六年級學生數感與量感及其關系研究
——以分數的數感與面積、體積的量感為例

侯昌東 吳啟濤

(云南師范大學初等教育學院,云南 昆明 650092)

1.問題提出

在《義務教育數學課程標準(2022 年版)》(以下簡稱2022 版新課標)中,數感和量感位列義務教育階段所要發展的數學核心素養的11 個主要表現的第一位和第二位,對小學生達成“三會”的目標有著非常重要的作用。“數感是指對于數與數量、數量關系即運算結果的直觀感悟,建立數感有助于理解數的意義和數量關系。量感是指對事物可測量屬性及大小關系的直觀感知,建立量感有助于養成用定量的方法認識和解決問題的習慣。”[1]“數和運算的核心是發展兒童的數感”[2],測量和度量單位的核心是發展兒童的量感,形成良好的數感和量感對兒童未來發展非常重要。在國內外,數感一直是數學教育領域研究的重要課題。在數感的結構和概念方面,霍雨佳等人認為“數感的內涵是一種對數量非精確、快速的知覺過程,數感的結構是由數、運算、估計和情境所組成的一個四面體形狀的結構模型”[3];孫虎等人發現“性別、數學成績都對學生的數感表現有顯著性影響”[4];徐文彬、喻平認為“培養數感的關鍵在于從熟悉‘相互獨立的’標準的計算程序到辨別數字模式和數字關系”[5]。而對量感的研究一直到2022 版新課標發布后才開始逐漸增加,這些研究主要集中在對量感概念的界定,教材中測量內容的編排以及量感的教學策略方面,如高博豪等人認為“量感的內涵包括量的感性體驗、量的理性感知、量的測量判斷、量的合理辨析、量的單位轉換、量的計算應用六個部分”[6],何學冬發現“中新兩國的數學教材中的測量內容在內容分布、內容呈現、內容編排順序、內容難易度方面的側重點各不相同”[7],孫思雨、孔企平認為“量感的培養強調數學活動、計量單位、數量關系和估測”[8]。因為在認識上對數感和量感不作區分,甚至認為數感包含量感,所以對于量感現狀的調查研究較少。

從現有的文獻研究中發現,關于數感與量感的關系研究很少。已有的研究主要從理論層面和教學層面出發,比如吳立寶等人認為“數感和量感是一組對立統一的概念,從理論層面概括了數感和量感的共性與區別”[9],肖群等人從一線教學的實操層面出發,“強調要借助學生已有數感幫助其建立對大度量單位的量感”[10]。綜上所述,已有研究中缺少從數據統計層面來揭示數感與量感關系的研究,這樣就使得討論數感與量感關系少了必要的實證基礎。六年級的學生已經學完了有關數感與量感的所有課程內容,選取這一階段的學生作研究對象具有較高的研究價值,對小學生的數感與量感培養也有重要的借鑒意義。“小學是數感與量感發展的重要階段,分數是國際上公認的小學階段最復雜、最抽象、最容易出現問題的數學概念”[11],面積與體積也是培養量感的重要課程內容。因此,以六年級學生為研究對象,以分數作為調查學生數感的內容,以面積、體積作為調查學生量感的內容,對學生的數感與量感的關系進行調查研究,試圖深入分析六年級學生的數感與量感的關系特征,為教學和研究提供實踐依據,并提出相應的教學建議供一線教師參考。

2.研究設計

2.1 研究對象的選取

基于研究條件的限制與研究可行性的實際考慮,選取了昆明市兩所公辦小學的四個班為研究對象,所選學校均為昆明市中心城區學校,師資水平與家長的社會經濟地位大部分處在中上層,每所小學選取了兩個自然班。各個班級的測試過程與具體要求保持一致,測試時間為100 分鐘。共發放問卷142 份,收回有效問卷126 份,其中男生65 人,女生61 人。

2.2 研究方法

研究采用調查研究法,將數感調查問卷與量感調查問卷整合在一起同時測驗,測試時間100分鐘,要求學生回答問卷的每道題目都必須完整地寫出自己的思考過程,不能交流也不能向監考教師詢問,測試結束后當場收回問卷。

