帶有CVaR 罰的分布魯棒指數(shù)跟蹤模型：易求解的轉(zhuǎn)化

王茹鈺, 胡耀忠, 張 超,

(1.北京交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100044;2.加拿大阿爾伯塔大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)系，埃德蒙頓 T6G 2G1)

0 引言

指數(shù)跟蹤通過最小化衡量所構(gòu)建投資組合與基準(zhǔn)指數(shù)的接近程度的跟蹤誤差，從而構(gòu)建由市場中的資產(chǎn)組成的投資組合。指數(shù)跟蹤在近年來受到了廣泛關(guān)注。Xu 等人[1]在最小化二次跟蹤誤差的基礎(chǔ)上，設(shè)置投資組合中資產(chǎn)數(shù)量的上限，并提出了一種用于解決該模型的非單調(diào)投影梯度方法。Zhang 等人[2]在目標(biāo)函數(shù)中引入了?2和?p(0

近年來，分布魯棒優(yōu)化(Distributionally Robust Optimization, DRO)在多個領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，包括指數(shù)跟蹤和數(shù)據(jù)挖掘[7–12]。Kang 等人[7]通過整合由?-散度定義的分布不確定信息，提出了一個DRO 指數(shù)跟蹤模型。Liu 等人[13]給出了分布魯棒均值-CVaR 投資組合選擇問題的顯式最優(yōu)解。由于該問題的目標(biāo)函數(shù)是一個簡單的線性函數(shù)，因此通過魯棒優(yōu)化中的最大化問題可以得到一個顯式解。由于一般指數(shù)跟蹤問題目標(biāo)函數(shù)具有非線性性質(zhì)，難以獲得指數(shù)跟蹤問題的顯式解。Xu 等人[14]分析了最小最大DRO 問題的強(qiáng)Lagrange 對偶條件，并提出了一種解決DRO 對偶問題的離散化方案。Chen 等人[15]將該離散化方案推廣到解決兩階段分布魯棒線性互補(bǔ)問題。Jiang 和Chen[16]提出了一個帶有離散化的近似問題，以解決具有隨機(jī)互補(bǔ)約束的分布魯棒純特征需求模型。對于輸入數(shù)據(jù)及其相應(yīng)分布存在不確定性的問題，DRO 相比于確定性問題和隨機(jī)優(yōu)化問題更加有優(yōu)勢。在實(shí)踐中，較難獲取隨機(jī)向量的真實(shí)概率分布，這促使將DRO 的思想引入到指數(shù)跟蹤模型中。

在本文中，提出了一個在目標(biāo)函數(shù)中同時包含?2范數(shù)懲罰和CVaR 懲罰的分布魯棒指數(shù)跟蹤模型(簡稱DRCVaR 指數(shù)跟蹤模型)。分布的不確定性通過隨機(jī)向量的一階和二階矩的置信區(qū)域來描述。將分布魯棒的思想與指數(shù)跟蹤誤差相結(jié)合，能夠較好地反映信息不確定性，同時使用?2范數(shù)來避免過度擬合，并在原始的指數(shù)跟蹤模型中使用CVaR 懲罰進(jìn)行風(fēng)險控制。然而，這些懲罰項(xiàng)也使其在可行性和計(jì)算效率方面充滿挑戰(zhàn)。DRCVaR 模型是一個“min-max-min”優(yōu)化模型，根據(jù)文獻(xiàn)[17]中的最小最大定理，將DRCVaR 等價轉(zhuǎn)化為一個“min-max”優(yōu)化問題。由于內(nèi)部的最大化問題滿足上述分布模糊集中的Slater 條件，通過Lagrange 對偶將內(nèi)部的最大化問題等價地轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃(Semi-Definite Programming, SDP)問題，以此等價轉(zhuǎn)化DRCVaR 為一個SDP 模型。同時，證明了該SDP 模型是凸的且最優(yōu)解集合是非空的。若原分布是連續(xù)的，則該SDP 模型的目標(biāo)函數(shù)中將包含無限多個非光滑凸函數(shù)的最大化。該問題通過一種離散化方案近似為包含眾多但有限個非光滑凸函數(shù)最大化的問題，并提供了離散化方案的收斂性證明。

