對數函數的單元教學：知識全面梳理，應用巧妙解讀

白亞蘭

對數函數作為高中數學的一種基本初等函數，是最為重要的一個基本函數模型，也是每年高考數學必考的重點函數類型與內容之一.以對數函數為問題場景，結合對數運算、對數與指數之間的轉化、對數函數的概念、對數函數的基本性質等知識加以全面梳理，以細致周到的應用來創設，全面針對對數函數的單元教學與學習進行合理設計與研究.

1 函數概念問題

例1已知a>0，且a≠1，函數f（x）=ax，x<0，loga（2x2+1），x≥0，若f（f（－1））=2，則a=，f（x）≤4的解集為.

分析：結合分段函數場景，融入含參的指數函數與對數函數，利用函數值的應用來求解對應的參數值，并結合不等式的確立，通過分類討論思想來分析與解決涉及指數函數、對數函數的基本概念與基本應用問題.

解析：依題意可得f（f（－1））=f（a－1）=loga（2a－2+1）=2，則有2a－2+1=a2，

整理可得a4－a2－2=0，解得a2=2.又a>0，且a≠1，所以a=2.

當x<0時，f（x）=（2）x≤4恒成立，此時不等式的解為x<0.

當x≥0時，f（x）=log2（2x2+1）≤4，則有2x2+1≤4，解得0≤x≤62.

綜上可知，不等式f（x）≤4的解為x≤62.

故填答案：2；－∞，62〗.

點評：涉及對數函數的解析式、定義域、值域以及函數值的求解等基本問題，是基于對數函數模塊的基礎知識之一，要求熟練掌握并會加以應用.

2 函數圖象問題

例2〔2022年內蒙古通遼市高考數學模擬試卷（4月份）〕若函數f（x）=（k－1）ax－a－x（a>0，且a≠1）在R上既是奇函數又是減函數，則函數g（x）=loga|x+k|的大致圖象是（）.

分析：根據函數的奇偶性來確定相關參數的值，并利用指數函數的單調性來確定參數的取值范圍，進一步轉化為利用對數函數的定義域與單調性來判斷復雜函數的圖象.

解析：若函數f（x）=（k－1）ax－a－x（a>0，且a≠1）在R上是奇函數，

則有f（0）=0，即（k－1）－1=0，解得k=2，此時函數f（x）=ax－a－x為奇函數，滿足條件.

又函數f（x）在R上是減函數，則知0

所以g（x）=loga|x+k|=loga|x+2|，其定義域為{x|x≠－2}，

則知函數g（x）在（－∞，－2）上單調遞增，在（－2，+∞）上單調遞減，其大致圖象為選項B中的函數圖象

故選擇答案：B.

點評：在判斷指數函數與對數函數的綜合應用中的函數圖象問題時，關鍵要通過相關函數的奇偶性、單調性等來確定參數的值或取值范圍，由此及彼，合理過渡，實現兩個基本初等函數之間的聯系與轉化.

3 大小比較問題

例3（2021年高考數學新高考Ⅱ卷·7）已知a=log52，b=log83，c=12，則下列判斷正確的是（）.

A.c

B.b

C.a

D.a

分析：以對數函數為場景，結合對數值的構建來判斷代數式的大小比較問題，破解的關鍵就是直接利用對數運算加以合理變形，并借助對數函數的單調性來合理放縮處理，從而得以正確判斷.

解析：依題知a=log52=log54log88=12=c，

可得a

故選擇答案：C.

點評：在處理此類大小比較及其相關應用問題時，關鍵在于借助對數運算加以合理變形與轉化，結合對數函數的單調性、不等式的基本性質以及其他一些相關的知識加以合理放縮.

4 函數模型問題

例4（多選題）已知函數f（x）的定義域是（0，+∞），當x＞1時，f（x）＜0，且f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=－1，下列說法正確的是（）.

A.f（1）=0

B.函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減

C.f12 023+f12 022+……+f13+f12+f（2）+f（3）+……+f（2 022）+f（2 023）=2 023

D.滿足不等式f（1x）－f（x－3）≥2的x的取值范圍為＼

分析：根據題設條件，通過關系式f（xy）=f（x）+f（y）的結構特征及對數的運算性質loga（xy）=logax+logay加以合理聯想，化抽象為具體，并結合題設中的相關條件合理配湊對數函數中的相關系數，進而構建特殊對數函數模型，利用特殊化處理來巧妙解決問題.

解析：令函數f（x）=log0.5x，則該函數f（x）滿足題設條件.

于是f（1）=0，且f（x）在R上是單調遞減函數，故選項A，B正確.

由于f1x+f（x）=log0.51x+log0.5x=log0.51=0，則知f12 023+f12 022+……+f13+f12+f（2）+f（3）+……+f（2 022）+f（2 023）=0，故選項C錯誤.

由f1x－f（x－3）≥2，可得log0.51x－log0.5（x－3）≥2，即log0.51x（x－3）≥2=log0.514，于是

可得x－3＞0，1x（x－3）≤14，解得x≥4.所以原不等式的解集為＼點評：借助對數函數模型來特殊化解決此類問題時，關鍵要熟練掌握對數函數的結構特征以及與之相關的運算特征，其中對數函數f（x）=logax（a>0，a≠1）中的底數決定函數的單調性，特別地，真數可以與常數進行適當的加減配湊來決定常數情況，根據具體場景加以合理正確選取.特別要注意的是，該方法對于選擇題而言，雖可快速作出選擇，但不夠嚴謹.

5 實際應用問題

例5〔2023年四川省雅安市部分學校數學聯考試卷（4月份）〕住房的許多建材都會釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣體，對人體健康有著極大的危害.新房入住時，空氣中甲醛濃度不能超過0.08 mg/m3，否則，該新房達不到安全入住的標準.若某套住房自裝修完成后，通風x（x=1，2，3，……，50）周與室內甲醛濃度y（單位：mg/m3）之間近似滿足函數關系式y=0.48－0.1f（x）（x∈N*），其中f（x）=loga＼（k>0， x=1，2，3，……，50），且f（2）=2，f（8）=3，則該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，至少需要通風（）.

A.17周

B.24周

C.28周

D.26周

分析：根據題設條件，結合已知的函數值，合理構建相應的關系式，通過變形與轉化來確定并求解對應的參數值，進而確定對應的對數函數的解析式，并結合不等式的構建與應用來求解.

解析：依題知f（x）=loga＼=loga＼=logak+2loga（x+1）.

由f（2）=2，f（8）=3，

可得logak+2loga（2+1）=2，logak+2loga（8+1）=3.

以上兩式對應相減，可得loga9=1，解得a=9，則有logak+2=3，解得k=9.

所以f（x）=1+2log9（x+1）.

若該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，則有0.48－0.1f（x）≤0.08，可得

f（x）≥4，即1+2log9（x+1）≥4，解得x≥26，故至少需要通風26周.

故選擇答案：D.

點評：結合實際應用中的創新情境設置，合理構建與對數函數有關的數學模型，合理結合對數的運算與應用、對數函數的解析式與基本性質等來分析與處理，并反饋到實際應用問題中去，給出科學的決策或分析.

作為高考數學中最重要的一種基本初等函數，對數函數有其自身的顯著特點，同時又可以很好地聯系起冪函數、指數函數等，串聯起抽象函數和復合函數，基本性質與結構特征明顯，對知識的理解與掌握有其獨特的要求.全面梳理知識體系，構建完整應用題型，從知識入手，滲透思想方法，融入數學能力，形成數學知識網絡體系與解題思維，提升數學核心素養.