Banach 空間中復合剛性Volterra泛函微分方程隱顯Euler 方法的穩定性分析

龍 滔, 余越昕

(湘潭大學數學與計算科學學院，湘潭 411105)

0 引言

近年來，剛性Volterra 泛函微分方程初值問題數值方法的研究得到了眾多學者的高度關注，取得了大量研究成果[1–10]。對于復合剛性微分方程，由于問題可分解成剛性部分和非剛性部分，自然的想法是用隱式方法求解剛性部分，顯式方法求解非剛性部分，從而達到提高計算效率的目的。對于各種復合剛性問題隱顯方法的研究可參見文獻[11—15]。對于復合剛性Volterra 泛函微分方程，Li[16]給出了求解問題的正則Euler 分裂方法，研究了方法的穩定性和收斂性。應當指出，上述研究成果大都是在內積空間中基于單邊Lipschitz 條件獲得的。然而對于某些剛性問題，其單邊Lipschitz 常數卻不可避免地取非常巨大的正值。因此，有必要突破內積空間和單邊Lipschitz 常數的限制，直接在Banach 空間中研究數值方法的相關結論。鑒于此，本文將隱顯Euler 方法用于求解Banach 空間中一類非線性復合剛性Volterra 泛函微分方程。

1 求解問題的隱顯Euler 方法

設X是實或復的Banach 空間，//·//為其范數，對于任意給定的時間間隔I ?R，定義符號CX(I)表示由所有連續映射x:I-→X構成的Banach 空間，其中范數//x//∞=maxt∈I //x(t)//。考慮如下初值問題

其中a、b、τ是常數，-∞

α1、α2、β1和β2是適度大小的實常數，并且函數μ1(t)和μ2(t)滿足

參考文獻[17]，定義

為了描述方便，我們把滿足條件(3)～(6)的所有問題(1)記作問題類D(α1,α2,β1,β2,μ1,μ2)。另外，若問題(1)中的積分區間[a,b]變成[a,+∞)且也滿足條件(3)～(6)，則我們把這類問題記作問題類ˉD(α1,α2,β1,β2,μ1,μ2)。

將隱式Euler 和顯式Euler 分別應用于問題(1)中的f1(t,y(t),y(·))和f2(t,y(t),y(·))，得到求解問題(1)的隱顯Euler 方法

其中插值函數yh(t)表示真解y(t)在區間[a-τ,tn+1]上的近似值，yn是真解y(tn)的逼近，hn=tn+1-tn是給定的步長。記時間網格?h:={t0,t1,···,tN}且滿足a=t0

2 隱顯Euler 方法的穩定性分析

為了分析隱顯Euler 方法的穩定性，我們引入問題(1)的擾動問題

定理1 假設問題(1)屬于問題類D(α1,α2,β1,β2,μ1,μ2)，設yn和zn是隱顯Euler 方法求解問題(1)及其擾動問題(12)得到的數值解序列，則有

由此完成定理1 的證明。

定理2 假設問題(1)屬于問題類D(α1,α2,β1,β2,μ1,μ2)，設yn和zn是隱顯Euler 方法求解問題(1)及其擾動問題(12)得到的數值解序列，記

由此我們很容易獲得以下定理。

定理3 假設問題(1)屬于問題類D(α1,α2,β1,β2,μ1,μ2)，設yn和zn是隱顯Euler 方法求解問題(1)及其擾動問題(12)得到的數值解序列，且α1+α2+2(β1+β2)<0，則有

3 隱顯Euler 方法的漸近穩定性分析

在本節，我們將給出隱顯Euler 方法的漸近穩定性結果。

這里ξk=tnk,ξ0=t0=a,n0= 0。由于hn ≤μ(0)1，對于nk ≤n ≤nk+1-1，根據定理1，我們有

且滿足0< ?Cμ<1。因此，類似定理4 的證明，我們很容易獲得以下定理。

定理5 假設問題(1)屬于問題類ˉD(α1,α2,β1,β2,μ1,μ2)，設yn和zn是隱顯Euler 方法求解問題(1)及其擾動問題(12)得到的數值解序列，且?h=infn≥0{hn}>0，當

4 數值試驗

例1 考慮如下非線性剛性初值問題

故由定理3 和定理5 知，問題(44)在區間[0,10]和[0,+∞)分別是穩定的和漸近穩定的。

我們將用隱顯Euler 方法(9)和(10)以及全隱Euler 方法[17]

分別表示數值解yn與真解y(tn) 的誤差和計算階，E(h) :=//yn-zn//1表示問題(1)和擾動問題(12)的誤差。

取h= 0.01，將方法(9)和(10)以及全隱Euler 方法(45)分別應用于問題(44)，其數值解如圖1 和圖2 所示。從圖1 和圖2 可以看出，方法(9)和(10)與全隱Euler 方法(45)圖形基本一致。

圖2 全隱Euler 方法(45)

取h=1/N(N=400,800,1 600,3 200)，將方法(9)和(10)以及全隱Euler 方法(45)分別應用于問題(44)，結果見表1。從表1 可以看出，方法(9)和(10)與全隱Euler 方法(45)在同一步長下，其誤差相當，且都是1 階收斂。而方法(9)和(10)的CPU 時間低于全隱Euler 方法(45)，從而說明方法(9)和(10)較方法(45)能夠降低計算成本。

表1 當t=10 時，方法(9)和(10)以及方法(45)求解問題(44)的誤差

給出問題(44)的擾動值

取h=0.01，其誤差E(h)如圖3 所示。從圖3 可以看出，方法(9)和(10)是漸近穩定的，從而說明本文所給結論的正確性。

圖3 h=0.01，問題(44)的誤差E(h)

5 結論

在本文，針對Banach 空間中復合剛性Volterra 泛函微分方程，將隱式Euler 用于問題剛性部分的求解，顯式Euler 用于非剛性部分的求解，得到了求解問題的隱顯Euler 方法。給出了方法的穩定性及漸近穩定性條件，最后的數值試驗結果顯示隱顯Euler 方法(9)和(10)比全隱式Euler 方法(44)能夠大幅度提高計算效率，從而表明隱顯方法求解復合剛性問題時，有較好的穩定性和較高的計算效率。