何等數學知識的學習具有重要作用.因此，在高中數學教學中培養學生的逆向思維能力非常重要.

1 高中函數教學中逆向思維能力培養的策略研究的背景

在不斷深化的教育理論和豐富的教育內容中，數學邏輯思維仍是數學教學重點，數學逆向思維也備受關注.近年來，專家學者對數學逆向思維進行了研究，并提出了相關建議.其中，在2008年時，喻平曾發表文章并提出逆向思維可以解決不少通過正向思維無法解決的難題.此后周春荔的《數學思維概論》里面也提出，正反轉化常存在于數學知識中，常見的有函數和反函數，在解決數學問題時逆向思維起到了很大的幫助.另外，馬忠林的《數學教學論》，在該書中將數學定理、公式進行了靈活運用.由此可見，隨著教育的發展，高中函數教學中逆向思維能力培養也越來越受關注，同時也越來越多地被應用在教學中.

2 高中函數教學中逆向思維能力培養的策略研究的問題

針對我市兩所高中四個理科班的學生（190名）及50名教師進行了簡短的問卷調查.教師方面涉及對逆向思維教學的重視度、對學生逆向思維能力的培養程度以及與學生逆向思維的交流頻度.學生方面則主要考查逆向思維的掌握和反思.

2.1 教師對逆向思維教學不夠重視

當學生處于高中時代時，他們開始了解逆向思維，但將其應用于解題上的比例不高.根據調查（見表1），約30.68%的學生在高中數學解題中經常使用逆向思維.這一現象的出現，除了學生自身的原因外，也與教師對逆向思維教學的重視程度有關.調查顯示，只有40%的數學教師在教學中注重培養學生的逆向思維解題能力.為了提高學生的逆向思維解題能力，教師需要意識到其重要性并采取相應的教學策略.

2.2 教師對學生逆向思維能力培養滲透不足

教師因經驗和素養不同，在課堂上對學生逆向思維的培養程度也不同.高中數學更抽象且課程豐富，教師多用“填鴨式”教學，導致學生偏向機械記憶公式，解題時思維受限.教師逆向思維教學經驗不足，學生難以運用逆向思維解題，創新性不足.當前問題是如何在教授函數板塊知識時提升學生的逆向思維能力.

2.3 教師與學生逆向思維交流不足

一線教師在教學過程中，不僅要培養學生的知識技能，還要注重學生的數學思維能力的養成.通過調查（見表2），85%的教師了解逆向思維，61.67%的教師認為函數教學可以提升學生的逆向思維能力.然而，56.67%的教師雖然會培養學生的逆向思維，但教學方式不常見；46.67%的教師雖然知道要培養學生的逆向思維，但尚未找到合適的教學切入點.

2.4 學生無法掌握逆向思維的解題方法

學生逆向思維情況可通過數據調查得出（見表2），超過70%的學生認為數學逆向思維體現在反證法和逆推證法中，少部分學生認為體現在演繹法和歸納法.但深入訪談發現，很多學生不了解這些數學解題方法的意義.大多數高中生認為，提升逆向思維能力應多學函數、三角函數、指數與對數函數.71.43%的學生認為逆向思維能力差的原因是數學基礎不牢，44.29%的學生認為原因是課業過重導致沒有思考時間和精力.

2.5 學生對逆向思維缺乏反思總結

盡管許多學生在解決數學函數問題時選擇反面角度的方式，但能成功運用的都是難度不大的題目.調查顯示（見表3），難度大的題目中，約40%的學生無法運用逆向思維.在數學課堂上，若高中生與他人觀點不同，70%的學生選擇遵從他人看法，僅27.14%的學生堅持己見.逆向思維需要打破定勢思維，但高中生習慣遵從教師，因此培養逆向思維較難.教師應鼓勵學生表達想法、整理與反思，以打破固有思考方式，解決所有數學題目.

3 高中函數教學中逆向思維能力培養的策略研究對策

3.1 更新教師觀念，重視逆向思維理論知識

新課標改革后，教師的教學觀念需要緊緊跟隨.教師的教學方式應該從過去的“填鴨式”變成以學生為主體的方式.當下的教學過程中，教師的教學觀念應緊跟時代，在教學過程中多鼓勵學生提出自己的觀念，而不是一味打壓學生的個性，造成“一言堂”的局面.當出現較難的題目時，教師除了將典型的教學思維板書在黑板上外，還應當教授學生從多方面去思考問題.通過調查能夠得出，不少教師已經意識到需要對學生的逆向思維能力進行培養，對如何培養卻沒有足夠的經驗.依照思維發展理論來看，高中生的思維有著極強的概括性以及抽象性.［2］相較于初中階段，高中函數明顯抽象難懂了許多，可新手教師也要注意到高中時期是學生的思維發展關鍵期，在教學期間要發掘學生的主體性.

