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基于APOS理論的集合概念教學設計

2024-01-04 07:53:44田麗娜
中學數學·高中版 2023年12期
關鍵詞:概念教學

田麗娜

摘要:集合是高中數學學習的基礎,也是高中數學學習的工具.對于剛從初中升到高一的學生而言,面對集合這一抽象的概念,往往理解不透.APOS理論是一種建構主義學習理論,它認為學生學習數學概念的過程是一個建構的過程,分為操作、過程、對象、圖式這四個階段.在APOS理論的指導下,以“集合”為例,進行四個階段的教學設計.

關鍵詞:APOS理論;數學概念;集合;概念教學

集合是高中階段數學課程引入的第一個概念,是整個高中數學課程內容的基礎,對后續內容的學習非常有幫助,在整個高中階段數學內容中有著舉足輕重的地位.可見,學好集合至關重要.然而,不少學生對集合概念的理解卻存在著誤區,在做題時出現了很多問題.美國學者EdDubinsky等人提出的APOS理論對數學概念的教學具有指導作用.本文中要解決的問題就是如何運用APOS理論指導集合概念的教學.

1 APOS理論概述

APOS理論由美國數學教育家杜賓斯基提出\.APOS是由action(操作)、process(過程)、object(對象)、schema(圖式)這幾個英文的首字母組合而成的.這個理論認為,在數學的學習中,如果教師能引導學生經歷操作、過程以及對象這幾個階段,那么一般情況下,學生就能夠在建構、反思的基礎上把它們組成圖式,從而厘清問題的情境,順利解決問題\.該理論是一種建構主義學習理論,它認為學生學習數學概念的過程是一個建構的過程,建構的四個階段應該是循序漸進的,一般來說,不可逾越,因此教師可以把APOS理論作為經驗,指導學生學習數學概念.

2 概念教學概述

數學概念的學習是學生學習其他數學知識的基石,還可以培養學生的數學能力.概念教學是數學教學的重要組成部分.教學中教師要展示數學概念的形成過程,使學生能夠主動建構學習過程,從而更加深刻理解這個數學概念\.

3 基于APOS理論的“集合”教學設計

3.1 活動階段

在小學和初中階段,我們就已經接觸過了一些集合.比如在初中階段,在代數方面,學過自然數集合、有理數集合以及實數集合;在幾何方面,學過點的集合等.觀察下面的例子:

(1)1~10之間的所有偶數;

(2)黑龍江省克東縣一中的全體高二學生;

(3)所有的正方形;

(4)到直線l的距離等于定長d的所有點;

(5)方程x2-3x+2=0的所有實數根;

(6)地球上的四大洋.

在例(1)中,把1到10之間的每一個偶數都作為元素,那么這些元素的全體就可以組成一個集合;在例(2)中,把黑龍江省克東縣一中的每一位高二學生作為元素,這些元素的全體也可以組成一個集合.

思考:上述的例(3)到例(6)中的元素分別是什么?它們可以組成集合嗎?

集合:一般地,我們把研究對象統稱為元素,通常用小寫拉丁字母a,b,c,……表示,把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集),通常用大寫拉丁字母A,B,C,……表示.

追問:高中學生中的跑步能手的全體是否能組成集合?

分析:高中學生中的跑步能手這一定義并不明確,很難判斷某個人是否滿足跑步能手這樣子的說法,無法確定一個標準,所以,這樣的說法表示的對象無法組成一個集合.

確定性:對于一個給定的集合,集合中的元素必須是確定的,一個元素要么是這個集合中的元素,要么不是這個集合中的元素.

互異性:一個給定集合中的元素是互不相同的.

無序性:集合中元素的位置是可以變換的,只要構成兩個集合的元素是相同的,那么這兩個集合就是相等的.

設計意圖:根據學生已經有的認知結構,再從學生熟悉的各種具體的集合引入,重要的是將這些具體的事例進行抽象,從而得到集合的概念.教學中共講解六個例子,從中總結集合的概念,讓學生充分體會集合的含義,并用準確的語言表達集合的特征.另外,講解一個反例,幫助學生理解集合的概念.這個階段是操作階段,應多提供一些感性材料啟發學生進行思考.

3.2 過程階段

如果a是集合A中的元素,那么a屬于集合A,記作a∈A;如果a不是集合A中的元素,那么a不屬于集合A,記作aA.

練習:用符號“∈”或“”填空.