2.3 測試卷的編制與賦分

根據2022 版新課標中的數感定義和楊德清教授的研究,“從理解數的意義和關系、比較數的相對大小、數的多重表達、運算對數字的意義和影響、估計運算結果并對結果的合理性作出解釋等五個維度”[12](以下分別用數的意義,數的大小,數的運算,數的表達和數的估算表示)來評估學生的數感,并且以分數為數感問卷的內容載體。最終測試問卷共包含5 個維度共21 個問題,其中“數的意義”維度取1-5 題的調查數據,“數的大小”維度取6-9 題的調查數據,“數字的運算”維度取10-13 題的調查數據,“數的估算”維度取14-18 題調查數據,“數的表達”維度取18-21 題的調查數據。借鑒已有的數感研究的調查方式,研究采用全選擇題、紙筆測驗的方式進行施測。

“選項的正確與否不能說明學生所具備的數感的高低,即使得分相同的學生,其數感也并不一定一致。”[13]因此,為了有效區分學生的數感,使用兩層計分模式,每個問題包含答案選項和思考過程兩個部分,滿分6 分。答案選項分值設置為2 分,選對得2 分,選錯或未選得0 分。思考過程分值設置為4 分,主要探索學生對問題的解決策略。策略分為數感思維策略、傳統算法策略、迷思概念以及猜測策略等4 種情況,根據學生展示的思維策略分別賦予4, 3, 2, 1 分。具體評分標準如表1 所示。

表1 數感問卷的評分標準

研究對量感的維度劃分主要依據了《義務教育數學課程標準(2022 年版)》中的定義,將量感分為量的推斷、量的區分等維度,以面積、體積作為量感問卷的內容載體。其中量的推斷是指不使用測量工具對某個量的大小進行推斷,設置6道題,量的區分是指從諸多單位表示的量中選擇與某個實際物體相吻合的量,以及針對真實的情景會選擇真實的度量單位進行度量,設置6 道題,最終測試問卷共包含2 個維度12 個問題。基于研究時間和研究的可行性與便利性,量感問卷依然采用全選擇題、紙筆測驗的測量方式。對量感的已有研究考察發現目前尚未開發出關于量感測試卷的雙層計分模式,因此量感測試卷采用單層計分的方法,每個問題只要求學生提供答案選項。答案選項分值設置為2 分,選對得2 分,選錯或未選得0 分。

2.4 數據的處理

使用SPSS27.0 和Excel 對數據進行描述統計、信度以及方差分析,并分析數感問卷中各維度之間的相關性。在正式分析前,對收集的問卷數據進行Cronbach'sα 系數分析,得出數感問卷的信度為0.893,表示問卷信度在可以接受的范圍之內,量感問卷的信度為0.609,因為樣本數量未超過200,且目前可供參考的量感問卷極少,導致了量感問卷信度偏低,但也在可接受的范圍之內。兩份問卷的效度檢驗均采取內容效度,在制定問卷題目時,研究者與指導教授和小數數學教師討論了每個題目的切合程度。根據其意見進行修改,建立了內容效度。

利用相關分析來分別考察數感問卷與量感問卷分層次之間的相關性。如表2、表3 所示,當顯著性水平為0.01 時,數感問卷組內兩兩相關的系數在0.384 ～0.671 之間,呈現中高度正相關,量感問卷組內兩個維度在0.01 的水平上顯著正相關。在顯著性檢驗水平為0.01 時,各維度與數感問卷總分之間的相關系數在0.721 ～0.878 之間,各維度與量感問卷總分之間的相關系數在0.772 ～0.790 之間,均達到高程度相關,表明兩份問卷的各層次與整個問卷之間具有高度一致性。

表2 數感各維度間的相關系數矩陣

表3 量感各維度間的相關系數矩陣

3.研究結果

3.1 六年級學生數感、量感發展水平與學生性別和成績的相關性

如表4 所示,六年級學生的數感與量感水平受到成績的影響比較明顯,受到性別的影響不太明顯。為了進一步分析數據,首先從性別角度對數據進行方差齊性檢驗,經檢驗,數感的6 個維度的相伴概率為0.110 ～0.759,量感的3 個維度的相伴概率為0.076 ～0.928,全部大于顯著水平0.05,可以認為各個組的總體方差是相等的,滿足方差檢驗的前提條件。從方差分析表(表5)可以看出,數感與量感各維度方差檢驗的F 值為0.013～1.993,相伴概率只有“數的估算”維度小于顯著性水平0.05,表示接受備擇假設。也就是說,從整體上看,不同性別對六年級學生的數感發展水平與量感發展水平沒有顯著影響。

