品味文化韻味 彰顯數(shù)學(xué)文脈

殷偉康

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生興趣、開(kāi)闊視野，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)文化的教育功能，并要求數(shù)學(xué)文化應(yīng)盡可能與高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)結(jié)合.本文中以筆者的市級(jí)公開(kāi)課“斐波那契數(shù)列”課堂教學(xué)實(shí)踐為例，闡述“基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計(jì)理念和思路，如何將數(shù)學(xué)文化滲透到日常教學(xué)中，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的魅力，促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展”.

1 教學(xué)實(shí)錄

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，經(jīng)典再現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問(wèn)題1202年意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作《算盤(pán)書(shū)》一書(shū)中提出了“兔子的繁殖”問(wèn)題：有一個(gè)人第一個(gè)月底時(shí)在一間房子里放了一對(duì)剛出生的小兔，假如每對(duì)小兔一個(gè)月后能長(zhǎng)成大兔，再過(guò)一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔.如果不發(fā)生死亡，那么12個(gè)月后這個(gè)人有多少對(duì)兔子？

生：根據(jù)兔子的繁殖規(guī)律可以得到一個(gè)數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…….這樣很容易知道12個(gè)月后共有144對(duì)兔子.

師：那么50個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子？

生：直接運(yùn)算有點(diǎn)繁，最好找出這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律.

生：觀察該數(shù)列的特點(diǎn)，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于自身的前兩項(xiàng)之和，如果用an表示第n個(gè)月兔子總對(duì)數(shù)，那么a1=a2=1，an+an+1=an+2.

師：人們?yōu)榧o(jì)念斐波那契，把這種數(shù)列叫斐波那契數(shù)列.很好！找到了這個(gè)數(shù)列的遞推公式后，按照我們以前研究數(shù)列的方式，那么如何求出它的通項(xiàng)公式呢？

1.2 展開(kāi)探究，不斷嘗試，建構(gòu)數(shù)學(xué)

生：我猜想這個(gè)數(shù)列可能是兩個(gè)數(shù)列的線性組合，如an=c1tn1+c2tn2，仍能滿(mǎn)足遞推關(guān)系an+an+1=an+2，再結(jié)合條件a1=a2=1，有c1t1+c2t2=1，c1t21+c2t22=1，解得c1=15，c2=－15，所以可得

an=151+52n－1－52n.

師：這種猜想嘗試很值得同學(xué)們學(xué)習(xí)和借鑒！還有沒(méi)有其他求解方法？

生：類(lèi)比之前求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求它的通項(xiàng)公式，設(shè)an+2－an+1=λ（an+1－an），則an+2=（λ+1）an+1－λan.

又an+an+1=an+2，所以λ+1=1，－λ=1，方程組無(wú)解.

師：數(shù)列an的通項(xiàng)公式是一個(gè)比較復(fù)雜的式子，一個(gè)參數(shù)不足以解決問(wèn)題.

生：設(shè)an+2－λ1an+1=λ2（an+1－λ1an），則有an+2=（λ1+λ2）an+1－λ1λ2an.

由λ1+λ2=1，－λ1λ2=1，解得λ1=1－52，λ2=1+52，或λ1=1+52，λ2=1－52.

當(dāng)λ1=1－52，λ2=1+52，時(shí)，數(shù)列{an+1－λ1an}是以1－λ1為首項(xiàng)，λ2為公比的等比數(shù)列，所以

an+1－1－52an＝1+52n.①

當(dāng)λ1=1+52，λ2=1－52時(shí)，同理可得

an+1－1+52an＝1－52n.②

由①－②，得an=151+52n－1－52n.

師：這位同學(xué)運(yùn)用了待定系數(shù)法通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求解.斐波那契數(shù)列是一個(gè)完全由自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，其通項(xiàng)公式卻是用無(wú)理數(shù)來(lái)表達(dá)的.當(dāng)看到通項(xiàng)公式中的數(shù)5－12時(shí)，同學(xué)們會(huì)聯(lián)想到什么？

生：黃金分割比.

1.3 激發(fā)思維，引深探究，欣賞數(shù)學(xué)

生：斐波那契數(shù)列中的每一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值隨著項(xiàng)數(shù)的增大會(huì)趨近于0.618.

師：當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，anan+1越來(lái)越無(wú)限地逼近黃金分割比0.618.這是一種極限思想.黃金分割是兩千多年前由古希臘數(shù)學(xué)家歐克多斯發(fā)現(xiàn)的，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的奇異美和視覺(jué)美，深受美術(shù)家、建筑師和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的偏愛(ài).生活中有黃金分割的例子嗎？

生：繪畫(huà)、雕塑等藝術(shù)作品中，如斷臂的維納斯、名畫(huà)《蒙娜麗莎的微笑》中都有黃金分割的體現(xiàn).

師：斐波那契數(shù)列不僅具有神秘的自然之美，還有許多數(shù)學(xué)之美（有趣的性質(zhì)）等待著我們?nèi)ヌ骄?下面按小組合作的方式探究斐波那契數(shù)列的性質(zhì).

生：1+1+2=4=5-1，1+1+2+3=8-1，1+1+2+3+5=13-1，

由此猜想并證明，得到結(jié)論a1+a2+……+an=（a3－a2）+（a4－a3）+（a5－a4）+……+（an+2－an+1）=an+2－a2=an+2－1，即

斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)和等于第n+2項(xiàng)與1的差.