眾所周知，光滑化方法能夠有效解決非光滑優(yōu)化問題[18–25]。Nesterov[18]通過使用具有Lipschitz 連續(xù)梯度的函數(shù)來近似非光滑的目標(biāo)函數(shù)，并通過高效的梯度方法來最小化該光滑函數(shù)。Zhang 和Chen[19]提出了一種解決閉凸集上最小化問題的SPG 方法。Zhang 和Chen[20]提出了一種用于最小化線性約束非Lipschitz 非凸問題的光滑積極集方法。Bian 和Chen[21]開發(fā)了一種光滑的近端梯度算法，用于求解一類由非光滑凸函數(shù)和基數(shù)函數(shù)之和定義目標(biāo)函數(shù)的約束優(yōu)化問題。Chen 等人[26]提出了一種光滑的樣本均值近似方法，用于最小化期望殘差函數(shù)。受上述方法的啟發(fā)，本文采用光滑化函數(shù)近似由對偶和CVaR 懲罰引起的所有非光滑凸函數(shù)。與上述非光滑凸函數(shù)相比，眾多非光滑凸函數(shù)的最大化涉及雙層非光滑函數(shù)，該函數(shù)的光滑化具有一定挑戰(zhàn)。受現(xiàn)有指數(shù)跟蹤模型的特性和數(shù)值可行性的啟發(fā)，本文將DRCVaR 模型等價地轉(zhuǎn)化，并使用SPG 方法高效地解決DRCVaR 模型。

第1 節(jié)，簡要回顧重要的指數(shù)跟蹤模型，基于已有模型的優(yōu)點(diǎn)與不足提出了DRCVaR模型，并將該模型在分布模糊集中的內(nèi)部最大化問題轉(zhuǎn)化為SDP 問題。第2 節(jié)，等價轉(zhuǎn)化DRCVaR 模型為一個易求解的模型，同時證明了轉(zhuǎn)化后的問題是凸的且最優(yōu)解集合是非空的。由于等價轉(zhuǎn)化后問題的目標(biāo)中包含無限多個非光滑凸函數(shù)的最大化，在第3 節(jié)中，通過一種離散化方案離散為包含眾多但有限個非光滑凸函數(shù)最大化的問題，并給出了收斂性證明。第4 節(jié)，利用SPG 方法來求解包含眾多但有限個非光滑凸函數(shù)最大化的問題，同時證明了任何聚點(diǎn)是離散化問題的全局最小值點(diǎn)。第5 節(jié)，通過與不同的模型及其對應(yīng)算法進(jìn)行比較，得出DRCVaR 模型和SPG 方法的優(yōu)越性。第6 節(jié)為總結(jié)。

本文使用Sd+表示對稱正半定矩陣錐，//x//表示向量x的歐幾里得范數(shù)。對于數(shù)r ∈R，用[r]+= max{r,0}表示正部函數(shù)。給定兩個方陣M和N，M ?N表示N-M是正半定的。矩陣內(nèi)積〈M,N〉表示兩個具有相同維度的矩陣M和N之間的內(nèi)積，即〈M,N〉 = ∑i,j Mi,jNi,j。閉球B(x,δ) :={y ∈Rd://x-y//≤δ}表示以x ∈Rd為中心，半徑為r的閉球。

1 DRCVaR 指數(shù)跟蹤模型

本節(jié)介紹用于指數(shù)跟蹤投資組合選擇問題的DRCVaR 模型，并分析其性質(zhì)。下面簡要回顧一些重要的指數(shù)跟蹤模型。

1.1 使用精確歷史數(shù)據(jù)的確定性模型

其中第一項(xiàng)是數(shù)據(jù)保真度項(xiàng)，凸函數(shù)ψ描述跟蹤投資組合的收益率與指數(shù)收益率之間的偏差，ψ(a) =|a|或ψ(a) =a2。第二項(xiàng)中的函數(shù)R是懲罰項(xiàng)，可以幫助控制風(fēng)險，反映投資組合的稀疏性，增強(qiáng)樣本外表現(xiàn)等。參數(shù)τ平衡數(shù)據(jù)保真度項(xiàng)和懲罰項(xiàng)之間的權(quán)衡。可行集X是一個凸集，其中包括關(guān)于投資組合的先驗(yàn)知識，例如

