數(shù)學(xué)試題的創(chuàng)新情境類(lèi)型與應(yīng)用

廖如舟

摘要：“三新”背景下的高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新情境類(lèi)試題，是有效考查學(xué)生“四基”與創(chuàng)新精神的一個(gè)重要載體.結(jié)合常見(jiàn)的數(shù)學(xué)試題的創(chuàng)新情境類(lèi)型，從新定義、新圖形與新公式等幾個(gè)視角切入，實(shí)例剖析，總結(jié)規(guī)律與應(yīng)用，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：新教材；新課程；新高考；創(chuàng)新；情境；應(yīng)用

新教材（人民教育出版社2019年國(guó)家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過(guò)）、新課程〔《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》〕、新高考的“三新”對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的四點(diǎn)啟示是價(jià)值導(dǎo)向、綜合化、情境化與開(kāi)放化.

在高考數(shù)學(xué)試題的命制中，合適的問(wèn)題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體之一.數(shù)學(xué)問(wèn)題創(chuàng)新情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等，每種情境又可以分為數(shù)學(xué)的情境、關(guān)聯(lián)的情境、綜合的情境等.一個(gè)情境是否合適，并不僅僅取決于情境本身，而在于所提出的問(wèn)題是否能夠揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以及是否能夠有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等.

本文中結(jié)合高考數(shù)學(xué)試題命制中常見(jiàn)的情境類(lèi)型及其應(yīng)用加以實(shí)例剖析，展示情境問(wèn)題的特色與應(yīng)用.

1 “新定義”情境

“新定義”情境是基于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題背景或?qū)W術(shù)問(wèn)題背景，給出一些新概念，提出一些新問(wèn)題等，要求學(xué)生理解并主動(dòng)思考，建立新知識(shí)與已掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)而分析和解決問(wèn)題.

例1（2023屆浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)一模試卷）（多選題）如果定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x>y，有f2（x）≤f（y），則稱其為“好函數(shù)”，所有“好函數(shù)”f（x）形成集合Γ.下列結(jié)論正確的有（）.

A.任意f（x）∈Γ，均有f（x）≥0

B.存在f（x）∈Γ及x0∈R，使f（x0）=2 022

C.存在實(shí)數(shù)M，對(duì)于任意f（x）∈Γ，均有f（x）≤M

D.存在f（x）∈Γ，對(duì)于任意x∈R，均有f（x）≥x

分析：從題設(shè)中的“新定義”情境入手，結(jié)合“好函數(shù)”的定義及各選項(xiàng)中的具體條件，通過(guò)歸納推理、反證法的應(yīng)用等來(lái)分析與求解.

解析：對(duì)于選項(xiàng)A，任意f（x）∈Γ，取y>x，則有f（x）≥f2（y）≥0，即f（x）≥0.故選項(xiàng)A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B，假如存在f（x）∈Γ及x0∈R，使f（x0）=2 022.

任取x0+δ>x0，δ>0，對(duì)n∈N*有f（x0）≥f2x0+δn≥f4x0+2δn≥……≥f2n（x0+δ）.

因此f2n（x0+δ）≤2 022， 從而f（x0+δ）≤2 02212n.令n→+∞，得f（x0+δ）≤1.

任取x0－δ0，對(duì)n∈N*有f（x0－δ）≥f2x0－（n－1）δn≥f4x0－（n－2）δn≥……≥f2n（x0）=2 0222n.

令n→+∞，得f（x0－δ）=+∞，這表明δ→0，f（x）在x0處無(wú)定義，與f（x）定義在R上矛盾.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C，利用反證法，反設(shè)結(jié)論對(duì)于任意M∈R，存在f（x）∈Γ，使得f（x）>M，那么取M=2 021，存在x0∈R，使得f（x0）=2 022>2 021，由選項(xiàng)B中的分析知有矛盾，所以假設(shè)不成立，因此原命題為真.故選項(xiàng)C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D，若此選項(xiàng)成立，則f（x）→+∞（x→+∞），與選項(xiàng)C中的結(jié)論矛盾.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選擇答案：AC.

點(diǎn)評(píng)：本題以“新定義”情境來(lái)合理創(chuàng)設(shè)，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)、抽象函數(shù)與函數(shù)不等式等知識(shí)，有效考查邏輯推理等能力及函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想等，特別是歸納推理、反證法等的應(yīng)用，導(dǎo)向數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

“新定義”情境試題要求考生能夠借助數(shù)量關(guān)系與空間形式，直接抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則等，進(jìn)而歸納并形成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，合理利用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，有效考查數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

2 “新圖形”情境

“新圖形”情境是基于真實(shí)的事物或事物的背景，提取其中主要的數(shù)學(xué)特征等，建立相應(yīng)的幾何模型，形成圖形與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，要求學(xué)生在理解模型的基礎(chǔ)上運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

例2〔福建省泉州市2023屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）數(shù)學(xué)試卷（3月）〕圖1中，正方體ABCD-EFGH的每條棱與正八面體MPQRSN（八個(gè)面均為正三角形）的一條棱垂直且互相平分.將該正方體的頂點(diǎn)與正八面體的頂點(diǎn)連接，得到圖2的十二面體，該十二面體能獨(dú)立密鋪三維空間.若AB=1，則點(diǎn)M到直線RG的距離等于（）.