生：運(yùn)用遞推關(guān)系，可推導(dǎo)出a1+a3+……+a2n－1=a2n，a2+a4+……+a2n=a2n+1－1.

生：12+12＝1×2，12+12+22＝2×3，

12+12+22+32＝3×5，

由此也可以猜想并證明得到一個(gè)結(jié)論.由an＝an－1＋an－2（n≥3），得an－1＝an－an－2，兩邊同乘an－1，可得a2n－1＝an－1an－an－1an－2，則

a21+a22+……+a2n=a21+（a2a3－a1a2）+（a3a4－a2a3）+……+（anan+1－an－1an）

=a21－a1a2+anan+1=anan+1，

即斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)平方和等于第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)的積.

師：非常好！以上同學(xué)發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列許多有趣的性質(zhì)，都是通過(guò)嘗試對(duì)該數(shù)列前幾項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算，觀察其運(yùn)算結(jié)果的特點(diǎn)，猜想并推導(dǎo)出它的一般規(guī)律.

1.4 總結(jié)歸納，方法提煉，思想升華

師：本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？

生：本節(jié)課主要是研究斐波那契數(shù)列，由遞推公式推導(dǎo)其通項(xiàng)公式，歸納并證明了斐波那契數(shù)列一些有趣的性質(zhì).

師：本節(jié)課涉及了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生：待定系數(shù)方法，歸納猜想.

師：很好！歸納法是合情推理的主要方式之一，也是探究未知世界的重要方法.世界上有許多斐波那契迷，成立了斐波那契協(xié)會(huì)，繼續(xù)探究其數(shù)列的奧妙.

2 教學(xué)反思

2.1 挖掘素材，促進(jìn)問(wèn)題情境的合理創(chuàng)設(shè)

基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開(kāi)放性以及向其他領(lǐng)域的廣泛滲透性，體驗(yàn)到資源對(duì)其經(jīng)驗(yàn)的支撐，領(lǐng)悟到同學(xué)之間的互動(dòng)交流對(duì)知識(shí)構(gòu)建的意義，進(jìn)而體驗(yàn)到“數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一種文化”，從而對(duì)學(xué)生進(jìn)行深刻的文化陶醉與心靈提升.在教學(xué)過(guò)程中，教師要善于挖掘與篩選更多的數(shù)學(xué)文化素材，采用更加自然的方式融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中.本案例是通過(guò)再現(xiàn)“斐波那契數(shù)列”的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展過(guò)程，將數(shù)學(xué)文化自然有序穿插和有選擇性地整合融入，引導(dǎo)學(xué)生圍繞斐波那契數(shù)列展開(kāi)對(duì)其通項(xiàng)公式、性質(zhì)進(jìn)行探究，并穿插生活和其他領(lǐng)域中有關(guān)斐波那契數(shù)列的案例，了解斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)系，欣賞數(shù)學(xué)之美，這樣有效地避免了知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)文化內(nèi)容學(xué)習(xí)的碎片化.

2.2 大膽猜想，培養(yǎng)學(xué)生的思維與探究能力

探究能力是人們?yōu)榘l(fā)現(xiàn)并描述事物之間的聯(lián)系，理解現(xiàn)象的本質(zhì)，獲取知識(shí)，形成思想觀念，掌握科學(xué)研究方法而進(jìn)行的各種探索研究活動(dòng)的能力.本節(jié)課中，筆者通過(guò)經(jīng)典問(wèn)題再現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列特點(diǎn)，歸納出斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系，猜想斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式，展開(kāi)聯(lián)想，嘗試多種方法進(jìn)行探究，并不斷調(diào)整研究方向，最終運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求解出其通項(xiàng)公式來(lái)驗(yàn)證猜想.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)斐波那契數(shù)列前幾項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算，觀察其結(jié)果，進(jìn)行合情推理，猜想其性質(zhì)，并驗(yàn)證猜想，得出結(jié)論.先讓學(xué)生思考、感悟，經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)—觀察—猜想—證明”的探究過(guò)程，然后上升為理性認(rèn)識(shí)，從中獲得“如何思考”的體驗(yàn)，這樣得到的知識(shí)與方法才能轉(zhuǎn)化為認(rèn)識(shí)世界的智慧，有利于發(fā)展學(xué)生探究能力和培養(yǎng)理性精神.

2.3 精準(zhǔn)配對(duì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)文化與核心素養(yǎng)融合

精準(zhǔn)配對(duì)題材指的是將數(shù)學(xué)文化材料與所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行配對(duì).斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式和性質(zhì)的探究，都是數(shù)學(xué)抽象的體現(xiàn).斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)的猜想，都是通過(guò)邏輯推理加以證明得到的.通項(xiàng)公式和性質(zhì)推導(dǎo)過(guò)程中的運(yùn)算思路與方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)起著非常重要的作用.教師在挖掘與甄選數(shù)學(xué)文化素材時(shí)，不僅要考慮素材的“趣味性、科學(xué)性、有效性和人文性”，更要研究“精準(zhǔn)配對(duì)題材”，讓學(xué)生在品味數(shù)學(xué)文化韻味的同時(shí)，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展數(shù)學(xué)文化涵養(yǎng).