下面概述一些可以用通用模型(1)表示的指數(shù)跟蹤模型。

在文獻(xiàn)[27]中，Lasso 稀疏指數(shù)跟蹤問題可以表述為

其中τ1是給定的正則化參數(shù)，?1范數(shù)懲罰旨在增強(qiáng)投資組合的稀疏性。由于該模型沒有非負(fù)約束，因此可能出現(xiàn)負(fù)權(quán)重從而導(dǎo)致賣空。(Lasso 稀疏)模型使用優(yōu)化軟件“CPLEX”求解。

在引入CVaR 風(fēng)險度量的情況下，Wang 等人在文獻(xiàn)[6]中提出了具有CVaR 風(fēng)險約束的混合0-1 LP 指數(shù)跟蹤模型

其中K是選擇跟蹤指數(shù)的股票數(shù)量，Zi=1 表示在跟蹤投資組合中包含第i只股票，Zi=0 表示不包含，li和ui是資產(chǎn)i的投資比例的下限和上限，0

Xu 在文獻(xiàn)[1]中提出了控制投資組合中資產(chǎn)數(shù)量上限且最小化二次跟蹤誤差的指數(shù)跟蹤模型

其中//x//0表示x的非零分量的個數(shù)，K是給定的正整數(shù)，u ∈[1/K,1]是每個指數(shù)成分的權(quán)重的上限。在文獻(xiàn)[1]中，Xu 等人提出了一種非單調(diào)投影梯度法來解決該問題。

Zhang 等人在文獻(xiàn)[2]中構(gòu)建了以下穩(wěn)健且稀疏的非凸指數(shù)跟蹤模型

其中0

1.2 DRCVaR 模型

投資組合的樣本外表現(xiàn)比樣本內(nèi)表現(xiàn)更加重要，當(dāng)指數(shù)的真實(shí)回報率和投資組合的真實(shí)回報率尚不明朗時，確定性指數(shù)跟蹤模型得到的投資組合可能產(chǎn)生樣本內(nèi)表現(xiàn)優(yōu)異，但樣本外表現(xiàn)欠佳的情況。為了解決該問題，替代使用全部歷史數(shù)據(jù)，將ξB= (ξB,1,ξB,2,···,ξB,d)∈Rd視為隨機(jī)回報向量，ξa ∈R 視為相應(yīng)的隨機(jī)市場指數(shù)回報。定義隨機(jī)向量ξ:=(ξ?B,ξa)?∈Rd+1，假設(shè)ξ的概率分布為P。將確定性問題(1)推廣為以下具有CVaR 懲罰的隨機(jī)指數(shù)跟蹤投資組合模型

其中x=(x1,x2,···,xd)?是決策向量，每個分量xi表示投資于資產(chǎn)i(1≤i ≤d)的資金占總金額的比例，并且正則化參數(shù)τ1,τ2≥0。懲罰項(xiàng)CVaR 定義為

其中?(x,ξB)是關(guān)于x ∈X的凸損失函數(shù)，本文定義?(x,ξB)與文獻(xiàn)[4]相同

模型(SCVaR-P)可以使用隨機(jī)次梯度(S-Subgrad)方法[32–33]求解。

在實(shí)際應(yīng)用中，假設(shè)隨機(jī)變量ξ遵循真實(shí)概率分布P是合理的，但P并不是ξ的準(zhǔn)確分布。分布P包含在使用歷史數(shù)據(jù)等部分信息構(gòu)建的分布模糊集P中，這一觀察促使本文在指數(shù)跟蹤模型中采用分布魯棒優(yōu)化的思想。因此，本文提出了如下的DRCVaR 模型

由于懲罰項(xiàng)CVaR 的定義(4)中包含期望形式，可知模型(5)中maxP ∈P對數(shù)據(jù)保真項(xiàng)EP[ψ(ξa-ξ?Bx)]以及罰項(xiàng)?B(x)同樣作用。令?μ和?Σ分別表示歷史數(shù)據(jù)(?ξ1,?ξ2,···,?ξN)的均值向量和協(xié)方差矩陣的參考值，假設(shè)?Σ是對稱正定矩陣。模型(5)的分布模糊集P通過前兩階矩約束構(gòu)建[8,14]

