數學試題的創新情境類型與應用

廖如舟

摘要：“三新”背景下的高考數學創新情境類試題，是有效考查學生“四基”與創新精神的一個重要載體.結合常見的數學試題的創新情境類型，從新定義、新圖形與新公式等幾個視角切入，實例剖析，總結規律與應用，有效指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：新教材；新課程；新高考；創新；情境；應用

新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程〔《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》〕、新高考的“三新”對數學課堂教學改革的四點啟示是價值導向、綜合化、情境化與開放化.

在高考數學試題的命制中，合適的問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體之一.數學問題創新情境包括現實情境、數學情境、科學情境等，每種情境又可以分為數學的情境、關聯的情境、綜合的情境等.一個情境是否合適，并不僅僅取決于情境本身，而在于所提出的問題是否能夠揭示數學的本質，以及是否能夠有效考查學生的數學能力與數學核心素養等.

本文中結合高考數學試題命制中常見的情境類型及其應用加以實例剖析，展示情境問題的特色與應用.

1 “新定義”情境

“新定義”情境是基于現實問題背景或學術問題背景，給出一些新概念，提出一些新問題等，要求學生理解并主動思考，建立新知識與已掌握知識之間的聯系，進而分析和解決問題.

例1（2023屆浙江省寧波市高考數學一模試卷）（多選題）如果定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x>y，有f2（x）≤f（y），則稱其為“好函數”，所有“好函數”f（x）形成集合Γ.下列結論正確的有（）.

A.任意f（x）∈Γ，均有f（x）≥0

B.存在f（x）∈Γ及x0∈R，使f（x0）=2 022

C.存在實數M，對于任意f（x）∈Γ，均有f（x）≤M

D.存在f（x）∈Γ，對于任意x∈R，均有f（x）≥x

分析：從題設中的“新定義”情境入手，結合“好函數”的定義及各選項中的具體條件，通過歸納推理、反證法的應用等來分析與求解.

解析：對于選項A，任意f（x）∈Γ，取y>x，則有f（x）≥f2（y）≥0，即f（x）≥0.故選項A正確.

對于選項B，假如存在f（x）∈Γ及x0∈R，使f（x0）=2 022.

任取x0+δ>x0，δ>0，對n∈N*有f（x0）≥f2x0+δn≥f4x0+2δn≥……≥f2n（x0+δ）.

因此f2n（x0+δ）≤2 022， 從而f（x0+δ）≤2 02212n.令n→+∞，得f（x0+δ）≤1.

任取x0－δ0，對n∈N*有f（x0－δ）≥f2x0－（n－1）δn≥f4x0－（n－2）δn≥……≥f2n（x0）=2 0222n.

令n→+∞，得f（x0－δ）=+∞，這表明δ→0，f（x）在x0處無定義，與f（x）定義在R上矛盾.故選項B錯誤.

對于選項C，利用反證法，反設結論對于任意M∈R，存在f（x）∈Γ，使得f（x）>M，那么取M=2 021，存在x0∈R，使得f（x0）=2 022>2 021，由選項B中的分析知有矛盾，所以假設不成立，因此原命題為真.故選項C正確.

對于選項D，若此選項成立，則f（x）→+∞（x→+∞），與選項C中的結論矛盾.故選項D錯誤.

故選擇答案：AC.

點評：本題以“新定義”情境來合理創設，結合函數的基本性質、抽象函數與函數不等式等知識，有效考查邏輯推理等能力及函數與方程思想、分類討論思想等，特別是歸納推理、反證法等的應用，導向數學抽象、邏輯推理等數學核心素養的考查.

“新定義”情境試題要求考生能夠借助數量關系與空間形式，直接抽象出相應的數學概念和規則等，進而歸納并形成簡單的數學命題，合理利用學過的數學方法解決簡單問題，有效考查數學抽象等核心素養.

2 “新圖形”情境

“新圖形”情境是基于真實的事物或事物的背景，提取其中主要的數學特征等，建立相應的幾何模型，形成圖形與數學知識之間的聯系，要求學生在理解模型的基礎上運用所學知識解決問題.

