數學表達：培養推理意識的關鍵路徑

文∣劉飛 于蓉

數學表達是數學問題思考過程與結論外顯的手段。學生數學表達能力的強弱，反映了學生推理意識發展程度的高低。數學表達能力是學生認知能力中的一種。優秀的數學表達能力，能清晰體現學生的良好思維水平，能幫助學生內化思維模式。培養數學表達能力是推理意識發展的重要途徑，也是培養推理意識的關鍵，使學生養成良好的思維習慣。

一、課堂教學中數學表達存在的問題

(一)學生表達意愿的缺失

如果教師拋出數學問題卻常常無人作答，這其中主要有兩種原因：一是學生不愿思考、不會表達；二是學生愿意思考，卻不想或不敢表達。出現這種現象的根本原因是課堂缺乏良好的學習氛圍，學生缺乏表達的素材，這些都遏制了學生表達欲望的產生，從而限制了學生推理意識的萌發。

(二)學生表達方法的單一

在課堂上，教師往往采取這樣的提問方式“這個問題你來說一說……你說……誰再來說一說……”，學生的表達就在這樣的課堂提問狀態下結束了。單一的數學表達方式，限制了學生的思維寬度，降低了學生表達的欲望，阻礙了學生推理意識的發展。

(三)教師對學生表達過程的無視

學生在課堂上回答問題時，教師常常會緊抓學生表達結果的正確性，而忽視學生的數學表達邏輯是否清晰、思考過程是否合理等問題，對學生表達中存在的問題缺乏及時的反饋，自然影響學生理性思維的塑造。由于教師對學生數學表達過程的無視，學生無法意識到表達過程存在的問題，也就難以形成縝密的邏輯思維，這就限制了學生推理意識的進一步發展。

二、培養數學表達能力，是發展推理意識的重要途徑

(一)激發表達欲望，助力推理意識萌芽

推理是表達的前提，表達是推理的外顯。當學生具有強烈的表達欲望時，就會主動思考，積極進行問題的推理，讓推理意識萌發。因此，教師要關注學生表達情感的培養，激發學生的表達欲望。教師可在課堂中創設情境、設計有趣的問題，啟發學生的思考，激發其表達的欲望，促進其推理意識和學習內驅力的形成和發展。同時，要讓學生有話可說，就要讓學生有足夠的表達素材，素材既可以是教師提供的，也可以是學生主動獲得的。

以“圓的認識”教學為例。在教學時，為了讓學生感受圓在生活中的廣泛應用，可以創設符合學生生活實際的情境并設計有趣的問題，促使學生有意識地推理。

【情境一】

師：為什么車輪都是圓形的呢？有人知道嗎？

生1：因為圓形車輪行駛起來更加平穩、舒適。

生2：假如車輪是長方形，車子行駛時就會很顛簸，起起伏伏。

師：我們來做個實驗吧！(演示車輪在運動過程中的車軸軌跡)

師：知道是什么原因了嗎？

車輪之所以能讓車子平穩行駛，同學們知道是圓的什么特征在起作用嗎？

生：車軸位于圓心，它到地面的這一段是半徑，半徑都相等，所以車子行駛起來很平穩。

【情境二】

師：為什么井蓋一般都設計成圓形呢？我們也來做個實驗。

老師設計了三個不同形狀的井口和配套的井蓋，請同學到前面來感受一下它們的區別。

圖1 不同形狀的井蓋

師：圓形井蓋和其他形狀井蓋相比，不容易掉，是什么原因？

生1：三角形和平行四邊形的井蓋，有的地方比較窄，井蓋就可能會從井口寬的地方掉進去，這樣設計不好。

生2：圓形的井蓋寬度比較均勻，所以不容易掉進去。

師：寬度都均勻，也就是什么都相等？

生：圓的直徑都相等。

在這一教學過程中，教師通過創設真實的情境，營造良好的課堂氛圍，以生活中的井蓋等為例為學生提供有價值的表達素材，讓學生在說一說、辨一辨、做一做的過程中，有意識地推理車輪、井蓋的設計與圓的特征之間的聯系。良好的課堂氛圍充分激發了學生的表達欲望，促進了學生的思考和表達，使學生的推理意識得到萌發。