其中κ1>0,κ2>0，M是可測空間(Ξ,B)中所有概率測度的凸集，其中Ξ ?Rd+1是已知包含P的支撐集的凸緊集，B 是Ξ上的Borelσ-代數(shù)。

引理1[34]給定一個如下的分塊對稱矩陣

其中A是對稱矩陣。若det(A)?=0，則矩陣?S=C-B?A-1B被稱為?M中A的Schur 補(bǔ)。若A ?0，則?M ?0，當(dāng)且僅當(dāng)?S ?0。

根據(jù)引理1，分布模糊集(6)中的第一個約束可以等價地改寫為

第2 節(jié)考慮原模型(5)的等價轉(zhuǎn)化形式，在其轉(zhuǎn)化過程中，首先根據(jù)最小最大定理將模型(5)中的minx∈?dmaxP ∈Pminα∈R等價轉(zhuǎn)化為minx∈?dminα∈RmaxP ∈P，然后固定外層最小化問題的變量x ∈?d和α ∈R，考慮內(nèi)部最大化問題的對偶形式。為簡化第2 節(jié)中的等價轉(zhuǎn)化證明過程，此處先考慮在分布模糊集(6)上的如下最大化問題

則最大化問題(7)等價于下面的半無限規(guī)劃問題

其中r ∈R,q ∈Rd+1和Λ ∈R(d+1)×(d+1)是對偶乘子。此外，對偶問題(10)的最優(yōu)解集是非空的。

命題1 通過Lagrange 對偶將內(nèi)部最大化問題(7)轉(zhuǎn)化為一個半無限規(guī)劃，并證明了在分布模糊集(6)中內(nèi)部最大化問題(7)的Slater 條件被滿足。在DRO 中矩問題滿足Slater 類型條件時原問題和對偶問題等價，由此可得內(nèi)部最大化問題(7)與其對偶問題等價。

命題1 的證明與文獻(xiàn)[8]中引理1 的證明相似，若直接套用文獻(xiàn)[8]引理1 中對偶問題的結(jié)果，則(8)中與隨機(jī)向量ξ無關(guān)的項(xiàng)τ1//x//2與τ2α?xí)霈F(xiàn)在對偶問題(10)的無限約束中，但這并不影響后面最終等價問題(14)的形式。為了使(10)的無限約束只存在與隨機(jī)向量ξ相關(guān)的項(xiàng)，下面仿照文獻(xiàn)[8]引理1 給出命題1 的證明。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的例2.3，問題(6)的矩約束滿足Slater 類型條件(13)。因此，問題(7)與問題(10)之間的等價性成立。由于支撐集Ξ是緊的且問題(7)的目標(biāo)函數(shù)內(nèi)層的?K在Ξ上連續(xù)，得到問題(7)的最優(yōu)值是有限的。根據(jù)文獻(xiàn)[35]中的命題3.4，若原始問題和對偶問題的相同最優(yōu)值是有限的，則對偶問題的最優(yōu)解集是非空的。因此，推斷出對偶問題(10)的最優(yōu)解集是非空。

2 DRCVaR 易求解的等價轉(zhuǎn)化模型

定義ν=(x,α,q,Λ)和V=?d×R×Rd+1×Sd+1+。根據(jù)CVaR 的定義(4)，問題(5)可改寫為一個“min-max-min”優(yōu)化問題。本節(jié)將該問題等價轉(zhuǎn)化為一個非光滑SDP 問題

其中

而h1和h2,ξ在(9)式中定義。

引理2[14,36]若Ξ是一個緊集，則(Ξ,B)上的所有概率測度集合關(guān)于弱收斂拓?fù)涫侨蹙o的。

定義1[14](i) 對于一個概率測度集合ˉA ?M，若每個序列{PN} ?ˉA都包含一個子序列{PN′}和一個概率測度P ∈ˉA，使得PN′→P，則稱ˉA關(guān)于弱收斂拓?fù)涫侨蹙o。