0N;

-3N;

0.5Z;

2Z;

13Q;πQ.

設計意圖:此階段講述元素與集合的關系,通過練習題加深學生對此概念的理解,這也是自然語言轉化為符號語言的關鍵.符號語言的教學是整個高中數學教學的一個重點,所以要特別注意學生的符號使用是否規范,為以后的學習打下基礎.這個階段是過程階段,要注意引導學生進行抽象概括,要求學生嚴謹地使用符號語言.

3.3 對象階段

列舉法:把集合中的所有元素一一列舉出來,并且用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

除了一些特殊集合外,還可以用什么方式表示集合呢?

例1用列舉法表示下列集合:

(1)1到11之間的所有奇數組成的集合;

(2)A={x|x2=5x}.

提問:對于不等式x-7<3,你可以用列舉法表示它的解集嗎?

描述法:一般地,設A是一個集合,我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.

例2用描述法表示下列集合:

(1)正偶數集;

(2)被3除余2的正整數的集合;

(3)函數y=3x+5與函數y=x-4的圖象的交點組成的集合.

例3請同時使用描述法和列舉法表示下列集合:

(1)大于15并且小于25的所有整數組成的集合A;

(2)方程x2-10=0的所有實數根組成的集合B.

設計意圖:通過幾道例題,學生充分體會什么情況下使用列舉法好,什么情況下使用描述法好,因為有一些題目既可以使用列舉法又可以使用描述法,此時的教學也滲透給學生最優化的數學思想.經過前面兩個階段的學習后,學生已經基本掌握了集合的特征,這時學生學習集合的表示法,能夠準確地使用符號語言表示集合,能夠把集合看成是一個整體,從而達到對象階段.

3.4 圖式階段

運用集合元素的性質和表示法解決實際問題.

例4若x2∈x,1,0,則x=_____________.

解析:由題意可知,x2=x或x2=1或x2=0.

①當x2=x時,x=0或x=1.當x=0時,集合的三個元素為0,0,1,不滿足集合中元素的互異性;當x=1時,集合的三個元素為1,1,0,不滿足集合中元素的互異性.

②當x2=1時,x=-1或x=1(舍去),集合的三個元素為-1,1,0,滿足集合中元素的互異性.

③當x2=0時,x=0,不滿足集合中元素的互異性.

綜上可知,x=-1.

設計意圖:在學習了集合的含義、集合的特征、元素與集合之間的關系、集合的表示法之后,給出幾道練習題,讓學生運用這些知識來解決問題,從而形成集合概念的圖式.學生是否掌握了圖式的連貫性可以通過一個方法來確定,即學生有沒有用它來解決特定的數學問題的能力\.在沒有學習這節課之前學生關于集合概念的圖式都是具體的、零散的,而新的圖式是抽象的、整體的.

4 教學反思及建議

APOS理論本質上討論的是數學學習的心理結構和心理機制的問題.心理機制可以解釋個體的數學知識是如何建構的,基于這個功能,APOS理論可以作為一個理論基礎,對數學概念教學進行指導\.實踐表明,基于APOS理論下的數學概念的教學能夠激發學生的學習興趣,加深學生對概念的理解.所以,在操作階段教師可以多提供一些感性材料,啟發學生進行思考;在過程階段教師應注重引導學生進行抽象概括,將集合的自然語言轉化為符號語言;在對象階段,學生已經基本掌握了概念的形式\,教師應引導并幫助學生理解概念的實質;通過前面三個階段的學習,教師可以利用練習題來判斷學生是否達到第四階段,形成一個新的整體的圖式.APOS理論中的四個階段是緊密聯系的,不可以把它們割裂來看.APOS理論是一種建構主義學習理論,強調學生學習的主動性,強調學生應是主動建構知識而不是被動接受,所以,教師除了要發揮自己的主導作用,還要以學生為中心,充分發揮學生的主體作用.

參考文獻:

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[3]李莉.學生學習數學概念的層次分析[J].數學教育學報,2002(3):12-15.

[4]江春蓮,胡玲.基于APOS理論和RMI原則的二次函數圖象平移教學實驗研究[J].數學教育學報,2020,29(6):32-39.

[5]馬曉丹.APOS理論探索的反思與超越[J].教學與管理,2020(33):74-77.

[6]程華.APOS理論的內涵及其對中學數學概念教學的啟示[J].教學與管理,2010(24):65-66.

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