(二)注重表達和表征方法，促進推理意識形成

1.注重表達方式多樣

數學表達的方式不僅僅局限于“說話”，還包括了傾聽、閱讀、書寫等。[1]因此，要促進學生推理意識的形成，可以將多樣表達方式作為驅動，讓學生在不同的數學表達方式下有條理地思考。

以“解決問題的策略(從問題想到)”的教學為例，讓學生經歷傾聽同學說、自己說和寫一寫的過程，通過嚴謹的推理理清解題的思路。

圖2 “解決問題的策略”的教學例題

師：要求最多剩下多少元，你是怎么想的？

生1：買的東西要最便宜。

生2：兩樣物品都買最便宜的就可以了。

師：其他同學還有補充的嗎？

生3：帶的錢，減掉最便宜的衣服和鞋子錢，就是最多還剩的錢。

師：你能把想到的數量關系表示出來嗎？

生1：300元-運動服的130元-運動鞋85元=最多剩下的錢。

生2：300元-(運動服的130元+運動鞋的85元)=最多還剩的錢。

師：請嘗試列式解答。

學生在自己說一說和傾聽同學說的過程中，逐漸理解題意并完善語言表達，最后通過寫一寫，建構基礎的數學模型，積累推理經驗。

2.注重表征方式多元

數學表達是用來表征思維的，而多元的表征方式更能凸顯學生的思考過程，幫助學生分析和解決問題。數學表征包含語言、符號和圖形等，利用這些表征方式，教師能夠在教學中滲透簡單的類比或歸納思想，幫助學生推理一些初步的結論。

以“加法交換律”的教學為例。在教學上，讓學生通過多元表征，表達歸納發現，得到結論。

圖3 “加法交換律”的教學例題

師：要求跳繩有多少人，我們得到了這樣兩個算式：28+17=45(人)、17+28=45(人)。這兩個算式分別是求什么的人數？結果分別是多少？仔細觀察，有何相同和不同。

生：相同點是加數和得數一樣。不同點是兩個加數的位置不同。

師：如果用符號將它們連接，可以用什么符號？(等號)

師：觀察這些等式，你有什么發現？

生：加數位置換了，結果一樣。

師：你想怎樣表示這種規律呢？動手試一試。

生1：我是用圖形來表示：○+△=△+○。

生2：我是用字母來表示：a+b=b+a。

生3：我是用文字來表示：甲+乙=乙+甲。

生4：……

師：剛才的規律，我們一般用第二位同學的方式來表示。

師：兩個數相加，交換兩個加數的位置，和不變。這就是加法交換律。

在表達運算規律時，可以先讓學生說一說，再選擇自己喜歡的表征方式，學生既可能選擇用文字的表征方式，也可能選擇用圖形或者符號。學生通過不同的表征方式學會梳理發現，從而歸納推理出一般規律，促進了推理意識的形成。

(三)聚表達實質，促推理意識發展

在學生進行數學表達時，教師的反饋既要注重其結論是否正確，也要注重其表達是否規范、思考過程是否嚴謹。因此，可以從以下角度入手，發展學生的推理意識，提升學生的交流能力。

1.重視結論合理性，發展推理意識

學生在總結發現時，容易忽視結論是否正確，表達也不夠縝密。因此，教師有必要通過用心設計，促使學生再思考、再表達，使學生的表達更加理性且嚴謹，與推理的嚴謹性相輔相成。

以“用計算器探索規律”的教學為例。在教學這一課時，可以培養學生的質疑精神，使其注重推理結論的合理性。

圖4 “用計算器探索規律”的教學例題

師：剛才我們通過用計算器計算，發現怎樣的規律？

生：在除法計算里，如果被除數不變，除數乘幾，得到的商等于原來的商除以幾。反過來說，得到的商等于原來的商乘幾。

師：那么在其他乘法算式中是否也成立呢？我們應該怎么做呢？

生：我們還要再找一些例子來驗證。

師：把例子寫下來，用計算器驗證。

生1：我舉的例子是這樣的：600÷5=120、600÷10=60、600÷15=40。

生2：我是這樣舉例的：26640÷666=40、26640÷555=48、26640÷444=60，和剛才計算的26640÷111=240放在一起比較，符合我們剛才的發現。