例2〔福建省泉州市2023屆高中畢業班質量監測（三）數學試卷（3月）〕圖1中，正方體ABCD-EFGH的每條棱與正八面體MPQRSN（八個面均為正三角形）的一條棱垂直且互相平分.將該正方體的頂點與正八面體的頂點連接，得到圖2的十二面體，該十二面體能獨立密鋪三維空間.若AB=1，則點M到直線RG的距離等于（）.

A.2

B.3

C.62

D.72

分析：從題設中的“新圖形”情境入手，結合空間圖形的結構特征，借助空間中點、線、面的關系與對應的性質、定理等加以合理推理與論證，通過相應的數學運算來確定點到直線的距離問題.

解析：如圖3所示，設AB與MP交于點K，RN與GH交于點T，連接KT.

依題意，由圖形特征，在正八面體MPQRSN中，MP=PN=NR=RM.

由對稱性可知MN=PR，所以四邊形MPNR是正方形，則MR⊥RN.

又MR⊥CD，CD∥GH，所以MR⊥GH.

而RN∩GH=T，所以MR⊥平面RGNH，所以MR⊥RG.

又己知四邊形MKTR是矩形，所以MR=KT=2，即點M到直線RG的距離為2.

故選擇答案：A.

點評：本題以“新圖形”情境來合理創設，主要考查基本立體圖形，空間中點、線、面的位置關系與度量關系等基礎知識，有效考查空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解等能力及化歸與轉化等思想，體現基礎性，應用性，導向對直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養的關注.

“新圖形”情境試題，要求考生能夠在熟悉的情境中，借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，體會圖形與圖形、圖形與數量的關系，或借助圖形的性質和變換發現數學規律，或通過圖形直觀認識數學問題等，有效考查直觀想象等數學核心素養.

3 “新公式”情境

“新公式”情境類似于數學的“新定義”情境，只是更加聚焦于數學學科中的公式、法則等，要求學生調動數學基礎知識和數學基本活動經驗等，在理解新公式的基礎上解決相關數學問題.

例3（2023屆江蘇省鹽城市、南京市高三第一學期期末調研測試數學試卷）在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量X，Y的取值集合均為{0，1，2，3，……，n}（n∈N*），則X，Y的散度D（X‖Y）=∑ni=0P（X=i）lnP（X=i）P（Y=i）.若X，Y的概率分布如表1所示，其中0

分析：從題設中的“新公式”情境入手，結合X，Y的散度D（X‖Y）創新公式的給出及對應的數據信息，利用創新公式來合理構建相應的函數關系式，利用數學運算與函數性質的應用，實現創新公式所對應關系式的取值范圍的求解.

解析：根據題設中的創新公式，可得D（X‖Y）=P（X=0）lnP（X=0）P（Y=0）+P（X=1）lnP（X=1）P（Y=1）=12ln121－p+12ln12p=－12ln ＼.

由0＜p＜1，得p（1－p）=－（p－12）2+14∈0，14〗，則知ln ＼≤0.

所以D（X‖Y）=－12ln ＼≥0，即D（X‖Y）的取值范圍是＼點評：本題以“新公式”情境來合理創設，結合創新定義的內涵與實質，借助數據的分析與處理，考查概率與統計知識、函數的基本性質等基礎知識，導向對數據分析、邏輯推理、數學運算等核心素養的關注.

“新公式”情境試題，要求考生能夠在熟悉的情境中，借助一些事實和命題來合理推理分析，用歸納或類比的方法，發現數量或圖形的性質、數量關系或圖形關系，了解數學命題的條件與結論之間的邏輯關系，掌握一些基本命題與定理的證明，并有條理地表述論證過程等，能有效考查邏輯推理等數學核心素養.

在“三新”（新教材、新課程、新高考）背景下，進一步落實新改革理念，積極貫徹《總體方案》要求.數學創新情境類試題成為考查考生“四基”的一個新陣地，此類新情境試題的題量與分值大體占全卷題量與分值的20%左右，難度控制在0.3～0.7，可以有效區別各層次考生的數學能力與核心素養，進行合理化的高考選拔，實現新高考改革的導向與引領作用，推進高中教育的全面改革與創新.