(ii) 在弱收斂拓?fù)湎拢魧θ我庑蛄衶PN} ?ˉA，其中PN →P是弱收斂的，且有P ∈ˉA，則稱ˉA是閉的。

由于Ξ在分布模糊集(6)中是一個緊集，根據(jù)定義1 和概率測度在緊集上有界的性質(zhì)，可以得到在(Ξ,B)上的所有概率測度的集合在弱收斂拓?fù)湎率蔷o的。

引理3[17]若?A是緊的，?B是任意的空間，對于每個α，函數(shù)ρ(P,α)關(guān)于P是凹的，并且對于每個P，函數(shù)ρ(P,α)關(guān)于α是凸的。對于每個α，函數(shù)ρ(P,α)關(guān)于P是上半連續(xù)的，則

定理1(DRCVaR 轉(zhuǎn)化為非光滑SDP) 對于DRCVaR 問題(5)以及非光滑SDP 問題(14)，有min(5)=min(14)，即x是(5)的最優(yōu)解，當(dāng)且僅當(dāng)存在α ∈R,q ∈Rd+1和Λ∈Sd+1+，使得(x,α,q,Λ)是問題(14)的最優(yōu)解。

證明 根據(jù)?K的定義(8)，問題(5)等價于以下問題

由于分布模糊集(6)的支撐集Ξ是緊的，根據(jù)定義1，函數(shù)?K(x,α,P)相對于α是凸的(來自線性和正部函數(shù)的凸性)，相對于P是凹的(事實(shí)上是線性的)，以及P的緊性，可以使用引理3 交換(16)中的maxP ∈P和minα∈R得到等價轉(zhuǎn)化

固定x和α，由命題1 得到問題(7)與對偶問題(10)之間的等價性。由于樣本空間Ξ中有無限多個ξ的值，半無限規(guī)劃問題(10)中存在無限多個約束h2,ξ(x,q,Λ)≤r,?ξ ∈Ξ。上述無限約束可被改寫為

則Lagrange 對偶問題(10)等價于

通過“min-min”算子聯(lián)合執(zhí)行得出DRCVaR 的一個等價轉(zhuǎn)化問題(14)。

定理1 將DRCVaR 指數(shù)跟蹤模型(5)等價轉(zhuǎn)化為SDP 問題(14)。由?d和P的有界性，以及模型(5)中的目標(biāo)函數(shù)在這兩個有界集中的連續(xù)性得到原問題(5)的解集是非空。同時，定理1 保證了SDP 問題(14)的最優(yōu)解的存在性。

3 離散化方案

為便于實(shí)際中計(jì)算求解，本節(jié)針對SDP 問題(14)提出一種離散化方案，在較弱的條件下證明了離散化模型的解的存在性。同時，在較弱的假設(shè)下，提供了離散化模型的最優(yōu)值和解與概率分布連續(xù)的模型的最優(yōu)值和解之間的關(guān)系。

由凸函數(shù)的定義可證明hξ(ν)關(guān)于ν是凸函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[37]的命題1.38，有限個凸函數(shù)的最大化函數(shù)也是凸的，即φN(ν)關(guān)于ν是凸的。此外，可行集V是一個凸集。因此，非光滑模型(18)是凸的。

若采樣得到一組向量ξ1B,ξ2B,···,ξNB，由(19)式可知?Nβ(x)關(guān)于α的最優(yōu)解在有限的α處達(dá)到，即可將α的最小化限制在某個足夠大的正數(shù)c的閉區(qū)間[-c,c]內(nèi)[4,14]。令A(yù) 為由?Nβ(x)最小值處的α值組成的緊集。由于?d和Ξ[N]的緊性，存在x?∈?d和ξ?∈Ξ[N]作為離散化問題(18)的最優(yōu)解。因此，離散化問題(18)的解集是非空的。

定義離散化問題(18)和問題(14)的最優(yōu)值分別為??N和??。定理2 陳述了問題(18)與問題(14)的最優(yōu)值收斂關(guān)系。

定理2 假設(shè)問題(7)的最優(yōu)值是有限的，ξ1,ξ2,···,ξN是ξ的i.i.d.的樣本，并且ξ在Ξ上服從連續(xù)的概率分布P，對于任何固定點(diǎn)ξ0∈Ξ和δ ∈(0,δ0)，滿足以下條件

