大觀念視角下的高中數學深度教學設計

蔡琳

隨著高中數學六大核心素養目標的提出，深度教學被推向新高度.大觀念的挖掘和應用為實現深度教學搭建了“腳手架”，能夠體現核心素養目標的本質要求.華東師范大學崔允漷教授指出：“整合應成為深度教學堅持的邏輯，以大觀念為核心的整合是一種有效的教學方式.”基于此，本文中以“直線與平面平行”的教學為例，探討如何基于大觀念實現高中數學的深度教學設計.

1 基于課程標準構建大觀念

課程標準是構建大觀念的重要依據.雖然課程標準沒有明確提出大觀念，但通過關注其反復提及的知識和重要內容可構建出大觀念.通過對《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中“立體幾何初步”章節內容的分析，可以提煉出研究空間直線與平面位置關系性質的大觀念：性質是我們研究幾何的一項重要內容.基于此，大觀念引導下的空間線面位置關系的性質定理路徑如圖1所示.

2 基于大觀念設計深度教學過程

引言：上節課學習了空間中的直線與直線平行，接下來我們應該研究什么內容？如何研究？

2.1 探究直線與平面平行的判定定理

問題1前面我們學習了直線與平面平行的定義，能否用定義判定直線與平面平行呢？如果不能，能找到其他判定方法嗎？

師生共同明確：用定義判定線面平行時要保證直線與平面沒有交點，操作難度大，進而明確需探尋其他判定方法.

設計意圖：引言基于單元整體架構本章節的研究內容，問題1充分考慮學生的認知基礎，明確舊知是新知的生長點，且有利于知識的系統化和結構化.

活動1：關開教室的門，觀察當門繞著一邊轉動時，與之平行的另一邊與墻面是否有公共點？這時該邊與墻面是否平行？

活動2：請同學們把一本書平放在桌子上，沿著裝訂線翻動封面，看看它的邊緣（離開桌面）與桌面是否有公共點？封面邊緣所在的直線與桌面平行嗎？

活動3：如何擺放直角梯形，使其一條邊在桌面內，一條邊和桌面平行？

追問1：通過上面的操作你有什么發現？

學生獨立思考，動手操作后交流，明確：當門或書繞著一邊轉動時，與之平行的另一邊與墻面或桌面沒有公共點，所以該邊與墻面或桌面平行.

設計意圖：活動1讓學生觀察，活動2讓學生在觀察的基礎上動手操作，活動3舍棄物理屬性，學生需要逆向思考.3個活動的設計層次遞進，逐步引導學生透過現象發現直線與平面平行的本質.學生深度參與學習過程，積累從特殊到一般解決問題的經驗，學會發現問題、分析問題的方法.

追問2：通過上述3個活動，你能歸納出直線與平面平行的判定方法嗎？

閱讀教材第136頁，并完成學案上的表格填寫（表格略）.

師生活動：學生歸納總結填寫學案表格，領悟直線與平面平行判定定理的三種語言表達方式，感受數學語言表達的嚴謹美與簡潔美.同時，教師站在更高的角度，引導學生體悟定理獲得的過程中，所蘊含的從特殊到一般的思想方法.

設計意圖：追問2通過讓學生歸納總結，提升語言表達能力和抽象概括能力，培養數學抽象素養.同時，通過讓學生閱讀教材填寫表格，增強學生與教材文本的深度對話，加深對定理的理解，感受數學之美.

問題2直線與平面平行的判定定理在現實生活中有許多應用，你能舉出一些應用實例嗎？

問題3求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊的平面.

師生活動：問題2學生口答交流，問題3學生獨立證明，然后小組交流.

設計意圖：問題2從應用的角度，進一步加強對判定定理的理解，感受數學源于生活又用于生活.通過問題3的探究、討論、思辨，深化學生應用定理的能力.

2.2 探究直線與平面平行的性質定理

問題4剛剛我們學習了直線與平面平行的判定，接下來研究它的性質，可以從哪些角度考慮呢？

追問1：什么是性質？研究性質的路徑是什么？

問題4學生獨立思考，教師引導學生用大觀念思考問題，形成追問中的兩個核心問題.明確：直線與平面平行的性質是指如果一條直線與一平面平行，能推出哪些結論呢？研究路徑是在線面平行的條件下，研究直線與構成平面的要素之間的關系，如圖2.于是問題進一步轉化為追問2.

追問2：如圖3，已知a∥α，在什么條件下，平面α內的直線b與直線a平行呢？

師生活動：小組合作探究，并把追問2的探究結果符號化

為“已知a∥α，aβ，α∩β=b，求證：a∥b”.（證明略）

在此過程中，教師可以適當引導學生歸納小結直線與直線平行的證明思路（如圖4）.

設計意圖：學生在大觀念的引領下像專家一樣思考，通過思考、作圖、小組討論，尋找分析問題、解決問題的途徑和方法，經歷定理發現的全過程，體會化繁為簡的轉化與化歸思想，感受數學發展的神奇和理性思維的力量，發展邏輯推理素養，從而發揮數學學科的育人功能.小組合作，深化生生間的交流，學生深度參與學習過程.

追問3：閱讀教材第137頁，完成學案上表格（略）.

師生活動：學生閱讀教材，完成表格.

設計意圖：追問3，學生在閱讀教材的基礎上填寫表格，進一步增強學生與文本的深度對話，加深對性質定理的深度理解.

問題5如圖5，木料的棱BC平行于平面A′B′C′.

（1）P是平面A′B′C′內的一動點，過點P和棱BC把木料鋸開，請在木料表面畫線.

（2）所畫的線與平面ABC是什么位置關系？

師生活動：學生獨立完成并上臺講解.

設計意圖：問題5考查學生對兩個定理的識別理解和遷移應用能力.

2.3 歸納小結

（1）你能歸納一下這節課我們是按照怎樣的路徑來研究兩個定理的嗎？

（2）我們用什么方法獲得了性質定理？

（3）利用這兩個定理可以解決什么問題？

師生活動：教師在學生回答的基礎上，補充歸納.

設計意圖：小結使所學知識系統化，有助于學生掌握知識，有利于知識內化和遷移.

3 思考與啟示

上述性質定理的教學在大觀念的引領下，實現了知識的本質化、結構化，即實現了教學內容的深度化.如果學生能用文中的大觀念指導平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直，甚至代數領域、圓錐曲線領域等性質的學習，則表明學生學會了學習.同時，學生情感和行為深度參與學習過程，體驗與感悟數學思想方法，感受數學的魅力，在潤物細無聲中發展了核心素養，落實了數學學科的育人功能.需要注意的是，為了完整呈現一節課的教學設計，本文中同時設計了直線與平面平行的判定定理.但在實際教學中，為了更好地體現性質定理學習的統一性，可以嘗試重組本節學習內容，在空間直線與平面位置關系的判定定理學完之后，再安排性質定理的學習.

教學設計決定性地影響著課堂教學質量.教師應該深度解讀新課標，提煉學科大觀念，完成深度教學設計.只有這樣，核心素養目標才能達成，學科育人功能才能實現.