故選擇答案:C.
點評:在處理此類大小比較及其相關應用問題時,關鍵在于借助對數運算加以合理變形與轉化,結合對數函數的單調性、不等式的基本性質以及其他一些相關的知識加以合理放縮.
4 函數模型問題
例4(多選題)已知函數f(x)的定義域是(0,+∞),當x>1時,f(x)<0,且f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=-1,下列說法正確的是().
A.f(1)=0
B.函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減
C.f12 023+f12 022+……+f13+f12+f(2)+f(3)+……+f(2 022)+f(2 023)=2 023
D.滿足不等式f(1x)-f(x-3)≥2的x的取值范圍為\
分析:根據題設條件,通過關系式f(xy)=f(x)+f(y)的結構特征及對數的運算性質loga(xy)=logax+logay加以合理聯想,化抽象為具體,并結合題設中的相關條件合理配湊對數函數中的相關系數,進而構建特殊對數函數模型,利用特殊化處理來巧妙解決問題.
解析:令函數f(x)=log0.5x,則該函數f(x)滿足題設條件.
于是f(1)=0,且f(x)在R上是單調遞減函數,故選項A,B正確.
由于f1x+f(x)=log0.51x+log0.5x=log0.51=0,則知f12 023+f12 022+……+f13+f12+f(2)+f(3)+……+f(2 022)+f(2 023)=0,故選項C錯誤.
由f1x-f(x-3)≥2,可得log0.51x-log0.5(x-3)≥2,即log0.51x(x-3)≥2=log0.514,于是
可得x-3>0,1x(x-3)≤14,解得x≥4.所以原不等式的解集為\點評:借助對數函數模型來特殊化解決此類問題時,關鍵要熟練掌握對數函數的結構特征以及與之相關的運算特征,其中對數函數f(x)=logax(a>0,a≠1)中的底數決定函數的單調性,特別地,真數可以與常數進行適當的加減配湊來決定常數情況,根據具體場景加以合理正確選取.特別要注意的是,該方法對于選擇題而言,雖可快速作出選擇,但不夠嚴謹.
5 實際應用問題
例5〔2023年四川省雅安市部分學校數學聯考試卷(4月份)〕住房的許多建材都會釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣體,對人體健康有著極大的危害.新房入住時,空氣中甲醛濃度不能超過0.08 mg/m3,否則,該新房達不到安全入住的標準.若某套住房自裝修完成后,通風x(x=1,2,3,……,50)周與室內甲醛濃度y(單位:mg/m3)之間近似滿足函數關系式y=0.48-0.1f(x)(x∈N*),其中f(x)=loga\(k>0, x=1,2,3,……,50),且f(2)=2,f(8)=3,則該住房裝修完成后要達到安全入住的標準,至少需要通風().
A.17周
B.24周
C.28周
D.26周
分析:根據題設條件,結合已知的函數值,合理構建相應的關系式,通過變形與轉化來確定并求解對應的參數值,進而確定對應的對數函數的解析式,并結合不等式的構建與應用來求解.
解析:依題知f(x)=loga\=loga\=logak+2loga(x+1).
由f(2)=2,f(8)=3,
可得logak+2loga(2+1)=2,logak+2loga(8+1)=3.
以上兩式對應相減,可得loga9=1,解得a=9,則有logak+2=3,解得k=9.
所以f(x)=1+2log9(x+1).
若該住房裝修完成后要達到安全入住的標準,則有0.48-0.1f(x)≤0.08,可得
f(x)≥4,即1+2log9(x+1)≥4,解得x≥26,故至少需要通風26周.
故選擇答案:D.
點評:結合實際應用中的創新情境設置,合理構建與對數函數有關的數學模型,合理結合對數的運算與應用、對數函數的解析式與基本性質等來分析與處理,并反饋到實際應用問題中去,給出科學的決策或分析.
作為高考數學中最重要的一種基本初等函數,對數函數有其自身的顯著特點,同時又可以很好地聯系起冪函數、指數函數等,串聯起抽象函數和復合函數,基本性質與結構特征明顯,對知識的理解與掌握有其獨特的要求.全面梳理知識體系,構建完整應用題型,從知識入手,滲透思想方法,融入數學能力,形成數學知識網絡體系與解題思維,提升數學核心素養.