其中C2、γ2和δ0是一些正的常數(shù)。當(dāng)N足夠大時，對于任何正數(shù)ε，存在正的常數(shù)?C(ε)和?β(ε)，滿足以下不等式

證明 (i) 定義隨機(jī)變量h(ν,ξ)-E[h(ν,ξ)]的矩生成函數(shù)為

由于Ξ是一個緊集，根據(jù)文獻(xiàn)[14]的第3.1 節(jié)，對于每個ν ∈V, supξ∈Ξ h(ν,ξ)<∞，并且矩生成函數(shù)Mν(t)在零的某個鄰域內(nèi)存在有限值。

(ii) 根據(jù)函數(shù)h的連續(xù)性，存在一個非負(fù)可測函數(shù)κ:Ξ →R+和一個常數(shù)γ> 0，使得對任意的ξ ∈Ξ，有

(iii) 根據(jù)支撐集Ξ的有界性和文獻(xiàn)[38]的第5 節(jié)，可得隨機(jī)變量κ(ξ)的矩生成函數(shù)Mκ(t)在零的某個鄰域內(nèi)有限。

結(jié)合上述條件(i)～(iii)、條件(20)和函數(shù)h(ν,·)在Ξ上的連續(xù)性，可得問題(18)與問題(14)的最優(yōu)值的關(guān)系，即(21)式成立[14]。

注1 根據(jù)文獻(xiàn)[39]的命題1，條件(20)實(shí)際上是較弱的，若隨機(jī)向量ξ的密度函數(shù)被一個解析的正實(shí)值函數(shù)從下方界定，則條件(20)成立。條件(20)實(shí)際上是密度函數(shù)在其支撐邊界接近零的條件。

注2 根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的例3 和定理4 可知，使用內(nèi)點(diǎn)方法求解模型(5)，要求隨機(jī)變量ξ的支撐集Ξ是一個緊的橢球集合。然而，本文沒有對支撐集Ξ的形式施加任何限制。

在文獻(xiàn)[14]中，內(nèi)部最大化問題中的目標(biāo)函數(shù)被要求關(guān)于ν是可微的。在模型(18)中，hξ(ν)包含了由?2范數(shù)和正部函數(shù)引起的不可微項(xiàng)。因此，文獻(xiàn)[14]中提出的算法3.1 不能直接求解模型(18)。下節(jié)將構(gòu)造一個光滑化函數(shù)并采用SPG 方法來求解模型(18)。

4 SPG 方法

4.1 光滑化函數(shù)

定義2[23]令g:V →R 為一個連續(xù)函數(shù)，稱?g:V×R+→R 為g的光滑化函數(shù)，若對于任意固定的μ>0，?gμ(·) 在V中是連續(xù)可微的，并且

此外，{limz→ν,μ↓0?ν?gμ(z)}是非空且有界的。

定義3[40]若對于所有v，有：

(i) 存在通常的單側(cè)方向?qū)?shù)f′(w;v)；

(ii) 對于所有v，g′(w;v)=g?(w;v)，其中

則稱函數(shù)g在w處是Clarke 正則的。

引理4[23]假設(shè)和是局部Lipschitz 函數(shù)Γ:RN →R 和π:V×Ξ[N]→RN的光滑化函數(shù)，且向量函數(shù)

若Γ在W(ν,Ξ[N])處是Clarke 正則的，π在(ν,ξ)處是Clarke 正則的，且

則對于任何ν ∈V,()都是Γ(W)的光滑化函數(shù)。

引理5[40]設(shè)?g在ν附近是Lipschitz 連續(xù)的。若是凸函數(shù)，則在ν處是Clarke 正則的。

對于一個向量函數(shù)