表4 不同性別及學業水平的學生在數感和量感各維度上的表現

表5 不同性別對數感和量感影響的方差分析

從表4 可以看出,成績對數感、量感的表現有明顯的影響,大體上表現為學生的數學成績越高,數感與量感的水平越好。為了進一步研究,對成績維度的單因素方差分析的前提進行檢驗,數感的5 個維度及數感總分的相伴概率為0.021～0.681,量感的2 個維度及量感總分的概率為0.130～0.444,只有“數的意義”維度小于顯著性水平0.05,可能是因為樣本量太少導致的(只有67 份問卷收集到了數學成績)。因此,可以認為數據滿足方差檢驗的前提條件。從方差分析結果(表6)可以看出方差檢驗的F 值為0.923 ～20.270,除了“量的區分”維度概率大于0.05 之外,其余維度相伴概率全部小于顯著性水平0.05,可見不同成績水平對數感及數感的各個維度都有顯著的影響,對量感及“量的推斷”維度也都有顯著的影響。

表6 不同成績對數感和量感影響的方差分析

3.2 六年級學生數感與量感發展水平的關系

3.2.1 六年級學生數感與量感發展水平之間整體的相關性

從表7 中的數據可以看出,六年級學生的數感發展水平與量感發展水平二者之間的相關達到顯著水平,相關系數為0.484。

表7 數感與量感整體的相關性檢驗

3.2.2 六年級學生數感各維度得分與量感得分的相關性分析

從表8 可以看出,數感的五個維度的得分與量感總得分顯著性相關,相關性系數為0.344 ～0.425,即說明學生在數感的五個維度的得分越高,量感總得分越高,量感表現也越好。

表8 數感各維度得分與量感總得分的相關性檢驗

3.2.3 六年級學生量感各維度與數感的相關性分析

從表9 可以看出,量的推斷與數感總得分顯著性相關,相關系數為0.458,表明學生在量的推斷上的得分越高,數感的總得分越高,數感也越好。量的區分雖然也顯示與數感總得分顯著性相關,但其相關性系數明顯低于量的推斷,未達到中等相關水平。

表9 量感各維度得分與數感總得分的相關性檢驗

4.討論與結論

4.1 性別對數感與量感表現的影響

整體而言,不同性別對六年級學生的數感與量感表現沒有顯著性的影響。研究在性別對數感表現無顯著性影響的結論與范中雄等人所得出“不同性別對學生的數感表現沒有顯著性的影響”[14]的研究的結論是一致的。以往的許多研究以中學生為研究對象得出了“由于性別刻板印象對女生的負向影響及對男生的正向影響,會使男生的數學學業成績顯著性好于女生的結論”[15],但目前幾乎沒有研究證明在小學階段性別刻板印象也會對小學生的數學學業成績產生影響。恰恰與初中階段相反,“小學階段的男生數學學業成績還不如女生”[16]。因此,性別差異對不同學段的學生的數學學業水平的影響是不同的。因此,研究考察處在六三學制中的六年級學生得出的結論與孫虎、孫偉平等人考察處在五四學制中的六年級學生(初中第一個年級)所得出的“不同性別對六年級學生的數感表現有顯著性影響的結論”[17]并不沖突。六年級作為學生從小學到初中的一個過渡時期,性別差異對其數感、量感以及其他數學核心素養的影響是否顯著還需要后續的研究繼續深入探索。

4.2 成績差異對數感與量感表現的影響

數學學業成績對數感及其所包含的各個維度都有顯著的影響,對量感及“量的推斷”維度也都有顯著的影響,表現為數學學業成績越高,數感與量感表現越好。研究在成績差異方面數感表現的結論與孫虎、孫偉平等人的“數學成績對數感及其各個維度都有顯著影響的研究結論是一致的”[18],但與謝茜認為“數學學業成績與數感沒有相關性的研究結論不一致”[19]。這說明數學學業成績與數感之間的相關性受到多種因素的影響,需要后續研究進行進一步探索。數學學業成績對量感的“量的區分”維度沒有顯著性影響。這是因為對于量感中“量的區分”維度中的問題,比如“下列選項中體積約為36 立方厘米的是()”,主要依靠學生將生活經驗與度量單位建立聯系的程度,在2022 版新課標正式確立量感為核心素養之前,“小學數學教師普遍只重視量感學習中的結果,忽視了對學生量感感知水平的培養,對量感內容作生活化的講解”[20],導致學生對量的理解停留在做題階段,以至于數學成績好但缺少生活經驗的同學并不能很好地區分生活中的量,造成了成績對“量的區分”維度沒有顯著性的影響。

