品味文化韻味 彰顯數學文脈

殷偉康

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，將數學文化融入教學，有利于激發學生興趣、開闊視野，幫助學生理解數學，提升數學核心素養.新課標強調了數學文化的教育功能，并要求數學文化應盡可能與高中數學課堂教學內容進行有機結合.本文中以筆者的市級公開課“斐波那契數列”課堂教學實踐為例，闡述“基于數學文化的教學設計理念和思路，如何將數學文化滲透到日常教學中，使學生在學習數學的過程中受到數學文化的熏陶，體驗數學文化的魅力，促進核心素養的發展”.

1 教學實錄

1.1 創設情境，經典再現，發現規律

問題1202年意大利數學家斐波那契在他的著作《算盤書》一書中提出了“兔子的繁殖”問題：有一個人第一個月底時在一間房子里放了一對剛出生的小兔，假如每對小兔一個月后能長成大兔，再過一個月便能生下一對小兔.如果不發生死亡，那么12個月后這個人有多少對兔子？

生：根據兔子的繁殖規律可以得到一個數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…….這樣很容易知道12個月后共有144對兔子.

師：那么50個月后會有多少對兔子？

生：直接運算有點繁，最好找出這個數列的變化規律.

生：觀察該數列的特點，從第三項起，每一項都等于自身的前兩項之和，如果用an表示第n個月兔子總對數，那么a1=a2=1，an+an+1=an+2.

師：人們為紀念斐波那契，把這種數列叫斐波那契數列.很好！找到了這個數列的遞推公式后，按照我們以前研究數列的方式，那么如何求出它的通項公式呢？

1.2 展開探究，不斷嘗試，建構數學

生：我猜想這個數列可能是兩個數列的線性組合，如an=c1tn1+c2tn2，仍能滿足遞推關系an+an+1=an+2，再結合條件a1=a2=1，有c1t1+c2t2=1，c1t21+c2t22=1，解得c1=15，c2=－15，所以可得

an=151+52n－1－52n.

師：這種猜想嘗試很值得同學們學習和借鑒！還有沒有其他求解方法？

生：類比之前求數列的通項公式的方法，通過構造等比數列來求它的通項公式，設an+2－an+1=λ（an+1－an），則an+2=（λ+1）an+1－λan.

又an+an+1=an+2，所以λ+1=1，－λ=1，方程組無解.

師：數列an的通項公式是一個比較復雜的式子，一個參數不足以解決問題.

生：設an+2－λ1an+1=λ2（an+1－λ1an），則有an+2=（λ1+λ2）an+1－λ1λ2an.

由λ1+λ2=1，－λ1λ2=1，解得λ1=1－52，λ2=1+52，或λ1=1+52，λ2=1－52.

當λ1=1－52，λ2=1+52，時，數列{an+1－λ1an}是以1－λ1為首項，λ2為公比的等比數列，所以

an+1－1－52an＝1+52n.①

當λ1=1+52，λ2=1－52時，同理可得

an+1－1+52an＝1－52n.②

由①－②，得an=151+52n－1－52n.

師：這位同學運用了待定系數法通過構造等比數列來求解.斐波那契數列是一個完全由自然數構成的數列，其通項公式卻是用無理數來表達的.當看到通項公式中的數5－12時，同學們會聯想到什么？

生：黃金分割比.

1.3 激發思維，引深探究，欣賞數學

生：斐波那契數列中的每一項與后一項的比值隨著項數的增大會趨近于0.618.

師：當n趨向于無窮大時，anan+1越來越無限地逼近黃金分割比0.618.這是一種極限思想.黃金分割是兩千多年前由古希臘數學家歐克多斯發現的，蘊含著數學的奇異美和視覺美，深受美術家、建筑師和數學愛好者的偏愛.生活中有黃金分割的例子嗎？

生：繪畫、雕塑等藝術作品中，如斷臂的維納斯、名畫《蒙娜麗莎的微笑》中都有黃金分割的體現.

師：斐波那契數列不僅具有神秘的自然之美，還有許多數學之美（有趣的性質）等待著我們去探究.下面按小組合作的方式探究斐波那契數列的性質.