A.2

B.3

C.62

D.72

分析：從題設(shè)中的“新圖形”情境入手，結(jié)合空間圖形的結(jié)構(gòu)特征，借助空間中點(diǎn)、線、面的關(guān)系與對(duì)應(yīng)的性質(zhì)、定理等加以合理推理與論證，通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)確定點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題.

解析：如圖3所示，設(shè)AB與MP交于點(diǎn)K，RN與GH交于點(diǎn)T，連接KT.

依題意，由圖形特征，在正八面體MPQRSN中，MP=PN=NR=RM.

由對(duì)稱性可知MN=PR，所以四邊形MPNR是正方形，則MR⊥RN.

又MR⊥CD，CD∥GH，所以MR⊥GH.

而RN∩GH=T，所以MR⊥平面RGNH，所以MR⊥RG.

又己知四邊形MKTR是矩形，所以MR=KT=2，即點(diǎn)M到直線RG的距離為2.

故選擇答案：A.

點(diǎn)評(píng)：本題以“新圖形”情境來(lái)合理創(chuàng)設(shè)，主要考查基本立體圖形，空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系與度量關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，有效考查空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解等能力及化歸與轉(zhuǎn)化等思想，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.

“新圖形”情境試題，要求考生能夠在熟悉的情境中，借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，體會(huì)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，或借助圖形的性質(zhì)和變換發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，或通過(guò)圖形直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題等，有效考查直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 “新公式”情境

“新公式”情境類(lèi)似于數(shù)學(xué)的“新定義”情境，只是更加聚焦于數(shù)學(xué)學(xué)科中的公式、法則等，要求學(xué)生調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，在理解新公式的基礎(chǔ)上解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例3（2023屆江蘇省鹽城市、南京市高三第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）在概率論中常用散度描述兩個(gè)概率分布的差異.若離散型隨機(jī)變量X，Y的取值集合均為{0，1，2，3，……，n}（n∈N*），則X，Y的散度D（X‖Y）=∑ni=0P（X=i）lnP（X=i）P（Y=i）.若X，Y的概率分布如表1所示，其中0

分析：從題設(shè)中的“新公式”情境入手，結(jié)合X，Y的散度D（X‖Y）創(chuàng)新公式的給出及對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，利用創(chuàng)新公式來(lái)合理構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用數(shù)學(xué)運(yùn)算與函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新公式所對(duì)應(yīng)關(guān)系式的取值范圍的求解.

解析：根據(jù)題設(shè)中的創(chuàng)新公式，可得D（X‖Y）=P（X=0）lnP（X=0）P（Y=0）+P（X=1）lnP（X=1）P（Y=1）=12ln121－p+12ln12p=－12ln ＼.

由0＜p＜1，得p（1－p）=－（p－12）2+14∈0，14〗，則知ln ＼≤0.

所以D（X‖Y）=－12ln ＼≥0，即D（X‖Y）的取值范圍是＼點(diǎn)評(píng)：本題以“新公式”情境來(lái)合理創(chuàng)設(shè)，結(jié)合創(chuàng)新定義的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，借助數(shù)據(jù)的分析與處理，考查概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)、函數(shù)的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，導(dǎo)向?qū)?shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.

“新公式”情境試題，要求考生能夠在熟悉的情境中，借助一些事實(shí)和命題來(lái)合理推理分析，用歸納或類(lèi)比的方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系或圖形關(guān)系，了解數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，掌握一些基本命題與定理的證明，并有條理地表述論證過(guò)程等，能有效考查邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在“三新”（新教材、新課程、新高考）背景下，進(jìn)一步落實(shí)新改革理念，積極貫徹《總體方案》要求.數(shù)學(xué)創(chuàng)新情境類(lèi)試題成為考查考生“四基”的一個(gè)新陣地，此類(lèi)新情境試題的題量與分值大體占全卷題量與分值的20%左右，難度控制在0.3～0.7，可以有效區(qū)別各層次考生的數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)，進(jìn)行合理化的高考選拔，實(shí)現(xiàn)新高考改革的導(dǎo)向與引領(lǐng)作用，推進(jìn)高中教育的全面改革與創(chuàng)新.