師：通過這兩位同學的介紹，可以發現他們舉的例子都符合這個猜想。你們舉的例子也符合這個猜想嗎？小組交流，說說發現。

師：有沒有誰舉的例子不符合這個猜想的？

生：沒有。

師：通過進一步探究，看來我們的猜想是成立的。

在這一教學過程中，學生在得到猜想后，教師適時進行干預，判斷猜想是否正確，由此激發了學生的進一步探究，讓推理更深入，讓學生再次表達思考過程，并感悟到任何一個結論都需要經歷嚴謹的推理。

2.重視因果表達，發展推理意識

在數學教學中，教師要幫助學生認識已知條件和未知問題之間存在的因果聯系，經歷嚴謹的推理過程，厘清邏輯聯系，從而有理有據地表達。以下面問題為例：

一桶水，丈夫獨飲可飲14天，夫妻同飲可飲10天，若妻子獨飲，則可飲多少天？

師：這個問題怎么解答，需要知道什么？

師：條件中隱含著怎樣的信息？

生：我發現這句話中隱含著“丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水”這個信息。

生：這道題可以改寫為一道等價的題目：丈夫4天飲水的量等于妻子10天飲水的量，那么丈夫14天飲水的量等于妻子多少天飲水的量？或者更簡單一點：因為丈夫2天飲水的量等于妻子5天飲水的量，所以丈夫14天飲水的量等于妻子多少天飲水的量？在這種分析下，問題的解決便十分容易了：丈夫14天飲水的量等于妻子7×5=35(天)飲水的量。

師：妻子獨飲這桶水，可飲35天。[2]

要解決這道題，必然要厘清條件的隱含信息，通過逐步的推理，學生明確“丈夫4天飲水的量等于妻子10天飲水的量”，推理出“丈夫2天飲水的量等于妻子5天飲水的量”。在解決問題過程中，學生清晰地表達出條件和問題之間的因果聯系，讓復雜的問題簡單化，其表達能力得到了凸顯，推理意識也得到了進一步的發展。

低學段學生的語言較為匱乏，思考能力有限，因此，可以重點關注低學段學生數學語言的訓練。教師可以借由非常明顯的具有因果聯系的問題，引導學生使用因果關聯詞匯，如“因為……所以……”“如果……那么……”等。這些詞匯能夠幫助學生厘清思路，構建基本的數學語言表達模型，形成“有條理地思考，有根據地表達”的數學素養。[3]

(四)重表達過程，促推理意識生成

學生的數學表達存在著過程被忽視的現象，主要原因在于教師的課堂教學缺乏邏輯性和層次性。教師重結果不重過程，學生表達方面的問題得不到修正，其推理必然缺乏嚴謹性，推理意識難以在其大腦中落地生根。因此，在教學時，教師要重視學生的數學表達過程不斷優化，以此促進學生推理意識生成和發展。

1.表達過程規范

學生在進行數學表達時，常常缺乏規范性的思考過程和表達語序。在教學上，教師要積極滲透各類思想方法，讓學生思考時能有跡可循、有法可依。同時，要培養學生數學語言的縝密性，強調前后言語之間的邏輯性、完整性和合理性。

2.表達過程循序漸進

學生表達水平的提高并不是一蹴而就的，需要經歷一個循序漸進的過程。不同學段的學生，生活經驗和學習經驗存在較大差異，所以在學生進行數學表達時，教師要立足學生已有的知識水平，提出滿足當前需要的表達要求。同時，在表達過程中，要讓學生通過其他同學的講解、教師的指導等，學會對自己的表達內容進行改進，由淺入深、由易到難地優化表達過程，使推理意識在表達過程中層層遞進、層層深化，逐步塑造思考過程，讓推理意識作用于整個學習過程。

數學表達的過程伴隨著理解性學習、高階思維、主動傾聽等深度學習的特質。[4]注重學生的數學表達，就是關注學生對學習過程的體驗，讓學生在數學表達的版式過程中，走向更深層次的數學思維，推動數學核心素養推理意識的發展。