其分量為h(ν,ξi):V×Ξ →R, 1≤i ≤N，顯然有

依據(jù)引理4 和引理5，命題3 為非光滑復(fù)合函數(shù)Φ(H)構(gòu)造光滑化函數(shù)。

命題3 對于任意固定的ξ和光滑因子μ>0，在(15)式中定義的h(ν,ξ)和(18)式中定義的φN(ν)的光滑化函數(shù)分別為

由于h(ν,ξ)和Φ(?χ)的凸性，以及引理4 和引理5，可知(23)式中的?φNμ(ν)是φN(ν)的光滑化函數(shù)。

4.2 光滑投影梯度(SPG)方法

基于上述討論，則可給出如下的SPG 算法。

算法1 SPG 方法

給定α0,σ,ρ,ω ∈(0,1),μ0,η> 0,?> 0,ν0∈V，以及正整數(shù)n0> 0。對于k ≥0，則：

則設(shè)置νk+1=yj+1,k，然后轉(zhuǎn)到步驟3；

步驟3 選擇μk+1≤ωμk。

步驟2 中的j ≥n0是由文獻(xiàn)[19]提出的，用于判斷算法是否進(jìn)入步驟3 進(jìn)而減小光滑因子μk。對于每個μk，至少執(zhí)行n0次內(nèi)部迭代。從計(jì)算角度來看，該修改有助于光滑化方法找到全局或更好的局部最優(yōu)解。

對于任意固定的ˉν ∈V，將Clarke 次微分定義為

與光滑化函數(shù)相關(guān)的次微分定義為

從定義2 中可以明顯看出，G?φNμ(ˉν)是一個非空且有界的集合。

定義4 若存在U ∈G?φNμ(ν?)，使得〈U,ν?-z〉≤0,?z ∈V，則稱ν?是問題(18)的一個與光滑化函數(shù)相關(guān)的穩(wěn)定點(diǎn)。

定義5 若存在U ∈?φN(v?)，使得〈U,ν?-z〉≤0,?z ∈V，則稱ν?是問題(18)的一個Clarke 穩(wěn)定點(diǎn)。

5 數(shù)值結(jié)果

假設(shè)投資者使用投資組合優(yōu)化模型(18)，對2008 年1 月至2023 年7 月的納斯達(dá)克日度指數(shù)數(shù)據(jù)集中的120 只股票進(jìn)行投資組合，該指數(shù)數(shù)據(jù)集包含3 921 個樣本。本節(jié)所有實(shí)驗(yàn)均在3.70 GHZ Intel Core 10 CPU 和64 GB RAM 的Windows 10 系統(tǒng)上，使用Matlab R2021a 軟件運(yùn)行。

本文采用日度數(shù)據(jù)的滾動窗口方法[41]以在樣本外環(huán)境中評估投資組合。設(shè)置窗口大小為3 500 個日度觀測值，即在離散化問題(18)中N= 3 500。首先，使用前τ個收益觀測值來計(jì)算最優(yōu)權(quán)重向量。然后，假定該投資組合在接下來的21 天內(nèi)持有。將這21 天的數(shù)據(jù)用作測試向量Bt+1∈R120來計(jì)算樣本外表現(xiàn)，其中(Bt+1)i表示第i個資產(chǎn)的21 天內(nèi)最后一天的收盤價與第一天的開盤價之比，at+1∈R 是觀察到的對應(yīng)的隨機(jī)市場指數(shù)回報。在此期間，投資者基于投資組合獲得的財(cái)富表示為在這21 天后，投資組合根據(jù)基于Bt+1轉(zhuǎn)變?yōu)椋浞至坑捎?jì)算，如文獻(xiàn)[42]的第2 節(jié)所指出的。在下一步中，滾動數(shù)據(jù)窗口前進(jìn)，舍棄最舊的觀測值，將最新的21 個觀測值包含到訓(xùn)練集中。使用新的訓(xùn)練集解決模型(18)，得到解+1，然后將+重新平衡到新的權(quán)重向量+1，確定了投資組合持倉以及未來21 天的樣本外回報。該過程重復(fù)進(jìn)行，直到無法再滾動窗口，即t= 1,2,···,ˉt=?(Ntol-τ)/21」。上述設(shè)置中Ntol=3 921,τ=3 500，則ˉt=20。

使用投資組合的樣本內(nèi)跟蹤誤差(TEI)和樣本外跟蹤誤差(TEO)衡量給定模型的性能，其定義如下

或者迭代次數(shù)超過3 000。設(shè)置κ1= 0.1 和κ2= 1，這些參數(shù)與模型(6)中的參數(shù)相同，與文獻(xiàn)[11]的數(shù)值實(shí)驗(yàn)一致。