生：1+1+2=4=5-1，1+1+2+3=8-1，1+1+2+3+5=13-1，

由此猜想并證明，得到結論a1+a2+……+an=（a3－a2）+（a4－a3）+（a5－a4）+……+（an+2－an+1）=an+2－a2=an+2－1，即

斐波那契數列的前n項和等于第n+2項與1的差.

生：運用遞推關系，可推導出a1+a3+……+a2n－1=a2n，a2+a4+……+a2n=a2n+1－1.

生：12+12＝1×2，12+12+22＝2×3，

12+12+22+32＝3×5，

由此也可以猜想并證明得到一個結論.由an＝an－1＋an－2（n≥3），得an－1＝an－an－2，兩邊同乘an－1，可得a2n－1＝an－1an－an－1an－2，則

a21+a22+……+a2n=a21+（a2a3－a1a2）+（a3a4－a2a3）+……+（anan+1－an－1an）

=a21－a1a2+anan+1=anan+1，

即斐波那契數列的前n項平方和等于第n項與第n+1項的積.

師：非常好！以上同學發現了斐波那契數列許多有趣的性質，都是通過嘗試對該數列前幾項進行適當運算，觀察其運算結果的特點，猜想并推導出它的一般規律.

1.4 總結歸納，方法提煉，思想升華

師：本節課研究了哪些內容？

生：本節課主要是研究斐波那契數列，由遞推公式推導其通項公式，歸納并證明了斐波那契數列一些有趣的性質.

師：本節課涉及了哪些數學思想方法？

生：待定系數方法，歸納猜想.

師：很好！歸納法是合情推理的主要方式之一，也是探究未知世界的重要方法.世界上有許多斐波那契迷，成立了斐波那契協會，繼續探究其數列的奧妙.

2 教學反思

2.1 挖掘素材，促進問題情境的合理創設

基于數學文化的教學，要讓學生感受到數學學習的開放性以及向其他領域的廣泛滲透性，體驗到資源對其經驗的支撐，領悟到同學之間的互動交流對知識構建的意義，進而體驗到“數學本質上是一種文化”，從而對學生進行深刻的文化陶醉與心靈提升.在教學過程中，教師要善于挖掘與篩選更多的數學文化素材，采用更加自然的方式融入數學教學之中.本案例是通過再現“斐波那契數列”的發現、發展過程，將數學文化自然有序穿插和有選擇性地整合融入，引導學生圍繞斐波那契數列展開對其通項公式、性質進行探究，并穿插生活和其他領域中有關斐波那契數列的案例，了解斐波那契數列與黃金分割的關系，欣賞數學之美，這樣有效地避免了知識點和數學文化內容學習的碎片化.

2.2 大膽猜想，培養學生的思維與探究能力

探究能力是人們為發現并描述事物之間的聯系，理解現象的本質，獲取知識，形成思想觀念，掌握科學研究方法而進行的各種探索研究活動的能力.本節課中，筆者通過經典問題再現，引導學生觀察數列特點，歸納出斐波那契數列的遞推關系，猜想斐波那契數列的通項公式，展開聯想，嘗試多種方法進行探究，并不斷調整研究方向，最終運用待定系數法構造等比數列求解出其通項公式來驗證猜想.引導學生通過對斐波那契數列前幾項進行適當運算，觀察其結果，進行合情推理，猜想其性質，并驗證猜想，得出結論.先讓學生思考、感悟，經歷“實驗—觀察—猜想—證明”的探究過程，然后上升為理性認識，從中獲得“如何思考”的體驗，這樣得到的知識與方法才能轉化為認識世界的智慧，有利于發展學生探究能力和培養理性精神.

2.3 精準配對，促進數學文化與核心素養融合

精準配對題材指的是將數學文化材料與所對應的數學核心素養進行配對.斐波那契數列的遞推關系、通項公式和性質的探究，都是數學抽象的體現.斐波那契數列的通項公式和性質的猜想，都是通過邏輯推理加以證明得到的.通項公式和性質推導過程中的運算思路與方法，對培養學生數學運算素養起著非常重要的作用.教師在挖掘與甄選數學文化素材時，不僅要考慮素材的“趣味性、科學性、有效性和人文性”，更要研究“精準配對題材”，讓學生在品味數學文化韻味的同時，培育數學核心素養，發展數學文化涵養.