對數(shù)函數(shù)的單元教學(xué)：知識全面梳理，應(yīng)用巧妙解讀

白亞蘭

對數(shù)函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一種基本初等函數(shù)，是最為重要的一個基本函數(shù)模型，也是每年高考數(shù)學(xué)必考的重點函數(shù)類型與內(nèi)容之一.以對數(shù)函數(shù)為問題場景，結(jié)合對數(shù)運算、對數(shù)與指數(shù)之間的轉(zhuǎn)化、對數(shù)函數(shù)的概念、對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)等知識加以全面梳理，以細(xì)致周到的應(yīng)用來創(chuàng)設(shè)，全面針對對數(shù)函數(shù)的單元教學(xué)與學(xué)習(xí)進行合理設(shè)計與研究.

1 函數(shù)概念問題

例1已知a>0，且a≠1，函數(shù)f（x）=ax，x<0，loga（2x2+1），x≥0，若f（f（－1））=2，則a=，f（x）≤4的解集為.

分析：結(jié)合分段函數(shù)場景，融入含參的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，利用函數(shù)值的應(yīng)用來求解對應(yīng)的參數(shù)值，并結(jié)合不等式的確立，通過分類討論思想來分析與解決涉及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的基本概念與基本應(yīng)用問題.

解析：依題意可得f（f（－1））=f（a－1）=loga（2a－2+1）=2，則有2a－2+1=a2，

整理可得a4－a2－2=0，解得a2=2.又a>0，且a≠1，所以a=2.

當(dāng)x<0時，f（x）=（2）x≤4恒成立，此時不等式的解為x<0.

當(dāng)x≥0時，f（x）=log2（2x2+1）≤4，則有2x2+1≤4，解得0≤x≤62.

綜上可知，不等式f（x）≤4的解為x≤62.

故填答案：2；－∞，62〗.

點評：涉及對數(shù)函數(shù)的解析式、定義域、值域以及函數(shù)值的求解等基本問題，是基于對數(shù)函數(shù)模塊的基礎(chǔ)知識之一，要求熟練掌握并會加以應(yīng)用.

2 函數(shù)圖象問題

例2〔2022年內(nèi)蒙古通遼市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）〕若函數(shù)f（x）=（k－1）ax－a－x（a>0，且a≠1）在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，則函數(shù)g（x）=loga|x+k|的大致圖象是（）.

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性來確定相關(guān)參數(shù)的值，并利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來確定參數(shù)的取值范圍，進一步轉(zhuǎn)化為利用對數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性來判斷復(fù)雜函數(shù)的圖象.

解析：若函數(shù)f（x）=（k－1）ax－a－x（a>0，且a≠1）在R上是奇函數(shù)，

則有f（0）=0，即（k－1）－1=0，解得k=2，此時函數(shù)f（x）=ax－a－x為奇函數(shù)，滿足條件.

又函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，則知0

所以g（x）=loga|x+k|=loga|x+2|，其定義域為{x|x≠－2}，

則知函數(shù)g（x）在（－∞，－2）上單調(diào)遞增，在（－2，+∞）上單調(diào)遞減，其大致圖象為選項B中的函數(shù)圖象

故選擇答案：B.

點評：在判斷指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用中的函數(shù)圖象問題時，關(guān)鍵要通過相關(guān)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等來確定參數(shù)的值或取值范圍，由此及彼，合理過渡，實現(xiàn)兩個基本初等函數(shù)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.

3 大小比較問題

例3（2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·7）已知a=log52，b=log83，c=12，則下列判斷正確的是（）.

A.c

B.b

C.a

D.a

分析：以對數(shù)函數(shù)為場景，結(jié)合對數(shù)值的構(gòu)建來判斷代數(shù)式的大小比較問題，破解的關(guān)鍵就是直接利用對數(shù)運算加以合理變形，并借助對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來合理放縮處理，從而得以正確判斷.

解析：依題知a=log52=log54log88=12=c，

可得a

故選擇答案：C.

點評：在處理此類大小比較及其相關(guān)應(yīng)用問題時，關(guān)鍵在于借助對數(shù)運算加以合理變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)以及其他一些相關(guān)的知識加以合理放縮.

4 函數(shù)模型問題

例4（多選題）已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），當(dāng)x＞1時，f（x）＜0，且f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=－1，下列說法正確的是（）.