3.2 研讀學科教材，滲透逆向思維方法

盡管部分教師已轉變傳統觀念，重視逆向解題思維的培養，但仍面臨教學理論不足和數學知識理解不深的問題，教師主要關注解題方法的提升，忽視數學定理和知識中的逆向思維.因此，教師需深入挖掘數學知識，聯系問題要素，找到并融入逆向思維，有意識地教授給學生.［3］例如，在講授函數極值時，高中數學教師要剖析極值與導數的內在聯系，引導學生探究導數為零的點與函數的極值點是否存在可逆關系？為讓學生學會逆向解題思維，教師可選擇反例法：f（x）=x3在x=0處導數為零，可是它并非極值點，因此，當函數為可導函數時，導數為0的點是極值點的必要不充分條件.再者，函數不可導的點也有可能是極值點，如f（x）=｜x｜在x=0處不可導，但是當xlt;0時，f′（x）=-1lt;0，當x＞0時，f′（x）=1gt;0， f′（0）=0，因此x=0是f（x）的極小值點.在教學過程中，教師通常從左到右證明公式，學生也傾向于記憶此方向的公式.但在解題時，更注重從右到左的應用.因此，為了使學生深入理解數學，教師應滲透逆向思維.

3.3 營造平等師生關系，鼓勵學生交流互助

教師在數學教學中應保持與學生平等的關系，營造輕松氛圍，激發學生學習積極性.尊重學生的理解差異，鼓勵交流、合作和分享解題思路，引導學生運用逆向思維解決問題.例如y=2x2+ax+bx2+1，已知函數的值域為［1，3］，求a，b的值.很多學生在看到這道題的時候，最初的解題思路是直接求導函數，之后再運用函數的單調性來得到最終的參數值.對于學生的這種解題思路，很多新手教師會對學生的這種思路直接否決，這樣就會大大降低學生的積極性.按照新課改的要求，學生是學習過程中的主體，所以教師需要鼓勵這些學生積極說出各自的想法.通過解決該題我們能夠得出，運用求導方式后還是沒有辦法對導數值的正負進行判斷，所以教師需要不斷鼓勵學生，讓其進行小組合作探究.

3.4 創設逆向教學情境，培養學生逆向思維能力

在人類幼年時期，逆向思維就已顯現.以司馬光砸缸為例，說明逆向思維的存在.要將逆向思維能力融入數學教學中，教師需創設逆向教學情境，同時培養正向思維.［4］以高中生為例，他們已學過函數知識，教師可借助其原有認知結構，更新學生對函數的理解.數學知識本身較為抽象難懂，如果僅依賴公式教學，學生可能會感到乏味.為了激發學生的積極性，教師可創設教學情境，引導學生通過探究數學歷史，掌握互逆轉化的能力.

3.5 反思解題過程，啟發學生一題多解

在傳統教學中，教師常用題海戰術來讓學生記憶解題思路.學生傾向于使用常規思維方式，導致思維惰性.特殊問題時，學生難以轉變思維方式.因此，學生需要掌握常規和逆向思維.教師的目標是培養學生一題多解的能力.解決函數問題時，由于其抽象性和難度，教師需注重培養學生的反思能力.例如，f（x）=2x2+（1-a）x-2gt;0對x∈（-∞，-1）恒成立，本題既可以采用分離變量的方式將題目轉化為agt;2x2+x-2x對x∈（-∞，-1）恒成立，也可以將其視為二次函數，利用二次函數的性質解題.再如，求函數y=a+bxa（agt;bgt;0）在［-1，1］上的值域，當對這類習題進行授課時，教師應當更注重教授學生多運用數學思維解題，而不是讓學生一味機械化解題.教師在培養學生逆向思維的同時，也不能讓學生的正向思維能力被壓制.教師在教授解題方法時，應講解多種典型的解題思路，讓學生學會對比各種解題方法，比較其中的優點與缺點.［5］同時，教師需更注重培養學生的逆向思維能力，畢竟只學習正向思維沒有辦法將全部的數學問題順利解決，有時也需要運用逆向思維來解決.

4 結語

在高中數學教學中，函數教學是極為重要的一大板塊.和其他高中數學知識比較起來，函數知識顯得更加抽象.當前的高中數學教學的主流思想通常是正向思維思想，而逆向思維往往被忽視.逆向思維其實屬于創造性思維，在新課標改革后，教學目標要求提升學生的數學素養，必然需要培養學生的逆向思維能力.對任何一個教育者來說，要始終保持終身學習的思想，將培養學生逆向思維能力的教學方式貫徹到底.

參考文獻

［1］孫波.條件逆轉，反向證明——逆向思維在高中數學中的運用［J］.數學大世界（下旬），2022（2）：9-11.

［2］楊效先.例談逆向思維在高中數學解題中的應用［J］.中學生理科應試，2022（2）：5-6.

［3］陳靜.高中數學“逆向思維”解題“六法”［J］.中學數學，2022（1）：62-63.

［4］瞿沖.論高中數學教學中學生的逆向思維培養［J］.高中數理化，2021（S1）：76.

［5］趙秀芹.核心素養視域下高中數學教學中學生逆向思維的培養策略［J］.數理化解題研究，2021（36）：2-3.