向量法在空間角求解中的應(yīng)用

摘" 要：向量法是一種廣泛應(yīng)用于幾何問(wèn)題求解的方法，特別是在空間角的計(jì)算中，向量法可以簡(jiǎn)化邏輯思維，是學(xué)生解答空間角的一個(gè)有力工具.文章結(jié)合例題，闡述了向量法在空間角中的幾種具體應(yīng)用，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)該方法的理解和應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：向量法；空間角；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）16-0025-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡(jiǎn)介：張振華（1985.12—），男，福建省詔安人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高考數(shù)學(xué)中，空間角是常見的一個(gè)考點(diǎn).在解答空間幾何問(wèn)題時(shí)，往往需要學(xué)生運(yùn)用空間想象能力，將復(fù)雜的三維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題來(lái)處理［1］，或者通過(guò)向量來(lái)表示空間中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，計(jì)算夾角、距離等［2］.

1" 求解空間的角大小

1.1" 異面直線所成的角大小

例1" （2018年全國(guó)Ⅱ卷）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.

解析" 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示.

由條件可知D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，3），B1（1，1，3）.

所以AD1=（-1，0，3），DB1=（1，1，3）.

所以由向量夾角公式，得

coslt;AD1，DB1gt;=AD1·DB1

|AD1||DB1|" =225=55.

即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為55.

1.2" 直線與平面所成角的大小

例2" 如圖2，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點(diǎn).

（1）求證：D1F∥平面A1EC1；

（2）求直線AC1與平面A1EC1所成角的正弦值.

解析" （1） 以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），C1（2，2，2），D1（0，2，2）.

因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，

所以E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0）.

所以D1F=（1，0，-2），A1C1=（2，2，0），A1E=（2，1，-2）.

設(shè)平面A1EC1的一個(gè)法向量為m=（x1，y1，z1），則

m·A1C1=2x1+2y1=0，m·A1E=2x1+y1-2z1=0.

令x1=2，可得y=-2，z=1.

所以m=（2，-2，1）.

因?yàn)镈1F·m=2-2=0，

所以D1F⊥m.

又因?yàn)镈1F平面A1EC1，

所以D1F∥平面A1EC1.

（2）由（1）得，AC1=（2，2，2）.

設(shè)直線AC1與平面A1EC1所成的角為θ，

則sinθ=|cos〈m，AC1〉|=|m·AC1||m||AC1|=|（2，-2，1）·（2，2，2）|3×23=23×23=39.

1.3" 二面角的大小

例3" （2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）如圖4，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC的中點(diǎn).

（1）證明：BC⊥DA；

（2）若點(diǎn)F滿足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值.

解析" （1）連接AE，DE，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，

DB=DC，所以DE⊥BC.①

因?yàn)镈A=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，

所以△ACD與△ABD均為等邊三角形.

所以AC=AB.

從而AE⊥BC.②

由①②，AE∩DE=E，AE，DE平面ADE，

所以BC⊥平面ADE.

而AD平面ADE，所以BC⊥DA.

（2）不妨設(shè)DA=DB=DC=2，因?yàn)锽D⊥CD，

所以BC=22，DE=AE=2.

所以AE2+DE2=4=AD2.

所以AE⊥DE.

因?yàn)锳E⊥BC，DE∩BC=E，DE，BC平面BCD，

所以AE⊥平面BCD.

以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED，EB，EA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖5所示，則D（2，0，0），A（0，0，2），B（0，2，0），E（0，0，0），平面DAB與平面ABF的一個(gè)法向量分別為n1=（x1，y1，z1），n2=（x2，y2，z2），二面角D-AB-F的平面角為θ.

因?yàn)锳B=（0，2，-2），EF=DA=（-2，0，2），

所以F（-2，0，2）.

即有AF=（-2，0，0）.

所以-2x1+2z1=0，2y1-2z1=0.

取x1=1，所以n1=（1，1，1）.

所以2y2-2z2=0，-2x2=0.

取y2=1，所以n2=（0，1，1）.

所以|cosθ|=|n1·n2||n1||n2|=23×2=63.

從而sinθ=1-69=33.

所以二面角D-AB-F的正弦值為33.

2 "求解空間角的最值

例4" （2020年新全國(guó)Ⅰ卷）四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.

（1）證明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD＝AD＝1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

解析" （1） 在正方形ABCD中，AD∥BC，

因?yàn)锳D平面PBC，BC平面PBC，則AD∥平面PBC.

因?yàn)锳D平面PAD，平面PAD∩平面PBC=l，

所以AD∥l.

因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中，底面ABCD是正方形，

所以AD⊥DC.

所以l⊥DC.

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以AD⊥PD.

所以l⊥PD.

因?yàn)镃D∩PD=D，所以l⊥平面PDC.

（2）如圖6建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，因?yàn)镻D=AD=1，則有D（0，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0）.

設(shè)Q（m，0，1），則有

DC=（0，1，0），DQ=（m，0，1），PB=（1，1，-1）.

設(shè)平面QCD的法向量為n=（x，y，z），

則DC·n=0，DQ·n=0.即y=0，mx+z=0.

令x=1，則z=-m.

則平面QCD的一個(gè)法向量為n=（1，0，-m）.

則coslt;n，PBgt;=n·PB|n||PB|=1+0+m3·m2+1.

所以有|coslt;n，PBgt;|=|1+m|3·m2+1=33·1+2m+m2m2+1=33·1+2mm2+1≤33·1+2|m|m2+1≤33·1+1=63，當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào).

所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為63.

3" 結(jié)束語(yǔ)

向量法和幾何法都是處理空間角問(wèn)題的常用方法.當(dāng)運(yùn)用向量法進(jìn)行求解時(shí)，建立合適的空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，該法雖然降低了思考的難度，但需要較多的代數(shù)運(yùn)算，計(jì)算量較大.幾何法的難點(diǎn)則在于輔助線的構(gòu)造，對(duì)學(xué)生的空間能力以及綜合分析能力要求較高.在實(shí)際解題過(guò)程中，需要根據(jù)具體問(wèn)題情況選擇合適的解法.

參考文獻(xiàn)：

［1］

祖康杰.靈活運(yùn)用空間向量，提升解答空間角問(wèn)題的效率［J］.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)，2023（02）：40-41.

［2］ 馬應(yīng)雄.向量方法在立體幾何問(wèn)題中的常見應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（23）：64-65.

［責(zé)任編輯：李" 璟］