借助邏輯推理，培養核心素養

白樹忠

在數學學習的過程中，邏輯推理素養的培養重點在于提出并論證相關的數學命題，在掌握推理證明的基本形式的基礎上，合乎邏輯地思考問題，正確理解相關事物之間的關聯，準確把握對應的知識結構，形成重論據、有條理、合邏輯的思維品質和理性精神，培養良好的科學素養.

1 挖掘基本關系，巧妙邏輯推理

利用數學問題中給出的函數、方程、不等式等的基本關系，通過合理的變形與轉化，巧妙運用邏輯推理，朝著目標方向不斷前行.

例1若對任意m，n∈R，關于x的不等式m－n≤（x－m）2+ex－n－a恒成立，則實數a的最大值為.

分析：抓住題設條件與問題場景，巧妙變換主元，利用一元二次不等式恒成立的條件，通過判別式法來構建對應的不等式，合理分離參數，綜合利用重要不等式（ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立）的放縮處理來確定相關參數的取值范圍.

解析：由不等式m－n≤（x－m）2+ex－n－a恒成立，

可得m2－（2x+1）m+x2+ex－n+n－a≥0對任意m∈R恒成立，

則知判別式Δ=（2x+1）2－4（x2+ex－n+n－a）≤0.

分離參數并整理可得不等式a≤ex－n+n－x－14恒成立.由ex≥x+1，可得ex－n+n－x－14≥x－n+1+n－x－14=34，當且僅當x－n=0時，等號成立.

所以a≤34，即實數a的最大值為34.

點評：例1主要借助變換主元法進行消參處理，并正確分離參數，為問題的邏輯推理與解決提供條件.正確挖掘題設條件中涉及函數、方程、不等式等的數字、字母等的基本關系，綜合邏輯推理來應用，為問題的解決開拓新局面.

2 依托信息關聯，正確邏輯推理

結合數學問題中給出的相關信息之間的關聯，構建不同信息之間的包含、互斥或對立關系等，正確分析相關信息的聯系與區別，為正確的邏輯推理提供條件.

例2（2023屆江蘇省蘇州市高三第二學期初數學調研試卷）記函數f（x）=sinωx+π6（ω>0）的最小正周期為T，給出下列三個命題：

甲：T>3；

乙：f（x）在區間12，1上單調遞減；

丙：f（x）在區間（0，3）上恰有三個極值點.

若這三個命題中有且僅有一個假命題，則假命題是（填“甲”“乙”或“丙”）；ω的取值范圍是.

分析：根據題設條件，利用題設中三個命題分別為真命題時所確定的參數ω的取值范圍，再結合約束條件“這三個命題中有且僅有一個假命題”，正確分析不同命題之間所對應結果的關系，借助信息關聯，合理邏輯推理，正確分析判斷.

解析：函數f（x）=sinωx+π6（ω>0）的最小正周期為T=2πω.

對于命題甲：由T>3，可得T=2πω>3，解得0<ω<2π3，即ω∈0，2π3.

對于命題乙：由120，可得k∈N.當k=0時，ω∈2π3，4π3〗；當k≥1時，ω無解.

對于命題丙：由0

而這三個命題中有且僅有一個假命題，結合這三個命題為真命題時所對應的ω的取值范圍，只能是命題甲錯誤，命題乙、丙正確.

而命題乙、丙同時成立時，由于7π9，10π9〗2π3，4π3〗，因此ω的取值范圍是7π9，10π9〗.

3 借助圖形直觀，形象邏輯推理

依據數學問題場景，尋找或構建與之吻合的圖象、幾何圖形等，借助圖形直觀，數形結合，形象地進行邏輯推理與分析判斷.

例3〔2023屆安徽省淮南市高三第一次模擬考試（一模）數學試卷〕在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F，G分別是線段AA1，CC1，A1D1的中點，點M在正方形A1B1C1D1內（含邊界），記過E，F，G的平面為α，若BM∥α，則BM的取值范圍為.

分析：根據題設條件加以合理分析，構建對應的立體幾何圖形以及對應動點的軌跡，通過動點軌跡的確定以及圖形直觀加以數形結合，合理邏輯推理應用，進而正確判斷動點M的軌跡為線段A1C1（含端點），并結合圖形確定相關線段長度的取值范圍.

解析：如圖1所示，取AB，BC，C1D1的中點H，I，J.

易知過E，F，G的平面α即是截面正六邊形EHIFJG所在的平面.

而在平面A1BC1中，A1B∥EH，BC1∥IF，A1B∩BC1=B，

所以平面A1BC1∥平面α，則當M∈A1C1時，一定有BM∥α，即動點M的軌跡為線段A1C1（含端點）.

而正三角形A1BC1的邊長為22，當動點M位于線段A1C1的端點位置時，|BM|=22，為線段BM長度的最大值.

當動點M位于線段A1C1的中點位置時，|BM|=6，為線段BM長度的最小值.

所以BM的取值范圍為＼6，22＼〗.

點評：正確構建對應的立體幾何圖形并直觀確定對應動點的軌跡，為進一步的邏輯推理與直觀分析提供條件.在處理此類問題時，依題構建相應的圖象或幾何圖形等，是深入邏輯推理與數學運算的基礎，也是問題解決中最重要的一個環節.

4 給定操作方案，依規邏輯推理

以復雜情境或創新定義等的創設給出相應數學問題的操作方案與規則，要求學生閱讀并理解對應的方案或規則，結合解題過程中的正確判斷持續進行邏輯推理與分析判斷.

例4〔2023年教育部新課標四省（云南、吉林、黑龍江、安徽）高考適應性考試數學試卷〕數學家祖沖之曾給出圓周率π的兩個近似值：“約率”227與“密率”355113.它們可用“調日法”得到：稱小于3.141 592 6的近似值為弱率，大于3.141 592 7的近似值為強率.由31<π<41，取3為弱率，4為強率，得a1=3+41+1=72，故a1為強率；與上一次的弱率3計算得a2=3+71+2=103，故a2為強率;繼續計算…….若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續計算得到新的近似值.依此類推.已知am=227，則m=；a8=.

解析：由a2=103為強率，可得a3=3+101+3=134為強率，a4=3+131+4=165為強率，a5=3+161+5=196為強率，a6=3+191+6=227為強率.結合am=227，可得m=6.

繼續操作，a6=227為強率，可得a7=3+221+7=258為弱率，a8=25+228+7=4715.

點評：例4 以中國古代數學文化為創新情境，結合圓周率π的近似值確定的“調日法”的操作方案來進行邏輯推理與應用.準確識別與應用題設中給出的操作方案與規則等，是正確邏輯推理的基礎所在.

作為數學核心素養之一的邏輯推理素養，是現實生活中的一種重要思維方式，更是數學學習必備的一種基本能力，對我們的終生學習與全面發展都具有特殊的作用.邏輯推理素養的養成，可以更加有效地培養學生的科學精神與嚴謹態度，增強分析與交流能力，拓展思維方式并優化思維品質，不斷提高數學應用與數學能力，培養數學核心素養.