4.3 六年級學生數感與量感發展水平的關系分析

六年級學生數感發展水平與量感發展水平之間顯著性相關;數感的5 個維度與量感發展水平之間顯著性相關;量感的2 個維度與數感發展水平之間顯著性相關。量感的“量的區分”維度中的度量單位問題只考察學生對度量單位的把握,基本不需要學生動用數感素養,例如“你要用以下哪種正方形小格子去大概量出數學書封面的面積? A.1 平方厘米 B.1 平方分米 C.1 平方米 D.以上都不是”,所以“量的區分”維度與數感的相關系數略低。但整體而言,六年級學生數感發展水平與量感發展水平之間是顯著性相關的。研究結論也表明數感和量感在學生的認知活動中是共同發展的,學生在解決一些問題時需要同時發揮數感和量感的素養。數感與量感顯著相關的研究結論也證實了“數感和量感都來源于數量感,在計算形式、求解策略和對象表征等方面呈現出一定的共性”[21],更體現了小學數學核心素養之間的整體性和關聯性。

5.教學建議

基于研究結果、討論及結論,提出以下兩點教學建議,供一線教師借鑒與參考。

5.1 借助數感建立學生對大度量單位的量感

“學生的量感不是與生俱來的,它是從一點一滴的實踐、體驗中感悟而來的,量感的發展應該貫穿于數學教學的始終,并在數學實踐中不斷形成和豐富。”[22]但對于公頃、千米這一類較大的度量單位,在教學中無法讓學生直接感知體驗到,學生也很難依靠直接體驗和實踐獲得對較大度量單位的量感。教師在教學較大的度量單位時,可引導學生將大單位換算成學生可以切實感知的小單位,在大單位和可感知的小單位之間用數感建立聯系,借助推算、類比將抽象的大單位感性化。例如,在教授面積單位公頃時,可以借助學生對10000 的數感來幫助其建立對1 公頃的量感,可以設計將1 公頃換算成10000 平方米,引導學生用尺子測量、用熟悉的參照物估算等方法來幫助學生感知10000 個1 平方米的大小,在估測中豐富學生對10000 個1 平方米中10000 的數感,從而幫助學生建立對1 公頃的較準確的量感。

5.2 樹立數感與量感相互聯系的教學理念

“心算和估算的思維方式是依賴于經驗,在計算規則內化后,靠直覺作用,熟能生巧地得到比較準確的結果,屬于定性的思維形式”[23]。“這種定性的思維形式是數感和量感共性的起源,具體表現為計算形式、求解策略、對象表征三個方面的共性。在教材內容安排以及教學活動設計中,二者往往同時出現:“數感為量感提供理性支持,增加量感的科學性與嚴謹性;量感為數感提供可靠的抽象來源,為深入理解數及其關系提供良好的支撐點。”[24]數感、量感都起源于數量感,兩者的聯系是客觀存在的,兩者的教學培養策略是可以互相遷移的。教師要破除量感不重要的看法,更要破除孤立地看待數感與量感的看法。既要看到數感與量感的區別,也要看到數感與量感的聯系,科學地對待數感與量感這一組對立統一的概念,在教學過程中從數感與量感的三個共性入手,在課堂上將數感的教學與量感的教學聯系起來,創設有利于深化數感和量感的數學活動,增強學生的數學活動體驗,使學生的數學核心素養得到整體性的發展。

研究調查了昆明市六年級學生的數感與量感現狀,梳理了數感與量感的關系,對后續研究有一定的參考價值。由于調查地區僅限于昆明地區,且學生樣本量偏少,所得出的結論可能具有局限性和地區性,因此研究得出的結論還需要后續的研究進一步確認。數感、量感在各個年級的表現情況以及數感、量感與其他小學數學核心素養的關系都有很高的研究價值。