A.f（1）=0

B.函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減

C.f12 023+f12 022+……+f13+f12+f（2）+f（3）+……+f（2 022）+f（2 023）=2 023

D.滿足不等式f（1x）－f（x－3）≥2的x的取值范圍為＼

分析：根據(jù)題設(shè)條件，通過關(guān)系式f（xy）=f（x）+f（y）的結(jié)構(gòu)特征及對數(shù)的運算性質(zhì)loga（xy）=logax+logay加以合理聯(lián)想，化抽象為具體，并結(jié)合題設(shè)中的相關(guān)條件合理配湊對數(shù)函數(shù)中的相關(guān)系數(shù)，進而構(gòu)建特殊對數(shù)函數(shù)模型，利用特殊化處理來巧妙解決問題.

解析：令函數(shù)f（x）=log0.5x，則該函數(shù)f（x）滿足題設(shè)條件.

于是f（1）=0，且f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，故選項A，B正確.

由于f1x+f（x）=log0.51x+log0.5x=log0.51=0，則知f12 023+f12 022+……+f13+f12+f（2）+f（3）+……+f（2 022）+f（2 023）=0，故選項C錯誤.

由f1x－f（x－3）≥2，可得log0.51x－log0.5（x－3）≥2，即log0.51x（x－3）≥2=log0.514，于是

可得x－3＞0，1x（x－3）≤14，解得x≥4.所以原不等式的解集為＼點評：借助對數(shù)函數(shù)模型來特殊化解決此類問題時，關(guān)鍵要熟練掌握對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征以及與之相關(guān)的運算特征，其中對數(shù)函數(shù)f（x）=logax（a>0，a≠1）中的底數(shù)決定函數(shù)的單調(diào)性，特別地，真數(shù)可以與常數(shù)進行適當(dāng)?shù)募訙p配湊來決定常數(shù)情況，根據(jù)具體場景加以合理正確選取.特別要注意的是，該方法對于選擇題而言，雖可快速作出選擇，但不夠嚴(yán)謹(jǐn).

5 實際應(yīng)用問題

例5〔2023年四川省雅安市部分學(xué)校數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（4月份）〕住房的許多建材都會釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣體，對人體健康有著極大的危害.新房入住時，空氣中甲醛濃度不能超過0.08 mg/m3，否則，該新房達不到安全入住的標(biāo)準(zhǔn).若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)x（x=1，2，3，……，50）周與室內(nèi)甲醛濃度y（單位：mg/m3）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=0.48－0.1f（x）（x∈N*），其中f（x）=loga＼（k>0， x=1，2，3，……，50），且f（2）=2，f（8）=3，則該住房裝修完成后要達到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，至少需要通風(fēng)（）.

A.17周

B.24周

C.28周

D.26周

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合已知的函數(shù)值，合理構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，通過變形與轉(zhuǎn)化來確定并求解對應(yīng)的參數(shù)值，進而確定對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的解析式，并結(jié)合不等式的構(gòu)建與應(yīng)用來求解.

解析：依題知f（x）=loga＼=loga＼=logak+2loga（x+1）.

由f（2）=2，f（8）=3，

可得logak+2loga（2+1）=2，logak+2loga（8+1）=3.

以上兩式對應(yīng)相減，可得loga9=1，解得a=9，則有l(wèi)ogak+2=3，解得k=9.

所以f（x）=1+2log9（x+1）.

若該住房裝修完成后要達到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，則有0.48－0.1f（x）≤0.08，可得

f（x）≥4，即1+2log9（x+1）≥4，解得x≥26，故至少需要通風(fēng)26周.

故選擇答案：D.

點評：結(jié)合實際應(yīng)用中的創(chuàng)新情境設(shè)置，合理構(gòu)建與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，合理結(jié)合對數(shù)的運算與應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)的解析式與基本性質(zhì)等來分析與處理，并反饋到實際應(yīng)用問題中去，給出科學(xué)的決策或分析.

作為高考數(shù)學(xué)中最重要的一種基本初等函數(shù)，對數(shù)函數(shù)有其自身的顯著特點，同時又可以很好地聯(lián)系起冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，串聯(lián)起抽象函數(shù)和復(fù)合函數(shù)，基本性質(zhì)與結(jié)構(gòu)特征明顯，對知識的理解與掌握有其獨特的要求.全面梳理知識體系，構(gòu)建完整應(yīng)用題型，從知識入手，滲透思想方法，融入數(shù)學(xué)能力，形成數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)體系與解題思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).