為了測試SPG 方法的效率，將其與次梯度(Subgrad)方法在前3 500 個訓(xùn)練樣本中共同求解帶有ψ(a) =a2的模型(18)。在Subgrad 方法中使用Armijo 步長規(guī)則，設(shè)置τ1=τ2= 10-2。SPG 方法和Subgrad 方法在訓(xùn)練集中的目標(biāo)值(Obj)與CPU 時間之間的關(guān)系被繪制在圖1 中，對應(yīng)的樣本內(nèi)、外表現(xiàn)以及CPU 時間在表1 中。從圖1 可以看出SPG 方法下降速度更快，并且在表1 中的樣本內(nèi)、外表現(xiàn)以及CPU 時間都優(yōu)于Subgrad 方法。

表1 樣本內(nèi)、外表現(xiàn)以及CPU 時間

圖1 目標(biāo)函數(shù)值與CPU 時間的關(guān)系

下面將使用?1范數(shù)的DRCVaR 模型(DRCVaR-?1)和使用?2范數(shù)的DRCVaR 模型(DRCVaR-?2)與第1.1 節(jié)中的指數(shù)跟蹤模型進(jìn)行比較，包括(Lasso 稀疏)模型、(混合0-1 LP)模型、(TE-?0)模型、(?2-?3/4)模型和(?2-?1/2)模型，上述模型求解方法見第1.1 節(jié)中的說明。同時比較了兩個隨機(jī)模型，即具有?1范數(shù)的SCVaR- ?P 模型(SCVaR- ?P-?1)和具有?2范數(shù)的SCVaR- ?P 模型(SCVaR- ?P-?2)，?P指的是從歷史數(shù)據(jù)中獲得的經(jīng)驗(yàn)分布。通過在網(wǎng)格

上變化τ1和τ2的取值，選擇每個模型中對應(yīng)最低TEO 的參數(shù)值作為τ1和τ2的最優(yōu)參數(shù)值。表2 中記錄了最低的TEO，以及相應(yīng)的參數(shù)τ1、τ2、樣本內(nèi)和樣本外性能。對于參數(shù)τ1和τ2，“—”表示在相應(yīng)的模型中不需要對應(yīng)的參數(shù)。在所有評估標(biāo)準(zhǔn)中，除了TO 之外，(DRCVaR-?2)模型在其他方面表現(xiàn)優(yōu)于(DRCVaR-?1)模型。顯然，當(dāng)配備適當(dāng)?shù)膮?shù)并使用SPG 方法求解時，DRCVaR 模型在樣本內(nèi)和樣本外性能都優(yōu)于其他模型。將(DRCVaR-?2)、(DRCVaR-?1)與(SCVaR- ?P-?2)、(SCVaR- ?P-?1)的結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)DRO 可以提高模型的樣本外性能。此外，相較于模型(SCVaR- ?P-?2)和(SCVaR- ?P-?1)，模型(DRCVaR-?2)和(DRCVaR-?1)因?yàn)槭褂肧PG 方法縮短了CPU 時間。

表2 根據(jù)最小的TEO 確定τ1 和τ2 的值以及參數(shù)對應(yīng)的樣本內(nèi)、外表現(xiàn)

6 結(jié)論

本文將分布魯棒優(yōu)化和條件風(fēng)險值懲罰相結(jié)合，提出了一個新的指數(shù)跟蹤模型，該模型的分布模糊集由前兩階矩來定義。本文將該分布魯棒指數(shù)跟蹤模型等價轉(zhuǎn)化為非光滑凸優(yōu)化問題，并為其中的連續(xù)隨機(jī)向量提供了一個近似的離散化方案。在離散化之后，目標(biāo)函數(shù)包含了眾多但有限個非光滑凸函數(shù)的最大化，采用SPG 方法來求解該離散化問題?；?008 年1 月到2023 年7 月的納斯達(dá)克日度指數(shù)數(shù)據(jù)集進(jìn)行數(shù)值比較，數(shù)值結(jié)果展示了本文提出的模型以及SPG 方法的有效性。